那么平均占據(jù)體積它的上限和下限是多少呢？

首先考慮最小的情況。假設(shè)一根竹簽為一個理想的細長圓柱體，高度是L，底面半徑為r，考慮空間最密堆積，可以計算出，一堆竹簽中單根竹簽的最小占據(jù)體積是。

高密度堆積圓柱? 來源：Woden Kusner

在考慮最大占據(jù)體積時，我們需要限制這一堆竹簽的可能排列方式，不然如果這堆竹簽中有幾根相距無窮遠的竹簽，那么這堆竹簽的體積可以對應(yīng)無窮大。根據(jù)這個明顯不符合我們預(yù)期的例子，我們可以要求這堆竹簽中每一根竹簽至少與一根其它竹簽接觸。

但這樣還有一個反例，那就是這些竹簽連接成環(huán)，這樣它們對應(yīng)的凸多面體的體積很大，但實際上中間有很大的空心部分。

如果我們?yōu)槊扛窈炠x予一個以它自身為直徑的小球。那么我們要求，所有竹簽對應(yīng)小球的體積疊加在一起（允許部分重疊）可以覆蓋整個多面體。這樣，如果竹簽連接成環(huán)，那必然會有空心的部分，因此被排除在假設(shè)之外啦。

接下來的問題就交給數(shù)學(xué)了?？紤]竹簽是只有長度，橫截面積為零的線段。我們需要在所有可能的竹簽排列方式中找出平均占據(jù)體積最大的解。嚴(yán)格的證明比較困難，但是物理人絕不認(rèn)輸——我們可以想辦法去靠近這個解，并“順便”在這個逼近的過程中探尋物理規(guī)律。

先看最簡單的情況。一根竹簽變不出什么花樣來；當(dāng)有兩根竹簽時，由于必須相互接觸，則構(gòu)造的凸多邊形面積為|a×b|/2，考慮上竹簽厚度r的話，平均占據(jù)體積為|a×b|r/4。當(dāng)兩根竹簽相互垂直時，這個體積達到最大，為rL/4。

當(dāng)有三根竹簽時，可以忽略竹簽厚度。任意三條相接觸的線段對應(yīng)的凸多面體的體積為|a?(b×c)| /6，平均占據(jù)體積為|a?(b×c)| /18。當(dāng)三根竹簽相互垂直時，這個體積達到最大，為L/18。如果這三根竹簽的中心也恰好在一起，那么它們對應(yīng)的凸多面體就恰好是正八面體。正八面體同時也是三根竹簽對應(yīng)的凸多面體中對稱性最高的圖形，具有48種對稱操作。因此，竹簽的取向?qū)ζ骄紦?jù)體積影響很大。

八面體金字塔??

來源：wiki

這個解給了我們什么啟發(fā)呢？對比這個解和平均占據(jù)體積最小的解，我們發(fā)現(xiàn)，兩個解中各個竹簽的方向排列不同。平均占據(jù)體積最小的解，所有的竹簽排列方向都是一樣的，而目前找到的最大的平均占據(jù)體積的解，每根竹簽的方向都不同，而且是盡最大可能的不同（數(shù)學(xué)上該如何定性描述呢，emm, 物理人深思）。

而對于更多數(shù)目的竹簽，情況更加復(fù)雜。小編雖然沒有找到合適的數(shù)學(xué)模型去求解，但有一個物理模型作為破解思路。實際上，微觀世界中也存在著這樣的一堆竹簽，那就是液晶。將這種材料放大到分子尺度，可以看到它們是由一根根“小竹簽”排列組合而成的，它們在低溫時呈現(xiàn)晶體相，也就是周期性的有序排列，隨著溫度升高，這些“竹簽”變得可以流動起來，有序的取向逐漸向無序轉(zhuǎn)變，直到最后所有液晶順序都丟失，達到各向同性的液體狀態(tài)。這些液晶分子的取向或許可以為我們的最大占據(jù)體積提供線索。

從結(jié)晶狀態(tài)加熱時觀察到的不同液晶（LC）相的示意圖

來源：I.Dierking

好了好了，說到這里小編讀者朋友已經(jīng)lay了，不如讓我們回歸生活，看看有序和無序還有哪些體現(xiàn)吧——

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01

更多的發(fā)量

同一個頭，不同的發(fā)量? 來源：baijiahao

左側(cè)的頭發(fā)占據(jù)的空間體積大，每根頭發(fā)的排列方向較為分散，右側(cè)的頭發(fā)占據(jù)的空間體積小，每根頭發(fā)的排列方向整齊。

咱也就是說，保持頭發(fā)亂一些，可以從視覺上增大發(fā)量（bushi

靜 電 增 發(fā) ?。?來源：蜂鳥網(wǎng)

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02

更暖的衣服

美麗的鵝絨毛? 來源：sohu

每一根鵝絨上都有大量的細絲，每根細絲上還會分出大量絨毛。

滿杯鵝絨? 來源：baijiahao

這些絨毛上的細絲方向雜亂無章，每一團鵝絨雖然很輕，但都能占據(jù)較大的體積。而這部分體積中大多數(shù)是空氣，空氣具有良好的隔熱特性，這使得羽絨服雖然不重，但保暖效果很好。

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03

更旺的篝火

燃燒的篝火

來源：全景網(wǎng)

錯亂擺放的木柴，同樣具有比木柴本身體積更大的平均占據(jù)體積，這使得空氣能夠在木柴搭出的空洞中更好的流通，讓木柴更充分的燃燒。