是的，我的確要證明1+1=2
小時(shí)候，我也問過為什么“1+1=2”，得到的回答卻是“就是這樣”“沒有為什么”“你怎么不去問畢達(dá)哥拉斯”
（不好意思，最后一個(gè)串臺(tái)了）
所以，我今天就要證明他。
步驟一
我們要假設(shè)自己是火星人，從來沒學(xué)過數(shù)學(xué)，甚至不知道數(shù)學(xué)是什么。這的確有點(diǎn)難，但是只能這樣。

步驟二
我們要知道幾條公理：
一：1是自然數(shù)。
二：任何自然數(shù)都有一個(gè)鄰居，我們稱之為這個(gè)自然數(shù)的后繼數(shù)，它也是個(gè)自然數(shù)。
三：任何自然數(shù)的后繼數(shù)都不是1。
四：任意挑選出兩個(gè)自然數(shù)，就稱呼其中一個(gè)為a，另一個(gè)為b。如果a的后繼數(shù)和b的后繼數(shù)剛好是同一個(gè)數(shù)。那么，a和b其實(shí)不是兩個(gè)不同的自然數(shù)，而是同一個(gè)自然數(shù)。
五：假設(shè)自然數(shù)1有一個(gè)特點(diǎn)。而且，如果任意自然數(shù)n有這個(gè)特點(diǎn)，那么n的后繼數(shù)也有這個(gè)特點(diǎn)。由前兩句話就可以得出，所有自然數(shù)都有這個(gè)特點(diǎn)。
作為一個(gè)外星人，我們當(dāng)然不明白，對吧？
第一條公理
第一條公理非常簡單，它的意思就是說，1這個(gè)數(shù)算是自然數(shù)?；蛘哒f，假設(shè)自然數(shù)是一個(gè)俱樂部，那么1這個(gè)數(shù)就是這個(gè)俱樂部的成員。
注意，這條公理并沒有說，1是不是這個(gè)自然數(shù)俱樂部的唯一成員。目前，關(guān)于自然數(shù)俱樂部，我們所知甚少。至少現(xiàn)在，我們只知道1是其中一員。

第二條公理
現(xiàn)在，我們來看第二條公理。這條公理就更值得品味了。它說，任何自然數(shù)都有一個(gè)鄰居，我們稱之為這個(gè)自然數(shù)的后繼數(shù)，它也是個(gè)自然數(shù)。我們可以猜想，自然數(shù)這個(gè)俱樂部的成員，其實(shí)都很怕寂寞。每個(gè)成員都要和鄰居住在一起，而且那個(gè)鄰居也是自然數(shù)。
如果把第一條公理和第二條公理結(jié)合在一起，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？
1是自然數(shù)的一員，1也很怕寂寞，所以1也有個(gè)鄰居。1這個(gè)數(shù)的鄰居，為了方便稱呼，就叫做“1的后繼數(shù)”。而且，“1的后繼數(shù)”這位鄰居，本身也是自然數(shù)俱樂部的成員，它也是個(gè)自然數(shù)。
現(xiàn)在，我們知道了，1在自然數(shù)俱樂部中并不是孤家寡人。這個(gè)俱樂部里頭至少有兩個(gè)成員，一個(gè)是1，另一個(gè)是“1的后繼數(shù)”。
那么，現(xiàn)在讓我們再來問一個(gè)問題。這個(gè)自然數(shù)俱樂部里，是不是只有兩個(gè)成員呢？
當(dāng)然不是。仔細(xì)看看第二條公理，它說的是任何自然數(shù)的后繼數(shù)都是自然數(shù)。既然“1的后繼數(shù)”也是自然數(shù)，那它也有個(gè)鄰居，而且那個(gè)鄰居也是后繼數(shù)。
所以，現(xiàn)在我們知道了，自然數(shù)俱樂部里至少有三個(gè)成員：1，1的后繼數(shù)，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)。
運(yùn)用同樣的思路，不難發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)俱樂部里其實(shí)有超多成員：1，1的后繼數(shù)，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)……
現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道了自然數(shù)俱樂部里，至少看起來有超多成員，雖然不知道具體有多少，但總之有很多就對了。

第三條公理
這條公理看似有些多余，它說，任何自然數(shù)的后繼數(shù)都不是1。
但是，仔細(xì)想想的話，這條公理一點(diǎn)都不多余。你們看，第一條公理和第二條公理里頭，都沒有規(guī)定任何自然數(shù)的后繼數(shù)都不是1。你們想，如果沒有這條規(guī)定，那么俱樂部有可能是什么樣子？
可能性就非常多了。自然數(shù)俱樂部甚至可能只有1這一個(gè)成員，1的后繼數(shù)其實(shí)也是1，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)還是1，看起來有很多成員，其實(shí)都只是1穿的不同馬甲罷了。
自然數(shù)俱樂部里也可能只有2個(gè)成員。比如，只有1和1的后繼數(shù)。如果不做出第三條公理中的規(guī)定，那么1的后繼數(shù)的后繼數(shù)可能就是1。整個(gè)俱樂部里，就只有這兩個(gè)數(shù)抱團(tuán)取暖。比如，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)，其實(shí)就是1的后繼數(shù)。整個(gè)俱樂部的成員其實(shí)都是這兩個(gè)成員穿的不同馬甲。
同理，自然數(shù)俱樂部里，也可能是3個(gè)成員，4個(gè)成員或5個(gè)成員，還可能是23456個(gè)成員，可能是938457234個(gè)成員。但是，這不是皮亞諾想要的自然數(shù)俱樂部。所以才有了第三條公理。
現(xiàn)在，我們知道了，自然數(shù)俱樂部里不知看起來有多個(gè)成員，實(shí)際上也有多個(gè)成員，而且，數(shù)量貌似還不少。

第四條公理
第四條公理說起來有點(diǎn)長。為了節(jié)約時(shí)間，發(fā)明一些簡便稱呼。
我們可以把“諸葛孔明”直接稱之為“亮”，這樣可以節(jié)約讀三個(gè)字的時(shí)間。所以，我們直接把1的后繼數(shù)，寫作1’。那么，1的后繼數(shù)的后繼數(shù)，就寫作1’’。1的后繼數(shù)的后繼數(shù)的后繼數(shù)，就是1’’’。這樣做可以省下很多時(shí)間。
那么，這條公理也可以簡單地說：如果a和b都是自然數(shù)，并且a’=b’，那么a=b。
大家想一想，皮亞諾為什么要搞這條公理呢？如果不搞這條公理，那么自然數(shù)俱樂部有可能是什么樣子呢？
這樣，我們假設(shè)每個(gè)自然數(shù)都特別闊氣，它們單獨(dú)都住一棟別墅。那么，皮亞諾心目中的自然數(shù)們的住宅，就是一排一直可以排列下去的超長聯(lián)排別墅，一眼根本望不到頭。
但是，現(xiàn)實(shí)生活中的聯(lián)排別墅不一定是這種直線排列下去的。現(xiàn)實(shí)生活中的聯(lián)排別墅也可以是一個(gè)圈。
當(dāng)然，由于第三條公理的存在，所以自然數(shù)俱樂部的成員住的別墅，不可能是一個(gè)大圈。
但是，如果不規(guī)定這第四條公理，那聯(lián)排別墅有可能還是會(huì)循環(huán)，不會(huì)一直排列下去。
所以要做出這樣的規(guī)定。如果有兩棟別墅的后繼別墅是同一棟別墅，那么這兩棟別墅其實(shí)是同一棟別墅。這樣就能確保在建別墅時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)循環(huán)。如果不這么規(guī)定，那么第一棟別墅的后面那一棟，可能同時(shí)也是第七棟別墅的后面一棟。但是，如果有了這個(gè)規(guī)定，就不會(huì)出現(xiàn)聯(lián)排別墅中，不同的別墅共有同一個(gè)后繼別墅的情況。
而且，有了這條規(guī)定，我們就不會(huì)允許橫插進(jìn)來的違章建筑。不會(huì)突然出現(xiàn)另一個(gè)自然數(shù)，比如x，它中途插入進(jìn)來，也靠在1’’旁邊，但又不能排列進(jìn)這條直線隊(duì)伍里。
有了這條規(guī)定，我們就知道，如果x的后繼數(shù)是1’’，而且1’的后繼數(shù)也是1’’，那么x其實(shí)就是1’。
有了前四條公理，我們差不多就能描繪出，自然數(shù)是個(gè)什么樣子了。大概就是沿著一條直線，不斷延申，不會(huì)最終繞回來，也不會(huì)中途循環(huán)，也不會(huì)有橫插在旁邊的數(shù)字，總之就是像直直的聯(lián)排別墅那樣的結(jié)構(gòu)。

第五條公理
這個(gè)第五條公理說起來有點(diǎn)長，但它其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法。
數(shù)學(xué)歸納法可是個(gè)好東西啊，它可以讓我們用有限的規(guī)則，理解無限的對象。換句話說，吾生也有涯，而知也無涯。一旦有了數(shù)學(xué)歸納法，那么以有涯隨無涯，就不會(huì)殆已。
但是，今天沒有時(shí)間細(xì)說數(shù)學(xué)歸納法，以后有空再詳述。今天只是打個(gè)簡單的比方，用多米諾骨牌來體會(huì)一下這第五條公理的含義。
多米諾骨牌長得就像更薄的麻將。如果我們把許多骨牌立在地上，排成一排。我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：
1.如果推倒一列骨牌中的任何一個(gè)骨牌，那么這個(gè)骨牌后面的那個(gè)骨牌也會(huì)倒下去。
2.推倒這列骨牌中的第一個(gè)骨牌。
由1和2可以得到3.這列骨牌全部都會(huì)倒下去。
數(shù)學(xué)歸納法也是類似的思路。它的關(guān)鍵就是證明1這一步，而2這一步相對容易證明，不用太操心。
注意，人們很容易誤解1這一步。1這個(gè)步驟，本質(zhì)上是一個(gè)條件?！叭绻煜掠?，那么地上就濕”這也是個(gè)條件。我們想證明這個(gè)條件，那我們不是要證明現(xiàn)在天真的在下雨，也不是要證明現(xiàn)在地上真的濕了。我們是要證明，“如果天下雨，那么地上就濕”，換句話說，就是證明，如果天真的下雨了，那么地是不可能不濕的。
也就是說，要證明“如果n有某個(gè)特點(diǎn)，那么n’也有這個(gè)特點(diǎn)”，我們要做的不是去看n到底有沒有這個(gè)特點(diǎn)，也不是去看n’到底有沒有這個(gè)特點(diǎn)，而是去看，在n有這個(gè)特點(diǎn)的前提情況下，n’是不是必然也有這個(gè)特點(diǎn)。

步驟三
加法公理
現(xiàn)在，我們有了皮亞諾的五條公理。那么，怎么證明1+1=2呢？
目前還無法證明，因?yàn)槲覀兏静恢馈?”這個(gè)符號(hào)，究竟是什么意思，也不知道“2”這個(gè)符號(hào)是什么意思。
記住，我們可是一無所知的外星人。嚴(yán)格來說，我們連“=”這個(gè)符號(hào)都不知道是什么意思。不過，還是讓我們先假設(shè)外星人也知道“=”是什么意思。
所以，光有皮亞諾公理還不夠。為了知道加法的含義，我們還需要補(bǔ)充一些公理。
需要補(bǔ)充多少公理？
肯定是越少越好。皮亞諾就很聰明，只用了兩條公理，就完美定義了所有的加法。
一：如果n是自然數(shù)，那么，n+1=n’。
二：如果n和m都是自然數(shù)，那么n’+m=（n+m）’。
現(xiàn)在，讓我們先來用第一條公理。假設(shè)n就是1，那么1+1=1’。
1’只要被稱之為2，那么就可以得出1+1=2了。是不是很簡單？
考慮第二條公理，假定m就是1，n也是1，那么1’+1=（1+1）’。
1+1是什么東西？它就是2，同時(shí)也就是1’。
所以，2+1=（2）’=（1’）’。
之前沒有說，這里提一下，2+1其實(shí)也等于1+2。而只要我們把2’，也即是1’’，稱之為3。那么我們就可以證明1+2=（2）’=（1’）’=1’’=3了。

至此，證明完畢。