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復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)每周一題[2021A15]參考解答

2021-12-21 19:28 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文是本人給出的2021年復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問題2021A15]的解答

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習(xí)

（鏈接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文僅供學(xué)習(xí)交流，如有錯誤懇請指正！

[問題2021A15](1)設(shè) $f%5Cleft(x%5Cright)%3Da_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ccdots%2Ba_1x%2Ba_0$ 是整系數(shù)多項式， $1%5Cle%20k%5Cle%20n$ .設(shè)存在素數(shù)p，使得 $p%5Cnmid%20a_n%2Cp%7Ca_%7Bk-1%7D%2Cp%7Ca_%7Bk-2%7D%2C%5Ccdots%2Cp%7Ca_0%2Cp%5E2%5Cnmid%20a_0$ ，證明: $f%5Cleft(x%5Cright)$ 有一個次數(shù) $%5Cgeq%20k$ 的不可約因子.

(2)設(shè) $n%5Cgeq2$ 為正整數(shù)，p為素數(shù)，證明: $x%5En%2B%5Cleft(p%2B2%5Cright)x%5E%7Bn-1%7D%2Bp$ 在有理數(shù)域上不可約.

證明(1)設(shè) $f%5Cleft(x%5Cright)%3Df_1%5Cleft(x%5Cright)f_2%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdots%20f_m%5Cleft(x%5Cright)$ ，其中 $degf_i%5Cleft(x%5Cright)%3Ck%2C%5Cforall1%5Cle%20i%5Cle%20m%5Cle%20n$

只需討論 $m%5Cgeq2$ 的情形，否則 $m%3D1$ 意味著 $f(x)$ 自身不可約，結(jié)論得證.

考慮 $f_i$ 的常數(shù)項，不應(yīng)當(dāng)為0，否則 $p%5E2%7Ca_0$ ,矛盾.并且有且僅有一個 $i$ ，使得 $f_i$ 的常數(shù)項被p整除.記上述 $f_i%5Cleft(x%5Cright)%3Dg%5Cleft(x%5Cright)$ ,其余所有 $f_j%5Cleft(x%5Cright)$ 的連乘積記為 $h%5Cleft(x%5Cright)$ ，則 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Dg%5Cleft(x%5Cright)h%5Cleft(x%5Cright)$ .

設(shè) $g%5Cleft(x%5Cright)%3Db_rx%5Er%2B%5Ccdots%2Bb_1x%2Bb_0%2Ch%5Cleft(x%5Cright)%3Dc_%7Bn-r%7Dx%5E%7Bn-r%7D%2B%5Ccdots%2Bc_1x%2Bc_0$ ，其中 $p%7Cb_0$ 且 $p%5E2%5Cnmid%20b_0%2Cp%5Cnmid%20c_0$

考慮 $a_1%3Db_0c_1%2Bc_0b_1$ ,兩邊模p有 $p%7Cb_1$ ，再考慮 $a_2%3Db_0c_2%2Bb_1c_1%2Bb_2c_0$ ，同理可得 $p%7Cb_2$

以此類推，又由 $r%3Ck$ 可知 $r%5Cle%20k-1$ ，于是我們可以得到 $p%7Cb_i%2C%5Cforall0%5Cle%20i%5Cle%20r$ .

從而 $p%7Ca_n%5Cleft(%3Db_rc_%7Bn-r%7D%5Cright)$ ，矛盾！

因此 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 有一個次數(shù) $%5Cgeq%20k$ 的不可約因子，更具體地， $f(x)$ 的分解式中一定只有這個不可約因子的常數(shù)項被p整除.

(2)由(1)可知 $x%5En%2B%5Cleft(p%2B2%5Cright)x%5E%7Bn-1%7D%2Bp$ 有一個次數(shù) $%5Cgeq%20n-1$ 的不可約因子，于是它有有理根或者不可約.只需考慮有有理根的情形，由有理根定理可知根只可能為 $%5Cpm%20p$ ，只需考慮 $-p$ 的情形，分奇偶討論可知n無解.于是 $x%5En%2B%5Cleft(p%2B2%5Cright)x%5E%7Bn-1%7D%2Bp$ 在有理數(shù)域上不可約.

$%5BQ.E.D%5D$

注(1)文末附上圖片格式的解法，有需要的讀者可以自行取用，僅供學(xué)習(xí)交流

(2)至此21級復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)I每周一題的參考解答已經(jīng)全部上傳完畢了，我稍后會將解答上傳至網(wǎng)盤，在后臺私信我“21級復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)I每周一題”會自動回復(fù)網(wǎng)盤鏈接，如果失敗了，可以在評論區(qū)中評論；如果覺得我的資料有幫助，可以點贊、收藏、分享或者為我充電，感謝支持！