大家好，喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)酥老碧又來跟您瞎侃這本詳實(shí)豐富有趣的名著了，每天五分鐘，數(shù)學(xué)更輕松！——沒錯(cuò)，我說我的。

我們上一期末尾，介紹了一個(gè)精致的小命題：

（每次文章的前半部分都是在回溯之前的內(nèi)容，以防止第一次點(diǎn)進(jìn)來的寶寶一臉懵逼，舊內(nèi)容用紅字，新內(nèi)容用紫字以示區(qū)分）

“從“極限”的觀點(diǎn)定義“相等”

在此之后，書上引入了一個(gè)新穎的牛逼的有趣的非凡的小命題，當(dāng)然也是一個(gè)極其有用的小命題，便是：

這條命題提出了一種全新的對(duì)“相等”的定義方式：意思是說，如果一對(duì)實(shí)數(shù)a，b始終比有理數(shù)s大，比有理數(shù)s'小，而s與s‘的距離是可以“無限接近的”（無限接近的定義：對(duì)任意實(shí)數(shù)e，e>s’-s），那么a=b。

（就好像是被兩篇面包死死夾住的生菜和肉餅，不斷地夾，夾成了一片要多薄有多薄的肉片。——沒錯(cuò)，老碧餓了。）

書中用反證法：假如a>b——

1. 由實(shí)數(shù)的稠密性，存在有理數(shù)r，使得a>r>b，同理，存在有理數(shù)r'，使得a>r'>r，即a>r'>r>b；

2. r'>r，由不等式運(yùn)算性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去r，則r'-r>0，令e1=r'-r；

3. 由命題，s‘>a>b>s，結(jié)合2，s'-s>a-b>r'-r=e1（導(dǎo)出矛盾）

4. 因?yàn)槊}要求，任意的（所有的）實(shí)數(shù)e，e>s'-s，但是如果a不等于b，則會(huì)存在一個(gè)是e1，使得s'-s>e1，所以在任何情況下，a與b不相等的情況都不成立，即a=b。

   說明：

   1.“任意”在邏輯里叫“全稱量詞”，就是對(duì)于所有情況下的一個(gè)評(píng)價(jià)，是一個(gè)很嚴(yán)格的說法，比如說，老碧讀的任意一本書都沒讀懂，意思即是，我讀懂的書為0；

   2.因?yàn)椤叭我狻笔呛車?yán)格的說法， 所以它的對(duì)立面就很簡(jiǎn)單，只要存在一個(gè)不成立，即可推翻，所以很容易想到用“反證法”，“任意”的反面是“存在”，比如，說明一里的例句的對(duì)立就是：還是存在那么一本書，老碧讀懂了的，意思是，老碧雖然學(xué)習(xí)不咋地，但是也讀懂過至少一本書；

   3.用極限的思想去定義“等于”是有些“反直覺”的，可以先接受這種思想再說，然后，明天老碧會(huì)拿一個(gè)例子繼續(xù)說明。”

今天我們就來聊聊，這個(gè)例子，還記得我們介紹過無理數(shù)的最常用的定義方法之一嗎？

“將所有數(shù)都表達(dá)成無限小數(shù)的形式，如果是3.5，就記作3.500000……或者3.499999……，那么就將數(shù)分為兩種，無限循環(huán)與無限不循環(huán)小數(shù)，由此導(dǎo)出無理數(shù)的定義“無限不循環(huán)小數(shù)”；

注：

1.是不是與“排中律”形式十分統(tǒng)一？（是A的元素/不是A的元素）

2.為什么3.50000……=3.49999……？（我們之后會(huì)詳細(xì)證明）”

今天我們就來用上面的小命題來驗(yàn)證2。

1. 首先我們知道3.50000……與3.49999……一定位于3.50000……1（k個(gè)0，k為自然數(shù)）與3.49999……9（k+1個(gè)9，k為自然數(shù)），顯然后兩個(gè)數(shù)是有窮小數(shù)，即有理數(shù)；

2. 我們把k從0開始依次取遍自然數(shù)的所有值，然后和3.50000……與3.49999……比較，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)3.50000……1（k個(gè)0，k為自然數(shù)）>3.50000……>3.49999……>3.49999……9（k+1個(gè)9，k為自然數(shù)）始終成立；

3. 把步驟2無限進(jìn)行下去，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的e

   情形一：e大于0.02的情況對(duì)任意k成立，e>3.50000……1（k個(gè)0，k為自然數(shù)）-3.49999……9（k+1個(gè)9，k為自然數(shù)））；

   情形二：e小0.02，且e第一個(gè)非零數(shù)出現(xiàn)的數(shù)位記成小數(shù)點(diǎn)后第j位，比如小數(shù)，0.004，第一個(gè)非零數(shù)是4，出現(xiàn)在小數(shù)點(diǎn)后第三位，所以j=3，那么我們只有取k=j，上面那個(gè)不等式也會(huì)成立；

   （注：因?yàn)槲覀冎灰业狡渲幸环N取值方式，使不等式成立即可，至于k要不要取到臨界值，不影響這道題的結(jié)論，所以沒必要那么麻煩，這就是所謂的“定性式證明”。數(shù)列極限證明中都是這個(gè)思想。）

4. 綜合情形一二，我們得出來對(duì)于任意的e，總存在k，使得e>3.50000……1（k個(gè)0，k為自然數(shù)）-3.49999……9（k+1個(gè)9，k為自然數(shù)））；

   再結(jié)合上面介紹的命題，我們就得出了，3.50000……=3.49999……的結(jié)論。

   
   

注：這道題還有一個(gè)算術(shù)的方法，原理是把無限循環(huán)小數(shù)變成分?jǐn)?shù)——

例如無限循環(huán)小數(shù)a=3.212121……，我們發(fā)現(xiàn)100a=321.212121……和a的小數(shù)部分一模一樣，這就是無窮的意義，無論常以多少多少次十倍，后面循環(huán)的數(shù)都不會(huì)減少，如果無窮能夠因?yàn)橛邢薜娜∮枚慕?，就不是無窮了。

然后我們想到，把小尾巴消除掉：100a-a=99a=318，那么a=318/99=106/33。

同理，對(duì)b=3.4999……，10b-b=9b=31.5，b=31.5/9=3.5，得證。

今天就先說到這里，明天聊聊書上是如何引入無窮小數(shù)的，不見不散！