我們上次講到了卡丹(Cardan)和他的求根公式?？ǖぶ肋@個問題一定有解，但卻對出現(xiàn)在根號內(nèi)的負(fù)數(shù)無動于衷。他幾乎要成功了，但還是陷入了一個死循環(huán)，他的一切嘗試還是無果。直到一個世紀(jì)后，這個問題終于被他的學(xué)生龐貝里(Rafael Bombelli)向前推進(jìn)了一步。

龐貝里所做的第一步，是接受√(-1)是獨(dú)立于正負(fù)數(shù)外的存在。接下來他很自然地會想，該如何稱呼它?龐貝里的想法倒也實(shí)際，與其發(fā)明一個新名字或符號，不如直接保留原樣。這在當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們一定會大力反對的。但龐貝利還是堅(jiān)持了他的想法，并邁出了正確的一步。

讓我們從幾個例子來認(rèn)識√(-1)，雖然它由我們已知的數(shù)字和符號組成，它卻擁有一個新特性——√(-1)*√(-1)=-1。進(jìn)一步看，因?yàn)樗仟?dú)立于數(shù)軸外的存在，所以必大有內(nèi)涵。如果你覺得這很難理解，沒關(guān)系。我們?nèi)绻幌劝烟摂?shù)以一項(xiàng)新發(fā)明的形式介紹給初學(xué)者，他們會覺得一頭霧水。在我們揭開√(-1)的神秘面紗前，讓我們回顧一下卡丹的困境。

龐貝里并沒有根號下的復(fù)數(shù)被難住，他的先見在于——如果我們拓展既有的數(shù)字，如同人類把自然數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、乃至全體實(shí)數(shù)，或許問題就會有解。因此，如果我們要接納√(-1)，那么它應(yīng)該遵循我們已知的運(yùn)算規(guī)則，這是最重要的。

對于兩個非負(fù)數(shù)a、b，我們有√(ab)=√(a)√(b)，如果我們把a(bǔ)、b拓展到負(fù)數(shù)，等式也應(yīng)當(dāng)成立，比如：√(-25)=√(25)√(-1)=5√(-1)。這個過程很重要，因?yàn)樗选?-1)提取出來，使得根號下的任意負(fù)數(shù)可以寫成√(a)√(-1)的形式。

讓我們再快速驗(yàn)證一下√(-1)是否遵循已有的運(yùn)算規(guī)則。首先，√(-1)遵循同項(xiàng)相加，系數(shù)相加的規(guī)則，也就是√(-1)+√(-1)=2√(-1)。其次，√(-1)與不同項(xiàng)相加，保留原樣，沒有2+√(-1)=2√(-1)這樣的等式。最后，√(-1)遵循乘法規(guī)則，比如5*√(-1)=5√(-1)。

雖然這一切幫助了我們簡化了卡丹的難題，但離解決還差一步。我們還需要知道如何對2+11√(-1)和2-11√(-1)這兩個數(shù)字開立方根。而龐貝利如何再度找到靈感，破解難題，我們下集繼續(xù)。

拓展閱讀

在卡丹的數(shù)學(xué)著作《Ars Magna》中，有這么一個問題：

找出兩個滿足如下性質(zhì)的數(shù)x、y，使得：

① 兩者之和等于10 、② 兩者之積等于40。

如今，我們可以很輕易地解出x、y分別為5+√(-15)和 5-√(-15)。

然而，卡丹稱這個結(jié)果是顯然不可能的結(jié)果“manifestly impossible”。可是他還是把結(jié)果寫了上去。有趣的是，盡管卡丹公布了他的結(jié)果，他卻對此評價不高，他說：

So progressing arithmetic subtlely the end of which, as is said, is refined as it is useless.

譯者注：近在咫尺，又遙不可及，這是每個做學(xué)問者的必經(jīng)之路。

討論

1.請結(jié)合當(dāng)時的背景，談?wù)勈鞘裁磩訖C(jī)促使了龐貝利接納√(-1)？

2.如果你在做卡丹一樣的事，有一位叫龐貝利的后人在你的基礎(chǔ)上解決了這個問題。他所做的僅僅是接納√(-1)的存在。對此，你想對龐貝利說些什么？