《放學(xué)后骰子俱樂部》/《放學(xué)后桌游俱樂部》第8話中出現(xiàn)了一款名為“DOBBLE”（常譯為“嗒寶”、“哆寶”）的桌游。暫且拋開其游玩過程的規(guī)則形式，其物質(zhì)存在本身就饒有趣味——該桌游實(shí)物由55張卡片組成，每張卡片含有8種不同符號，每兩張卡片都有且只有一個(gè)公共符號。這種物質(zhì)存在如何成為可能？其構(gòu)造的難度又怎樣？

抽象地，想要構(gòu)造N張卡片，每張卡片含有k種不同符號且每兩張卡片都有且只有一個(gè)公共符號，是否一定可能？如果可能的話至少一共需要多少種不同的符號？

論存在的可能

對于可能性的問題，如果不計(jì)設(shè)計(jì)符號的代價(jià)即可以使用任意多的符號，那么對于任意N、k，均存在如下卡片符號分配方案：

• 第1張卡片：符號1、符號(2,1)、……、符號(k,1)，

• 第2張卡片：符號1、符號(2,2)、……、符號(k,2)，

• ……

• 第N張卡片：符號1、符號(2,N)、……、符號(k,N)。

易見所有卡片都有且只有同一個(gè)公共符號符號1。

這種樸素的方案總共需要使用1+(k-1)N個(gè)符號，對于N=55、k=8，這個(gè)數(shù)量將達(dá)到386種，即截止到第三世代為止的寶可夢的數(shù)量，設(shè)計(jì)如此多（且要易于分辨）的符號實(shí)屬巨大的工作量。而且此方案中所有卡片的公共符號均是同一種，可以預(yù)見將會(huì)大大降低游戲性。在此方案的基礎(chǔ)上，是否存在總符號數(shù)更低、每個(gè)符號的重復(fù)使用率更高的構(gòu)造方案？

論存在的可能 第二部分

逆向考慮一個(gè)等價(jià)的問題（其等價(jià)性推遲到后一部分進(jìn)行闡述）：總共使用S種符號，每張卡片含有k種不同符號且每兩張卡片都有且只有一個(gè)公共符號，最多能構(gòu)造多少張卡片？

顯然，當(dāng)S<k時(shí)，無法構(gòu)造卡片。假設(shè)S≥k，且不妨設(shè)第1張卡片含有的符號是符號1、符號2、……、符號k。進(jìn)而剩余的卡片可以按照它們和第1張卡片的公共符號分為k類，即公共符號為符號1的卡片們一直到公共符號為符號k的卡片們。在同一類中，比如第1類中，由于所有卡片都含有相同的公共符號符號1，它們之間不能再產(chǎn)生公共符號了。如果總共只存在一個(gè)類，那么方案將退化為前述的樸素方案，因此假設(shè)至少還存在第二個(gè)類，比如第2類。考慮第2類中的一張卡片，它需要和第1類中的每張卡片都有公共符號，而第1類中所有卡片上的所有符號（除了符號1）都是不同的，因此如果第1類有n張卡片，那它（除了符號2）至少就要含有n種符號，由此可知n≤k-1。由于上述討論并不依賴于具體是哪一個(gè)類，所以每個(gè)類都至多有k-1張卡片，進(jìn)而總共最多存在1+k(k-1)張卡片。

另一方面，N=1+k(k-1)張卡片的構(gòu)造在一定條件下切實(shí)存在。設(shè)第1類中的k-1張卡片的符號為：

• 第1張卡片：符號1、符號(2,1)、符號(3,1)、……、符號(k,1)，

• 第2張卡片：符號1、符號(2,2)、符號(3,2)、……、符號(k,2)，

• ……

• 第k-1張卡片：符號1、符號(2,k-1)、符號(3,k-1)、……、符號(k,k-1)。

則第2類中的k-1張卡片可以取符號分配：

• 第1張卡片：符號2、符號(2,1)、符號(2,2)、……、符號(2,k-1)，

• 第2張卡片：符號2、符號(3,1)、符號(3,2)、……、符號(3,k-1)，

• ……

• 第k-1張卡片：符號2、符號(k,1)、符號(k,2)、……、符號(k,k-1)。

即第2類中的符號方陣的每一行是第1類中的符號方陣的對應(yīng)的列。這樣第2類中的每一張卡片與第1類中的每一張卡片都有且只有一個(gè)公共符號，因?yàn)橐粋€(gè)符號全不相同的方陣中的一行和一列有且只有一個(gè)公共符號，即該行該列的交點(diǎn)處的符號。

受此啟發(fā)，由于對角線和每一行、每一列都只有一個(gè)交點(diǎn)，可以依照所有“回環(huán)”的對角線平行線（“回環(huán)”例如對角線平行線(3,1)到(k,k-2)之后折回(2,k-1)）分配第3類中的卡片的符號；進(jìn)一步，可以依照斜率為2的線分配第4類、依照斜率為3的線分配第5類、……、依照斜率為k-2的線分配第k類。直觀上，這樣分配后，同一類中的線斜率相同互相平行沒有交點(diǎn)，不同類中的線斜率不同由于“回環(huán)”必定會(huì)有而且僅有一個(gè)交點(diǎn)。為了完整性，以下將會(huì)列出這種構(gòu)造的表達(dá)式，但是具體的表達(dá)式并不十分重要，而且會(huì)因?yàn)闊o設(shè)計(jì)的坐標(biāo)選取變得不必要地復(fù)雜，上述幾何圖像是這種構(gòu)造最為重要的核心思想。形式化地，第i類中的第j張卡片的符號為：

• （符號i、）符號(j+1?mod?k-1,1)、符號(j+1+(i-2)?mod?k-1,2)、……、符號(j+1+(k-2)(i-2)?mod?k-1,k-1)；通式即第m個(gè)符號為符號(j+1+(m-1)(i-2)?mod?k-1,m)。

其中mod?k-1取特殊范圍2到k，即計(jì)算2到k中模k-1同余的數(shù)。在有了形式化表達(dá)式后，可以對前述幾何直觀進(jìn)行驗(yàn)證，會(huì)發(fā)現(xiàn)想要使斜率不同的“回環(huán)”線之間永遠(yuǎn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，需要同余除數(shù)k-1是素?cái)?shù)（核心地，有且只有一個(gè)交點(diǎn)要求兩斜率之差與k-1互素，因而若k-1是素?cái)?shù)則直接保證了這一點(diǎn)）。

這種方案所需要的總符號數(shù)為k+(k-1)(k-1)=1+k(k-1)，恰巧等于（最大）卡片數(shù)N。作為比較，前述的樸素方案所需的總符號數(shù)為1+(k-1)N，為此方案的k-1倍以上。

綜上所述，當(dāng)有1+k(k-1)種不同符號時(shí)，最大存在相同數(shù)量1+k(k-1)張卡片，而且當(dāng)k-1是素?cái)?shù)時(shí)構(gòu)造切實(shí)存在，而且遵循這種構(gòu)造，所有符號的重復(fù)使用次數(shù)均為k次；而若想要構(gòu)造在此之上數(shù)量的卡片，只能立即退化到前述的樸素方案（因?yàn)楦鶕?jù)之前的論述，此時(shí)只能存在一個(gè)類），此時(shí)所需的總符號數(shù)急遽上升。對于k=8，k-1=7是素?cái)?shù)，這種構(gòu)造給出的卡片數(shù)是57，實(shí)際使用N=55可能是為了美觀，而且據(jù)傳言有人數(shù)過實(shí)際使用的總符號數(shù)確實(shí)是57。

論解答的完備

1、當(dāng)總符號數(shù)少于1+k(k-1)時(shí)，最大可構(gòu)造多少卡片？

直觀上，減少符號數(shù)（但仍然≥k，<k時(shí)無法構(gòu)造卡片）對應(yīng)在符號方陣中刪去方格，進(jìn)而減少的卡片數(shù)對應(yīng)經(jīng)過被刪去方格的各種斜率的“回環(huán)”線，等于被刪去方格數(shù)乘以k再減去重復(fù)計(jì)算。故想要減少的卡片數(shù)盡可能少，應(yīng)使重復(fù)計(jì)算盡可能多，即刪去的方格盡可能不共線。

2、當(dāng)k-1不是素?cái)?shù)時(shí)，最大切實(shí)可構(gòu)造多少卡片？

一個(gè)未必最優(yōu)的方案是依然采取前述基于斜率的構(gòu)造，但僅使用（行、列、以及）斜率1、2、……、p-1，其中p為k-1最小的素因數(shù)，這樣仍能保證不同斜率的“回環(huán)”線有且只有一個(gè)交點(diǎn)（由于任兩個(gè)斜率之差至多為p-1，由p的最小性一定與k-1互素）。這種方案給出的切實(shí)構(gòu)造是1+(p+1)(k-1)張卡片。此時(shí)依然需要1+k(k-1)種不同符號。另外，這種方案在基于斜率的構(gòu)造中是最優(yōu)的，因?yàn)槿绻褂昧顺^p-1個(gè)斜率——將列視作斜率0則是超過p個(gè)斜率——?jiǎng)t由抽屜原理可知必有兩個(gè)斜率模p同余，即它們的差不與k-1互素。

進(jìn)一步地，亦可以考慮k-1不是素?cái)?shù)、且總符號數(shù)少于1+k(k-1)的情況。在這一情況下，如何最優(yōu)地統(tǒng)籌配置斜率與被刪去方格似乎更為復(fù)雜。

3、（固定k，）給定卡片數(shù)N求最小總符號數(shù)S(N)與給定總符號數(shù)S求最大卡片數(shù)N(S)的等價(jià)性何以見得？

等價(jià)性可由雙方的單調(diào)性易見。對于卡片數(shù)如果存在一種卡片數(shù)為N的構(gòu)造那么一定存在一種（相同總符號數(shù)的）卡片數(shù)小于N的構(gòu)造：只要隨意刪去卡片即可；對于總符號數(shù)如果存在一種總符號數(shù)為S的構(gòu)造那么一定存在一種（相同卡片數(shù)的）總符號數(shù)大于S的構(gòu)造：只要不使用多出的符號即可。構(gòu)造性地，S(N)=min{S:N(S)≥N}、N(S)=max{N:S(N)≤S}。

4、日常哲學(xué)在哪里？

日常哲學(xué)僅出現(xiàn)在日常哲學(xué)不存在的地方，日常哲學(xué)的缺席本身就蘊(yùn)含了日常哲學(xué)。

或者說，在《放學(xué)后骰子俱樂部》里。

知らなかった君を知るたびに、知らなかった自分を知るんだ。

每一次了解到未曾知曉的你時(shí)，也會(huì)了解到未曾知曉的我自己。