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主要參考書籍：(Dover Books on Mathematics) Manfredo P. do Carmo - Differential Geometry of Curves and Surfaces-Dover Publications (2016)

其他參考書籍：《復(fù)雜曲面數(shù)字化制造的幾何學(xué)理論合方法》 丁漢 朱利民 著
參考課程：微分幾何 同濟(jì)大學(xué) 賀群

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本篇主要參考視頻：賀群老師微分幾何第28講

在上篇文章中我們學(xué)習(xí)了曲面的第一基本形式【微分幾何筆記|3曲面的第一基本形式】，他可以對曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)進(jìn)行研究，即在曲面上的許多幾何量和幾何性質(zhì)，其不依賴于曲面在空間中如何彎曲的。所以為了探究曲面在空間中的彎曲特性，我們引入了曲面的第二基本形式。

1.推導(dǎo)

曲面的第二標(biāo)準(zhǔn)形式的思想是通過度量曲面遠(yuǎn)離其切平面的速度出發(fā)的。如圖：

在曲面上存在一點(diǎn)P0以及他的臨近點(diǎn)P，那么我們通過度量點(diǎn)P距離點(diǎn)P0處的切平面的距離，可以用向量與切平面法向量的內(nèi)積來表示:

其大小就能表示為曲面遠(yuǎn)離切平面的程度。

那么考慮曲面上的點(diǎn)以及臨近一點(diǎn)，那么向量為：

對其使用泰勒展開（為什么此處能用泰勒展開式呢？見知乎文章[偏導(dǎo)數(shù)、微分、以及導(dǎo)數(shù)到底有什么關(guān)系和區(qū)別？](https://www.zhihu.com/question/265021971/answer/288270304)，這里是偏導(dǎo)，dr是微分，是對一個無窮小區(qū)間的變化的量的線性逼近）

那么（因?yàn)橐浑Adr與法向量n垂直內(nèi)積為0），將dr^2展開，可以得到

這是一個關(guān)于dudv的二次型，也是我們接下來可以推出的第二標(biāo)準(zhǔn)形

2.定義

定義曲面的第二基本形式為

也可用系數(shù)LMN表示，即=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2

另外由于,故還可以寫成另外一種形式：

進(jìn)而表達(dá)成矩陣的形式：

其形式類似于一種雙線性映射，而第二基本形式是帶入dr的特例：

3.性質(zhì)

不變性：定理：Ⅱ在保持定向的參數(shù)變換以及合同變換是不變的，否則會改變符號

參數(shù)變換：更改曲面網(wǎng)的參數(shù)

合同變換：相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+平移的剛體運(yùn)動

4.計(jì)算

參數(shù)LMN都可以直接利用拉格朗日恒等式進(jìn)行計(jì)算

其中是混合積，EFG是第一標(biāo)準(zhǔn)形的參數(shù)

舉例：