如圖，圓A，圓B，圓C兩兩相切與D，E，F(xiàn)三點，圓ω同時與圓A，圓B，圓C外切，其中與圓C的切點為I，與圓B的切點為J；圓φ與圓A，圓B，圓C同時外切，其中與圓C的切點為M，與圓B的切點為N，直線IM與NJ相交于X，ID與JF相交于Y，DM與FN相交于Z，求證：XYZ三點共線。

觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)這個圖有一個很明顯的特點：相切的圓們。這其中藏著許多切線帶來的角等，也成全了許多四點共圓，這些四點共圓能為我們提供破題的方向。

由切線（圖中綠線）帶來的等角（難度不大，篇幅限制，懶得碼字，還請各位大佬自己倒吧），可得EFHJ四點共圓。同理：DHIE，DJIF四點共圓。觀察這三個圓，我們發(fā)現(xiàn)，點Y恰為三圓根心，于是Y在圓HIE與圓HJE的根軸上，即HYE三點共線。

類似的，我們還能得到如上圖三個四點共圓，以及根心Z。

以上對點Y，Z的刻畫似乎不能給我們帶來什么幫助。這里，需要一個引理來幫助我們。

如下圖，三角形ABC外心為O，過三邊分別做三個圓，再次交于DEF三點，設(shè)三圓根心為P，三角形DEF外心為Q，則OPQ三點共線。

我們用位似的手段證明這個引理。

設(shè)AF，BD，CE分別再次交圓DEF于H，G，I。由對視角相等易得圖中粉色角相等。于是HI∥BC。同理，GH∥AB，IG∥AC。由這三對平行，易得△ABC∽△GHI，準(zhǔn)確來說是位似，位似中心為P。注意到Q同時也是△IGH的外心，于是兩個三角形外心連線過點 P就是顯然的了。

設(shè)圓PMN的圓心為O，△DEF外心為R，三角形IJH外心為S，由引理，ORZ三點共線，SXY三點共線。這時，我們遇到了一個困難：X點的刻畫。X點是NJ與IM的交點，這兩條線似乎暗示了一內(nèi)切，一外切，兩圓的關(guān)系。

由切線的性質(zhì)，易得圓DEF為三角形ABC的內(nèi)切圓，即三角形ABC的內(nèi)心為R（未畫出）。注意到RD，RE，RF均為切線，易得R到三圓的冪均為圓DEF半徑的平方。設(shè)RI，RJ，RH分別再次交圓O于M1，N1，P1。由圓冪定理，易得點I，J，H關(guān)于圓DEF的反像分別為M1，N1，P1。于是圓IJH與圓M1 N1 P1互為反像。

那么圓MNP與圓M1 N1 P1的關(guān)系又是什么呢？注意到過R的任意一條射線，與圓A，圓B，或圓C相交得到的兩點均為關(guān)于圓DEF的一對反像，簡而言之，R關(guān)于三圓的極線分別為DE，EF，DF。

所以，設(shè)圓M1N1P1與圓A再次交于P2，則P2關(guān)于圓DEF反演后得到的點既在圓R上，又在圓A上。而圓R與圓A相切，所以，最這個點一定是H點。而H點的反像為P1。這就證明了P1，P2是同一點，即圓M1N1P1與圓A相切。同理它也與另兩個圓相切。至此，我們探明了圓MNP與圓M1N1P1的關(guān)系，那就是：同一個圓！所以，NJ與IM交出的X點就是R點。

這樣，剛剛的ORZ三點共線，SXY三點共線可寫成:OXZ三點共線，SXY三點共線。

注意到要證的問題：XYZ三點共線。我們發(fā)現(xiàn)，已證的兩組三點共線并不能合為一組四點共線，所以，我們還要證OXS三點共線。

OSX三點都是圓心，且圓S關(guān)于圓X的反像為圓O。由反演的性質(zhì)，有OSX三點共線。

于是，三組三點共線：OSX，OXZ，SXY便可寫成一組五點共線：OSXYZ五點共線。這五點里，就有我們要的XYZ三點共線。