【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)95】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
定理：非空有上界數(shù)集必有上確界；
定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂；
數(shù)列極限lim?q^n=0，這里|q|<1；
柯西列：數(shù)列{an}為柯西列，即對(duì)任意小數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N，對(duì)任意m，n>N，|am-an|<ε；
柯西準(zhǔn)則：數(shù)列{an}收斂的充要條件是數(shù)列{an}是柯西列；
設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
lim（1+1/n）^n=e；
定理：數(shù)列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何子列都收斂。
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個(gè)向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個(gè)平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開(kāi)，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過(guò)小于平角的轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到b的方向，此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；
直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；
右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；
直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標(biāo)系的基向量；
仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長(zhǎng)度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；
右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；
仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量；
坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；
點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；
坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每?jī)筛鴺?biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個(gè)坐標(biāo)平面把空間分割成8個(gè)部分，稱為該坐標(biāo)系的8個(gè)卦限；
已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：
ab=a1b1+a2b2+a3b3；
|a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；
axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k；
cos∠（a，b）
=（a1b1+a2b2+a3b3）/[（a1^2+a2^2+a3^2）（b1^2+b2^2+b3^2）]^（1/2）；
方向角、方向余弦：我們把向量a與x軸的夾角α，與y軸的夾角β，與z軸的夾角γ，叫做向量a的方向角；a的方向角的余弦叫做a的方向余弦——
cos?α=a1/（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2），
cos?β=a2/（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2），
cos?γ=a3/（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）。
距離公式：已知兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2），P1，P2兩點(diǎn)間的距離|P1P2|為[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2]^（1/2）；
定比分點(diǎn)公式：已知兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2）.在P1P2上求一點(diǎn)P，使P分線段P1P2成兩個(gè)有向線段的量的比P1P/PP2=λ（λ≠-1），設(shè)P=（x，y，z），則x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ），z=（z1+λz2）/（1+λ）.
設(shè)A=（aij）mxn，B=（bij）nxn，規(guī)定：
A+B=（cij）mxn，其中cij=aij+bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）；
A-B=（dij）mxn，其中dij=aij-bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）；
kA=（eij）mxn，其中eij=kaij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），且k為常數(shù)；
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
定義：n階行列式|A|中，劃去第i行和第j列，剩下的元素按原來(lái)次序組成的n-1階行列式稱為矩陣A的（i，j）元的余子式，記作Mij。
定義：令A(yù)ij=（-1）^（i+j）Mij，稱Aij是A的（i，j）元的代數(shù)余子式。
定義：設(shè)A=（aij）nxn，則它的伴隨矩陣A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij為|A|中aij的代數(shù)余子式。
矩陣的秩：設(shè)非零矩陣A=（aij）mxn，A中若存在一個(gè)s階子式不等于零，一切s+1階子式都等于零，則稱A的秩為s，記為秩A=s或r（A）=s或rank（A）=s，若A=0mxn，則秩A=0，則A=0；
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；
克萊姆法則：設(shè)A是n*n矩陣，線性方程組Ax=B——
若|A|≠0，則方程組有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi為|A|中第i列換為B，其它各列與|A|相同的n階行列式（i=1，2，……，n）；
對(duì)n維方陣A，若其行（列）向量線性相關(guān)，則|A|=0，若其行向量線性無(wú)關(guān)，則|A|不為0.
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——
證明下述數(shù)列發(fā)散：{cos（nπ/4）}.
證：
令an=cos（nπ/4），
當(dāng)n=8k時(shí)（k=1，2，…）——
a8k=cos（8kπ/4）=cos 2kπ=1，即lim a8k=1，
當(dāng)n=8k+2時(shí)（k=1，2，…）——
a8k+2=cos[（8k+2）π/4]=cos （2k+1/2）π=0，即lim?a8k+2=0；
于是{cos（nπ/4）}存在兩個(gè)有不同極限的子列，故而數(shù)列發(fā)散。
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
已知a=（1，2，-3），求a的方向余弦。
解：記向量a與x軸的夾角為α，與y軸的夾角為β，與z軸的夾角為γ，a的方向余弦為——
cos?α=1/[1^2+2^2+（-3）^2]^（1/2）=1/14^（1/2）；
cos?β=2/[1^2+2^2+（-3）^2]^（1/2）=2/14^（1/2）；
cos?γ=-3/[1^2+2^2+（-3）^2]^（1/2）=-3/14^（1/2）.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設(shè)M是一些n階方陣組成的集合，對(duì)任意A，B∈M，都有AB∈M和（AB）^3=BA，
證明：對(duì)任意A∈M，有|A|=0或|A|=1或|A|=-1.
證：
對(duì)任意A，B∈M，都有AB∈M和（AB）^3=BA，則
A=EA=（AE）^3=A^3；
由2：|A|=|A|^3，所以|A|=0或|A|=1或|A|=-1.
到這里！
