第1部分

半經(jīng)典量子化和路徑積分

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第1章

路徑積分和點(diǎn)粒子

1.1為什么選擇弦？

????當(dāng)今最大的科學(xué)刺頭之一就是統(tǒng)一現(xiàn)代物理的兩個基本理論——量子場論和廣義相對論，并成一個理論框架的斗爭。顯然，兩個理論組合體現(xiàn)出人類對最基本的自然力的全部知識的整個的總和。譬如量子場論業(yè)已在現(xiàn)象上成功解釋小到10^-15厘米的微觀物理規(guī)律。相反，廣義相對論對完整和諧的統(tǒng)一體系的大量度行為的解釋則無可匹敵，提供了一個迷人又信人的對宇宙本身起源的描述。這兩個理論驚人的成就在于二者合并后可以解釋大到40個數(shù)量級，從亞核子到宇觀領(lǐng)域的事件和能量行為。

????然而，兩個理論整體的不可相容性已經(jīng)成為前五十年的巨大謎團(tuán)。就好像大自然有兩個腦瓜，每個腦瓜在它自己特殊的領(lǐng)域獨(dú)立于另一個腦瓜工作，造成它倆整體的分離。為什么大自然要在它最底下最基礎(chǔ)的層面上要求兩個完全不著邊的框架、有兩套數(shù)學(xué)計(jì)算、兩套假設(shè)以及兩套物理原則呢？

????理想上，我們想要有一個統(tǒng)一理論來統(tǒng)一這兩個基本理論：

然而，歷史上過去幾十年對這兩個理論統(tǒng)一的嘗試都很糟糕。他們不可避免地充斥了無窮或者

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違背了一些物理學(xué)所持守的原則，比如因果律。過去幾十年在量子場論中發(fā)展的重整化理論縱有高強(qiáng)的技術(shù)，也沒能根除量子引力產(chǎn)生的無窮。顯然，基本的一片拼圖還不知道在哪里。

????盡管量子場論和廣義相對論看上去完全不能相容，過去二十年間如火如荼的理論研究卻已經(jīng)把一件事搞得越來越清楚，那就是這個謎團(tuán)的秘密最有可能潛藏在規(guī)范對稱性（gauge symmetry）中：大自然最顯著的特征之一是它的基本定律在用群論的方式表達(dá)時具有很大的統(tǒng)一性和對稱性。通過規(guī)范對稱性的統(tǒng)一顯然是物理學(xué)的主課。特別是在楊-米爾斯（Yang-Mills）理論中用到的局部對稱已經(jīng)多次成功清除了量子場論產(chǎn)生的無窮，統(tǒng)一了帶電粒子物理的法則為全面的框架。大自然看上去不只是因?yàn)槊缹W(xué)而將對稱性納入物理定律。大自然需要（demands）對稱。

????然而問題已經(jīng)變成這樣，即使是強(qiáng)大的楊-米爾斯規(guī)范對稱性和愛因斯坦方程的廣義協(xié)變也不足以得到一個有限的量子重力理論。

????現(xiàn)在對兩個基本理論最有希望能真正統(tǒng)一和有限化描述的就是超弦理論和它的最后闡述M理論。至今超弦擁有已在物理上發(fā)現(xiàn)的最大號的規(guī)范對稱性，也許大到甚至能消除所有量子引力的發(fā)散。超弦對稱不僅包括愛因斯坦廣義相對論和楊-米爾斯理論的對稱性，也將超引力和大統(tǒng)一理論納入它的子集中。

????粗略說說超弦理論解決謎團(tuán)和無窮的方法，在圖1.1很形象，這里我們通過求和一個帶環(huán)的費(fèi)曼圖的無窮集計(jì)算兩個點(diǎn)粒子的散射。這些圖普遍上有相似之處，和“掐去”其中一條內(nèi)線直到圖像的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變相一致。

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相比之下,在圖1.2中我們畫出了兩個閉合弦狀態(tài)散射的單環(huán)貢獻(xiàn)。注意到我們不能像對待點(diǎn)粒子一樣“掐掉”其中一條內(nèi)線。因此，我們自然猜測超弦理論的發(fā)散更少甚至達(dá)到有限，因?yàn)閷ΨQ禁止拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變。

????任何能夠同時消除S矩陣的無窮以及將量子力學(xué)、廣義相對論、大統(tǒng)一理論和超引力合并的理論顯然具有令人窒息的美與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算。事實(shí)上，甚至數(shù)學(xué)家們也已經(jīng)被超弦中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)驚呆了，它將一些最不相像、領(lǐng)域跨度大的數(shù)學(xué)學(xué)科聯(lián)系了起來，譬如卡茨-穆迪代數(shù)、黎曼（Riemann）表面和泰希米勒空間、模塊化群，甚至是魔群理論。

????然而，弦理論很諷刺的一點(diǎn)是理論本身并不統(tǒng)一。（The great irony of string theory,however,is that the theory itself is not unified.）對于第一次學(xué)習(xí)該理論的人來說，它通常是一個令人困惑的混亂的民間傳說、隨機(jī)經(jīng)驗(yàn)法則以及直覺。這個模型的很多公理曾一度似乎沒有任何規(guī)律和理由。對于一個聲稱給出所有物理定律的統(tǒng)一框架的理論，結(jié)果這個理論本身都不是統(tǒng)一的，這也太諷刺了！該模型的秘密在最基礎(chǔ)的層面上還有待發(fā)掘。

????通常當(dāng)我們提出一個量子理論時，我們會從理論的幾何學(xué)或?qū)ΨQ性出發(fā)然后給出作用量。相應(yīng)地從作用量中我們推出該模型的所有推論，包括單S矩陣。因此，一個正則量子化的（second quantized）作用量是闡述一個量子場論的合適路線。超弦理論似乎一度成為一個顯然是隨機(jī)傳統(tǒng)的松散組合，基本原因在于它常常是用半經(jīng)典量子化來闡述的。因此，我們必須拿來直覺和民間傳說，來為一個統(tǒng)一理論構(gòu)建所有費(fèi)曼圖。我們希望M理論（或者可能是更高級的理論）能夠統(tǒng)一超弦理論到一個簡潔有條理的形式上來。M理論已經(jīng)能統(tǒng)一五種不同的超弦理論到單一理論中。最后可能只有一個單獨(dú)的方程（也許寫下來甚至沒有一英寸長）來統(tǒng)一整個理論。

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????不幸的是，超弦的幾何學(xué)和膜是該模型有待發(fā)展的最后特征之二。實(shí)際上，從這個角度上來看，這個模型已經(jīng)在過去30年逆向（backward）發(fā)展——從1968年它的量子理論的偶然發(fā)現(xiàn)開始！

????相比之下，當(dāng)愛因斯坦第一次發(fā)現(xiàn)廣義相對論時，他是從物理原則出發(fā)，比如等價原則，再用廣義協(xié)變的語言闡述它了。一旦相關(guān)幾何學(xué)建立，他之后就給出作用量作為問題的特解。之后，以曲流形的方式發(fā)現(xiàn)經(jīng)典的方程解決方案了，提供宇宙的大量度行為下首個成功的理論模型了。最后，廣義相對論發(fā)展的最后一步是引力量子理論的發(fā)展。因此這廣義相對論歷史性的發(fā)展的關(guān)鍵步驟可以表示為

????????幾何學(xué)→作用量→經(jīng)典理論→量子理論。

????此外，廣義相對論和楊-米爾斯理論是成熟的理論：它們都可以從第一原則闡述，這凸顯理論背后的幾何學(xué)和物理學(xué)假設(shè)。超弦理論和M理論才剛開始進(jìn)入發(fā)展的舞臺。

????顯著的是楊-米爾斯理論和引力理論是兩個簡單幾何學(xué)狀態(tài)的特（unique）解：

（1）整體對稱

????????自由理論必須傳播純粹的無鬼自旋1和自旋2場變換作為SU()和洛倫茲（Lorentz）群的不可約表示。

（2）局部對稱

????????理論必須在局部上滿足SU()和廣義協(xié)變。

????顯然的是共軛楊-米爾斯引力作用量是這兩個簡單原則的特解

????（第一個原則包含理論真材實(shí)料的物理。它不能作為第二個原則的子集被涵蓋進(jìn)去。這里有一個廣義協(xié)變的無窮大數(shù)和SU()對稱不變性，所以我們需要把第一個原則加進(jìn)物理中并選擇基本場的不可約表示。通過“純粹”場，我們是說至多含有二階微分的無鬼場，排除R2和F4更高階微分的理論）

????問題仍舊是：超弦理論和M理論在這兩個簡單原則對應(yīng)的是什么？（What is the counterpart to these two simple principles for superstring theory and M-theory?）

????當(dāng)然，這本書的計(jì)劃，必須反映出該理論已經(jīng)逆向演化的事實(shí)。由于教學(xué)原因，我們將更多地跟隨該理論的歷史發(fā)展。因此，這本書第1部分，介紹半經(jīng)典量子化的部分，將在某些時候表現(xiàn)為沒有任何引導(dǎo)原則的傳統(tǒng)

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松散組合。這就是為什么我們選擇第1部分強(qiáng)調(diào)泛函路徑積分（path integral or functional）上手弦理論。只有用費(fèi)曼路徑積分我們才能得到一個形式以搞出其他形式，比如諧振子形式。雖然半經(jīng)典量子化的路徑積分形式仍然很令人悲哀地不充分，但是相比一個完全正則量子化的理論，它是粘結(jié)半經(jīng)典量子化松散之尾的最方便的形式。

????本書第2部分我們將討論場理論自身，從中我們能從一個作用量推出該理論的所有推論。然而，我們已經(jīng)再次按照歷史順序逆向介紹場理論。

????第3部分我們介紹弦的“現(xiàn)象學(xué)”。雖然從10^19千兆電子伏特為起點(diǎn)做現(xiàn)象學(xué)可能有點(diǎn)冒昧，但是建立該理論做出的種種預(yù)測是很重要的。

????最后第4部分我們介紹二象性和11維M理論，第一次讓我們觀測弦理論的非微擾領(lǐng)域，該理論在這里和像是p膜和D膜的東西共存。

????不過，為了真正感受超弦理論的成功和可能的缺陷，我們必須首先試著去理解困擾了物理學(xué)家五十年的歷史遺留問題。讓我們現(xiàn)在給規(guī)范理論的發(fā)展做一個短評以感受組建引力有限理論的困難。我們也將簡單觸及超弦理論的歷史發(fā)展。