在上期專欄中, 我們證明了重心定理; 本期專欄, 我們來證明垂心定理:

三角形的 3 條高交于一點(diǎn).

在證明之前, 我們需要介紹另一個(gè)定理: 在一個(gè)圓中, 同一條弧(或弦)所對的圓周角相等.

如下圖, α 和 β 都是弦 AB 所對的圓周角, 則有 α = β.

關(guān)于它的證明, 大家可以參考初中課本; 下面我們進(jìn)入正題.

首先, 我們考慮銳角 ΔABC,

作 AC 邊上的高 BD, 作 AB 邊上的高 CE,

設(shè) BD 交 CE 于點(diǎn) H, 連接 AH 并延長, 交 BC 于點(diǎn) F.

∵ ∠ BEH = ∠ CDH = 90°,? 且 ∠ BHE = ∠ CHD,

連接 DE ,

且

則有

設(shè) AH 的中點(diǎn)為 M, 連接 DM 和 EM,

在 Rt ΔAEH 中, AM 是斜邊上的中線,

同理, 在 Rt ΔADH 中,

這說明, A, D, E, H 這 4 點(diǎn)共圓, 圓心為 M.

下面就要用到, 之前提到的圓周角的結(jié)論了.

在上述圓中, ∠EAH 和 ∠EDH , 都是弦 EH 對應(yīng)的圓周角,

∴? ∠EAH = ∠EDH,

∵ 之前證了 ∠EDH = ∠BCH,

∴ ∠EAH = ∠BCH,

在 Rt ΔBCE 中,

根據(jù)高的定義, AF 就是 BC 邊上的高, 而它正好經(jīng)過另外 2 條高的交點(diǎn), 至此, 我們就證明了, 銳角三角形的垂心定理.

然后, 我們考慮鈍角三角形, 證明方法類似;

在鈍角 ΔBCH 中, 鈍角所在的頂點(diǎn)為 H, BH 邊上的高為 CD,

CH 邊上的高為 BE, 延長 CD 和 BE, 設(shè)交點(diǎn)為 A,

連接 AH 并延長, 交 BC 于點(diǎn) F.

這個(gè)圖形, 和我們證明銳角三角形的情況, 是相同的; 只不過, 一些點(diǎn)的角色要有變化;

這里的 H 是頂點(diǎn), BE 和 CD 是高, A是這 2 條高的交點(diǎn);

最終也可以證出 AF⊥BC, 方法相同.

對于直角三角形, 我們根據(jù)定義, 可知 3 條高線都經(jīng)過直角頂點(diǎn).

以上, 就是垂心定理的證明.