首先我們拿到一個(gè)定音鼓：

把其他亂七八糟的先扒掉，抽真空。剩下一個(gè)一個(gè)理想二維膜面，位于真空，沒有彎曲剛度和剪切剛度。周邊固定，發(fā)生小振動(dòng)。寫出其Lagrange量密度：

帶入Euler-Lagrange方程得到經(jīng)典的振動(dòng)方程：

分離出時(shí)間振動(dòng)部分，變成一個(gè)Laplace算子的特征值問題：

于是我們得到了正交的振動(dòng)模態(tài)以及對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率（即特征值）。特征值的漸進(jìn)行為由Weyl定理刻畫：

雖然對(duì)于圓形鼓可以嚴(yán)格求解，但是Weyl定理告訴我們的已經(jīng)足夠多了：二維鼓的泛音列是按照\sqrt{n}規(guī)律增長(zhǎng)的。何況總有一些奇怪的民族造出一些奇怪的東西來

現(xiàn)在我們帶上空氣玩（剛度的影響微不足道）。這樣這個(gè)體系需要用三個(gè)PDE刻畫，鼓內(nèi)的空氣，鼓面，以及鼓外的空氣。鼓搗一番之后，我們消元拿到一個(gè)微分-積分方程

這相當(dāng)于在原來的Laplace算子特征值問題里加上了一個(gè)微擾項(xiàng)。然后我們就可以做數(shù)值計(jì)算，算出相比于原來的泛音列的畸變。

拿出matlab仔細(xì)算一下：理想鼓的前四個(gè)泛音是1.00 : 1.34 : 1.66 : 1.98，帶上空氣之后變成1.00 : 1.51 : 1.99 : 2.46。物理能告訴我們的到此為止。這么一串泛音列傳到我們耳朵里邊好不好聽，就是心理的范疇了。

一串亂七八糟的泛音列傳到我們耳朵里，聽起來有沒有音高，音高有多高？所謂的missing fundamental效應(yīng)聲稱感覺到的基頻音高會(huì)偏向于泛音列的最大公約數(shù)。如果沒有最大公約數(shù)（比如1和\sqrt{2}這種沒有簡(jiǎn)單整數(shù)比的），就沒有明顯的音高感。這就能解釋純五度好聽：如果是A4出發(fā)的純五度，泛音列就是440,660,880,...能給出很好的音高感來。

這事情到底是怎么回事，首先我們可以想，簡(jiǎn)單整數(shù)比周期的正弦波疊加起來會(huì)不太亂，所以最大公約數(shù)的出現(xiàn)不是沒道理的。

有的理論認(rèn)為人對(duì)音高的感知基于自相關(guān)函數(shù)。假設(shè)我們有一個(gè)泛音列：

其自相關(guān)函數(shù)是

自相關(guān)函數(shù)的第一個(gè)峰值對(duì)應(yīng)著感知到的音高464Hz。如果我們把基頻去掉：

自相關(guān)函數(shù)的變化不大：

所以感知到的音高沒變?？雌饋磉€是比較優(yōu)雅的一個(gè)理論，但是是否符合聽覺機(jī)制還有爭(zhēng)議。

回到定音鼓。理想鼓的前四個(gè)泛音是1.00 : 1.34 : 1.66 : 1.98，沒有簡(jiǎn)單整數(shù)比，所以沒有音高感；帶上空氣之后變成1.00 : 1.51 : 1.99 : 2.46，接近于簡(jiǎn)單整數(shù)比，所以能夠聽到0.50的音高，所以才叫定音鼓。于是這樂器大約就是這樣。