多元函數(shù)中的可微，是指全微分存在；可導(dǎo)是指偏導(dǎo)數(shù)存在。

全微分可以表示為：

與切平面方程對(duì)比：

可以清晰地看到，假設(shè)A點(diǎn)（x0,y0）與B點(diǎn)（x,y）向上作兩條垂線與切平面相交M，N兩點(diǎn)，其高度分部是z0和z,再將(z-z0)看作是dz,那么全微分就是M,N兩點(diǎn)之間的高度差，也就是說，全微分就代表切平面上兩點(diǎn)的高度差，如下圖：

由以上分析，那么微分存在的前提就是切平面存在，而切平面存在就要求曲面上這一點(diǎn)每個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)存在，如下圖所示：

如上圖，結(jié)合二元函數(shù)的幾何意義，切平面存在，必須要曲面上通過該點(diǎn)任何方向的曲線都具有切線，且這些切線都在同一個(gè)平面（切平面）上。也就是曲面上這一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，也就是只有當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的時(shí)候才能保證微分存在。

但是反過來，微分存在是不是一定要求偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)呢？

由上式看到，只要x,y軸兩個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)存在的時(shí)候，微分就存在，所以由微分存在無法保證其它方向的偏導(dǎo)數(shù)存在，也就是無法保證偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，如下圖。只要曲面上的某點(diǎn)x，y兩個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)存在就是可導(dǎo)。

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

上圖表示，在球面和柱面的交界處，偏導(dǎo)數(shù)肯定不連續(xù)。

簡(jiǎn)單說，就是：

1：當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的時(shí)候，表示切平面存在，從而函數(shù)可微。

2：但反過來，可微不一定能推出偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。