給定三個(gè)點(diǎn)如何找出到三頂點(diǎn)等距的點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)其實(shí)就是所謂的外心，這次將示範(fàn)用 Geogebra 的工具來為演示找出外接圓的圓心，並認(rèn)識(shí)外心一些基本特性。

任務(wù)一：用 [線段] 工具測(cè)量一點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離

在這個(gè)任務(wù)先繪製三角形ABC 與一點(diǎn) D ，並利用線段工具連接 AD, BD, CD 。接著拖拉 D 觀察這三段距離的變化，試著找出 D 到三頂點(diǎn)等距的點(diǎn)。

因目前只關(guān)注幾何圖形的操作，可將座標(biāo)軸用以下兩種方式來隱藏。

用[線段(過兩點(diǎn))] 來連接線段，在樣式區(qū)將標(biāo)籤顯示為線段長，並調(diào)整顏色與線段樣式。

【思考】要找到到三點(diǎn)等距的點(diǎn)，先找到到A,B?兩點(diǎn)等距的點(diǎn)的特色。

任務(wù)二：用 [中垂線]與[交點(diǎn)]，找出到兩點(diǎn)等距的點(diǎn)

利用到兩點(diǎn)等距的點(diǎn)會(huì)位在這兩點(diǎn)的中垂線上。再利用 [中垂線]，依序建立 AB, AC 的中垂線。再利用 [交點(diǎn)] 工具來取得兩條中垂線的交點(diǎn)。

用 [中垂線] 工具，依序選取 A,B 兩點(diǎn)就可出現(xiàn) AB 的中垂線。

此時(shí)將 D?移動(dòng)到線上，可觀察到 AD = BD。

再建一條中垂線取得外心

【思考】為何三條中垂線會(huì)交在同一點(diǎn)。

任務(wù)三：用 [圓(圓心、一點(diǎn))]?工具，繪製三角形的外接圓

找到到三點(diǎn)等距的點(diǎn)，就可利用這點(diǎn)來繪製一個(gè)通過三頂點(diǎn)的圓，這個(gè)圓就稱為三角形的外接圓，而此圓心又稱為三角形的外心。

外心習(xí)慣上會(huì)命名為 Ｏ，可用右鍵選單重新命名。

【思考】試著移動(dòng)三角形的形狀，探究外心何時(shí)會(huì)在三角形內(nèi)部何時(shí)在三角形外部。

任務(wù)四?探究角度對(duì)外心位置的影響

用［畫角度] 工具來探究外心對(duì)角度的影響。

在使用 [畫角度]?工具時(shí)要注意角的選取順序。若要維持為 180 度內(nèi)，可在角度的設(shè)置選單中限制顯示角度介於?0~180 度。

可觀察在直角三角形時(shí)，外心在斜邊的中點(diǎn)上。而銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部。鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部。

任務(wù)五?外心與兩頂點(diǎn)夾角的探究

試著標(biāo)註 ∠?BOC ，來探究 ∠?BAC 與 ∠?BOC的關(guān)係。在銳角三角形時(shí)，有 ?∠?BOC=2∠BAC 的關(guān)係。

在鈍角三角形，也有類似的關(guān)係，只不過此時(shí)的兩倍角會(huì)大於 180 度。因此，考慮小於 180 度的角之時(shí)，就有?∠?BOC= 360 - 2∠BAC?的關(guān)係。

【思考】試著思考為何角 BOC 等於兩倍的角 BAC ?

小結(jié)

在這次專題我們學(xué)會(huì)了利用中垂線找出到 A,B,C 三頂點(diǎn)等距的點(diǎn)，也了解到這個(gè)點(diǎn)稱為三角形 A,B,C 的外心，並學(xué)會(huì)製作外接圓。根據(jù)這次所學(xué)你可以嘗試作三角形內(nèi)切圓的圓心，也就是所謂的內(nèi)心。因?yàn)閮?nèi)切圓與三邊相切，所以內(nèi)心有到三邊距離相等的特性。你可以嘗試用 Geogebra 的工具來繪製看看，期待你分享你的探究學(xué)習(xí)心得。

相關(guān)連結(jié)

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/snnwtvtg?

【Bili】https://www.bilibili.com/video/BV1AU4y1Y7Ut ?

【YouTube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JVRfX6B_FrGEos4Id-M83u?