題3.

(1)

設

α→0

有

sin2α+sin2β+sin2γ

→

sin2β+sin(2π-2β)

=

sin2β-sin2β

=

0

=

t1

據(jù)

α+β+γ=π

且

α，β，γ∈(0，π)

有

2cos2α

=

2cos2β

=

2cos2γ

即

α=β=γ=π/3

時

sin2α+sin2β+sin2γ

得可能最值

3√3/2

且

3√3/2＞t1

即

得最大值

3√3/2

即

sin2α+sin2β+sin2γ＞0

設

α→0

有

sinα+sinβ+sinγ-sin2α-sin2β-sin2γ

→

sinβ+sin(π-β)-sin2β-sin(2π-2β)

=

2sinβ

=

t2

∈

(0，2]

據(jù)

α+β+γ=π

且

α，β，γ∈(0，π)

有

cosα-2cos2α

=

cosβ-2cos2β

=

cosγ-2cos2γ

即

α=β=γ=π/3

或

cosα=cosγ=(1+√7)/4

cosβ=-√7/4

時

sinα+sinβ+sinγ-sin2α-sin2β-sin2γ

分別得可能最值

0

與

(7√7-10)/8

且

0＜(7√7-10)/8＜t2max

即

得最小值

0

即

sinα+sinβ+sinγ-sin2α-sin2β-sin2γ≥0

即

sinα+sinβ+sinγ≥sin2α+sin2β+sin2γ

綜

0＜sin2α+sin2β+sin2γ≤sinα+sinβ+sinγ

得證

(2)

設

α，β，γ

所對邊分別為

a，b，c

據(jù)

tanα+tanβ=2sin3γ/(sinαsinβ)

有

1/(cosαcosβ)

=2sin2γ/(sinαsinβ)

即

4abc2/((b2+c2-a2)(a2+c2-b2))

=2c2/(ab)

即

2a2b2/((b2+c2-a2)(a2+c2-b2))=1

設

a2=A ?b2=B ?c2=C

有

2AB/((B+C-A)(A+C-B))=1

即

C2-(A-B)2=2AB

即

A2+B2-C2=0

即

1/(2√(AC))

/

(2A)

=

1/(2√(AC))

/

(2B)

=

-(√A+√B)/(2C√C)

/

(-2C)

即

1/(4A√(AC))

=

1/(4B√(AC))

=

(√A+√B)/(4C2√C)

即

A=B=√2/2C

時

(√A+√B)/√C

即

(a+b)/c

即

(sinα+sinβ)/sinγ

得最大值

2^(3/4)

題4.

據(jù)

sin(B-C)≥2bcosC/a-1

有

sin(B-C)sin(B+C)

≥2sinBcosC-sinA

=sinBcosC-cosBsinC

=sin(B-C)

即

sinA≥1

即

A=π/2

即

(√13b+√5c)/a

=√13sinB+√5sinC

=√13sinB+√5cosB

=3√2sin(B+φ)

≤3√2

ps.

未見答案

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