鄭濤（Tao Steven Zheng）著

牟合方蓋是魏晉時期數(shù)學家劉徽（公元 3 世紀）構造的立體幾何形狀。此特殊形狀出于中國古代數(shù)學家推導精確球體體積公式的研究?！毒耪滤阈g》第四卷“少廣”里的開立圓術給出球體積公式為

其中， 為球體的直徑。 劉徽指出這個公式不準確，誤差較大。據(jù)劉徽《九章算術注》：

???? 取立方棊[1]八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規(guī)之為圓囷 [2]，徑二寸，高二寸。又復橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣。八棊皆似陽馬[3]，圓然也。按：合蓋者，方率也。丸[4]其中，即圓率也。

今譯：取 8 枚正方體棋，使每個正方體的邊長都是 1 寸，將它們合拼起來，成為邊長為 2 寸的正方體。豎著用圓規(guī)分割它，變成圓柱體：直徑是 2 寸，高也是 2 寸。又在橫著使用上述方法割，那么分割出來的形狀就像一個牟合方蓋。而 8 個方棋都像陽馬，只是呈圓弧形的樣子。按：盒蓋（牟合方蓋）的率是方率，那么球體內切于其中，一定是圓率。

[1] 棊 qí：“棊” 同“棋”；立體幾何模型。

[2] 圓囷 yuán qūn：圓柱體。

[3] 陽馬 yáng mǎ：底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體。

[4] 丸 wán：球體；古人將球稱為“丸”或“立圓”。

從劉徽這一段描述牟合方蓋為兩個等徑正交圓柱體（圓囷）的公共部分。它的每一個橫截面皆是正方形，與內接球在等高的橫截面的圓形面積比率為?（方率：圓率）。因此，牟合方蓋體積與球體積之比率也是 。

從而，劉徽把推導球體積的問題轉化成推導牟合方蓋體積的問題?？上?，劉徽沒有解決這個難題。

在劉徽后二百多年，南北朝時期數(shù)學家祖暅（公元5世紀）進一步想出了求牟合方蓋體積的方法。他把邊長為內接球半徑? 的棊（立方體全體的八分之一）分為兩個部分：內棊（牟合方蓋全體的八分之一）和外棊。

如圖 1-3 左，設橫截面與底面的距離為 、內棊的截面（紫色陰影區(qū)）之邊長為 。由勾股定理，內棊的正方形截面之邊長是 。內棊截面積是 。設棊截面積為? ? 、棊截面（紫色陰影區(qū)）的面積為 。外棊截面（紅色陰影區(qū)）的面積是棊截面與內棊截面的面積差：

祖暅提出“緣冪勢既同，則積不容異”[5]的原理來分析外棊的體積。這里“冪”是指截面積，“勢”是指立體的高，即兩個立體在等高處的截面積相等，則這個兩立體的體積也是相等的。如圖 1-3 右，祖暅由此得知外棊的體積和一個正陽馬的體積是相等的。

[5] 這個原理叫 “祖暅原理” 或 “劉祖原理”。

所以內棊的體積是

牟合方蓋的體積等于八個內棊，所以

因為 ，球體積是

古中國數(shù)學家一般使用球的直徑：

唐代道士、數(shù)學家、天文學家李淳風（602 年－670 年）取用 ，給出球體積公式