牛頓261、逼近法乃是微積分的基石

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2019-11-26 10:31，網友“鑰匙玩校”發(fā)表一篇名為《窮竭法的首創(chuàng)者——歐多克索斯》的文章。

…窮、竭、窮竭，法，窮竭法：見《牛頓245》…

…歐多克索斯：見《牛頓251~259》…

文章內容：…

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由于發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)越來越多，使得希臘人被迫面對它們。

…無、理、無理數(shù)：見《歐幾里得27》…

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當時只有在幾何學的討論中，無理數(shù)才會出現(xiàn)，而正整數(shù)及其比值在幾何學及一般關于量的討論中屢見不鮮，使得人們懷疑無理數(shù)是否為真正的數(shù)？

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…學：見《歐幾里得4》…

…數(shù)：見《歐幾里得15》…

…量：見《歐幾里得27》…

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尤其甚者，一些涉及長度、面積、體積為有理數(shù)的證明，要如何拓展到無理數(shù)呢？

…長：見《牛頓260》…

…度：見《歐幾里得24》…

…長度（百度百科）：是一維空間的度量，為點到點的距離…

（…距、離、距離：見《牛頓147》…）

…長度（百度漢語）2：兩點之間的距離…

…面：見《歐幾里得118》…

…積：見《牛頓19》…

…面積（百度百科）：當物體占據(jù)的空間是二維空間時，所占空間的大小叫做該物體的面積。

[…空、間、空間：見《伽利略10》…

（…《伽利略》：小說名…）]

面積可以是平面的也可以是曲面的。

平方米，平方分米，平方厘米，是公認的面積單位，用字母可以表示為（m2，dm2，cm2）。

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面積是表示平面中二維圖形?或形狀?或平面層的程度?的數(shù)量。

（…形、狀、形狀：見《歐幾里得23》…）

表面積是三維物體的二維表面上的模擬物。

（…物、體、物體：見《伽利略9》…）

面積可以理解為具有給定厚度的材料的量，面積是形成形狀的模型所必需的…

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…面積（百度漢語）2：平面或物體表面的大小：土地～。建筑～…

…體、體積：見《牛頓253》…

…有、理、有理、有理數(shù)：見《歐幾里得25》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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歐多克索斯介紹了量的觀念，它并非數(shù)，卻能代表諸如線段、角、面積、體積、時間等等這些能作連續(xù)變化的東西。

…時、間、時間：見《伽利略10》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…變、化、變化：見《伽利略10》…

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其次，歐多克索斯定義量的比及比例，這種比例是兩個比的一個等式，可以含蓋可公度量（相當于有理量）和不可公度量（相當于無理量）之比。

…比、例、比例：見《歐幾里得29》…

…公、度、公度：見《歐幾里得24》…

…不可公度：見《歐幾里得24》…

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然而同樣地，也不使用數(shù)字來表示這種比。

比和比例的觀念緊密地與幾何連在一起。

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歐多克索斯的成就在于?盡量避免賦予數(shù)值給?線段長、角之大小、其他的量、以及量的比，而可以回避過無理數(shù)。

歐多克索斯這樣的理論，提供無理數(shù)所必需的邏輯基礎，使得希臘數(shù)學家們在幾何方面獲得突破性的進展。

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

…基、礎、基礎：見《歐幾里得37》…

…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

…家：掌握某種專門學識或從事某種專門活動的人：專～。畫～。政治～。科學～。藝術～。社會活動～…見《歐幾里得92》…

不過也因此使得數(shù)目和幾何學分家，因為只有幾何才能處理無理數(shù)。

這樣的結果將數(shù)學家局限為幾何學家，使幾何學幾乎成為所有嚴密數(shù)學的基礎達兩百年之久。

…嚴、密、嚴密：見《歐幾里得53》…

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除此之外，希臘人利用現(xiàn)在的窮竭法（逼近法），來計算曲線形或曲面體的面積或體積的念頭，也是由歐多克索斯引起的。

借著逼近法，歐多克索斯證明了：兩圓面積之比等于半徑平方之比；

球體的體積比等于半徑的立方比；

角錐、圓錐體積為同底等高柱體的三分之一。

另外我們要注意的是，逼近法乃是微積分的基石，因此也有人說他是微積分的開山祖師。

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“畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了不可通約數(shù)（無理數(shù)）√2，這破壞了他們的比例論。

請看下集《牛頓262、畢達哥拉斯學派的比例論，歐多克索斯的比例論》”

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