假設現(xiàn)在有一個周期函數(shù) f(t), 而且我們不知道它的表達式, 但是我們知道它的圖像(強度),? ?所以我們可以有辦法知道它的表達式

我們知道它是周期函數(shù), 并且知道它的周期為T, 那么實際上知道它一個周期就知道了它的全部信息,?那么這個函數(shù)我們可以截取一個周期出來進行分析, 我們可以選擇?[-T/2, T/2)?, 也可以是?[0, T)?, 因為工程上不太喜歡負數(shù), 所以我們選取?[0, T) .

因為是周期函數(shù), 我們猜想它可以用一大堆正弦函數(shù)模擬出來 (是猜想, 不一定符合所有情況)

選取這些正弦函數(shù)也很有學問, 因為f(t)的周期是T, 所以正弦函數(shù)的周期只能是T的整分數(shù)倍, 也就是?T/n (n是整數(shù))?, 那么它們的頻率只能是?n/T?了, 而且n的取值也不用考慮負數(shù), 因為負數(shù)頻率會和相對應的正數(shù)頻率互相抵消一部分,? ??所以總的來說 f(t) 可以表達成這種形式:

那么我們怎么確定An和ψn呢?

事實上, ψ是這個壞文明, 異常難計算 (是真的),? 所以我們把cos拆成sin和cos (高中里叫三角什么什么式子來著?)

然后我們記? ? ?An·cos(ψn) = an? ? ??An·sin(ψn) = bn? ??, 那么原來的式子就變成了沒有相位的cos和sin相加的函數(shù)

那么我們怎么求an和bn呢? ?也就是求各個頻率的cos和sin的權重

在積分學里有兩條很神奇的式子:

第一條式子告訴我們,? 在積分中,? 不同頻率的sin互不干擾?(在周期內, 切頻率相差整數(shù)倍),? ?同理也適用在cos中

第二條式子告訴我們, 在積分中, sin和cos互不干擾 (在周期內)

那就真的非常神奇了, 我們不就可以用嘖兩條式子去提取? f(t) 理想函數(shù)中的an和bn了?? ? ?只要在積分式前面除以一個π以抵消第一條式子的第二個情況產生的π就完美了

這里說一下, 第一條式子的第二個結果π產生的原因是? ? 范圍我在[-π, π]中, 區(qū)間長度是2π, 而結果的π其實就是區(qū)間長度的一半, 所以是不應該說成π的, 應該為T/2

很多讀者看到這兩條式子肯定會想:? ? ???式子里面怎么有f(t)呢, 我們不是不知道f(t)然后在求解f(t)嗎???

這個問題問得非常好, 我也不知道怎么跟你解釋, 因為拉普蘭德只是一條傻狗,? 事實上, 我們并不需要關心f(t)是個什么東西, 重要的是an和bn, 我們用數(shù)學方法把一個不知道什么東西的函數(shù)跟正弦函數(shù)扯上了關系,? 這也代表我們已經到達神的境界了,? ??(事實上我是真的不會解釋.....)

考慮了很久之后覺得可以摸一段落,? 讓我們來看看今天的成果吧

已知橙色的原函數(shù), 再經過上面的求an,bn, 然后代入f(t)的理想函數(shù)中累加,? ? ?我這里只累加了7次,? 只要一直累加下去會越來越接近原函數(shù)的

注: 如果觀眾們打算自己驗證一次的話, 會發(fā)現(xiàn)計算結果不是這個樣子的,? tips: 把n=0的哪一項除以2就是正確結果了? ? ??我也不知道怎么跟你解釋, 因為拉普蘭德只是一條傻狗, 其實我是知道怎么回事的, 但是這個問題已經超出數(shù)學范圍了, 這里就不解釋吧

后面還是希望大家可以把這個系列推薦給身邊對這種東西感興趣的人吧

對數(shù)學細節(jié)感興趣的讀者可以期待一下遙遙無期的附章wwwwwww

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