書接上回，繼續(xù)探訪剩余兩大類函數(shù)，沒有看過第一期的，可點(diǎn)此前往第一期觀看三角函數(shù)家族第一期科普（本篇文章也是建議在電腦端進(jìn)行觀看，公式都是以圖片的形式插入的，如果在手機(jī)端觀看排版可能會(huì)出現(xiàn)問題，影響觀感）

三.雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割、雙曲余割

從這類函數(shù)開始，大家可能就比較陌生了，可能大部分人都沒有聽說過，沒關(guān)系，馬上來進(jìn)行介紹

1.，也就是雙曲正弦函數(shù)，定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">，導(dǎo)函數(shù)為，原函數(shù)為

2.，也就是雙曲余弦函數(shù)，定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20%5B1%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20%5B1%2C%2B%E2%88%9E)">，導(dǎo)函數(shù)為，原函數(shù)為

3.，也就是雙曲正切函數(shù)，即雙曲正弦函數(shù)除以雙曲余弦函數(shù)，定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-1%2C1)" alt="y%5Cin%20(-1%2C1)">，導(dǎo)函數(shù)為原函數(shù)為

Tips:對(duì)于雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，有關(guān)系式，證明方法為

4.，也就是雙曲余切函數(shù)，即雙曲余弦函數(shù)除以雙曲正弦函數(shù)，因?yàn)殡p曲正弦函數(shù)作為分母，定義域需要滿足，即，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C-1)%5Ccup%20(1%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C-1)%5Ccup%20(1%2C%2B%E2%88%9E)">，導(dǎo)函數(shù)為原函數(shù)為

5.，也就是雙曲正割函數(shù)，即雙曲余弦函數(shù)的倒數(shù)，定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(0%2C1%5D" alt="y%5Cin%20(0%2C1%5D">，導(dǎo)函數(shù)為原函數(shù)為

6.，也就是雙曲余割函數(shù)，即雙曲正弦函數(shù)的倒數(shù)，因?yàn)殡p曲正弦函數(shù)作為分母，定義域需要滿足，即，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)">

導(dǎo)函數(shù)為原函數(shù)推導(dǎo)過程如下

四.反雙曲正弦、反雙曲余弦、反雙曲正切、反雙曲余切、反雙曲正割、反雙曲余割

或許你已經(jīng)猜到了，沒錯(cuò)，這一類函數(shù)又是與前面一類相對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，同樣的，有一部分反函數(shù)對(duì)稱之后的圖像會(huì)導(dǎo)致一個(gè)x值對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，需要舍棄掉其中一個(gè)分支，下面展開介紹

1.，也就是反雙曲正弦函數(shù)

與關(guān)于對(duì)稱，定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">

導(dǎo)函數(shù)為再利用分部積分法，求得原函數(shù)為

2.，也就是反雙曲余弦函數(shù)

與關(guān)于對(duì)稱，但是對(duì)稱之后的圖像會(huì)導(dǎo)致一個(gè)x值對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，數(shù)學(xué)上只選取位于x軸上方的分支，舍棄掉x軸下方的分支，所以值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20%5B0%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20%5B0%2C%2B%E2%88%9E)">。定義域需要同時(shí)滿足，解不等式組得到

導(dǎo)函數(shù)為再利用分部積分法，求得原函數(shù)為

3.，也就是反雙曲正切函數(shù)，與關(guān)于對(duì)稱，定義域需要同時(shí)滿足，解不等式組得到，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)">

導(dǎo)函數(shù)為再利用分部積分法，求得原函數(shù)為

4.，也就是反雙曲余切函數(shù)，與關(guān)于對(duì)稱，定義域需要同時(shí)滿足，解不等式組得到，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)">

導(dǎo)函數(shù)為

再利用分部積分法，求得原函數(shù)為

5.，也就是反雙曲正割函數(shù)，與關(guān)于對(duì)稱，但是對(duì)稱之后的圖像會(huì)導(dǎo)致一個(gè)x值對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，數(shù)學(xué)上只選取位于x軸上方的分支，舍棄掉x軸下方的分支，所以值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20%5B0%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20%5B0%2C%2B%E2%88%9E)">。定義域需要同時(shí)滿足，解不等式組得到

導(dǎo)函數(shù)計(jì)算過程如下

再利用分部積分法，求得原函數(shù)為

6.最后一個(gè)函數(shù)為反雙曲余割函數(shù)，它的解析式比較特殊，需要分兩段來寫，即

與關(guān)于對(duì)稱

定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)" alt="x%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)">，值域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)" alt="y%5Cin%20(-%E2%88%9E%2C0)%5Ccup%20(0%2C%2B%E2%88%9E)">

相應(yīng)地，導(dǎo)函數(shù)也需要分成兩段來寫，即

原函數(shù)也是一樣要分為兩段

到此，三角函數(shù)家族里的24個(gè)函數(shù)已經(jīng)初步地介紹完了，我們可以發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律，例如，我們在求反函數(shù)系列的12個(gè)函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，都清一色地用到了同一個(gè)方法，那就是分部積分法。另外更有意思的是，只要有這四個(gè)函數(shù)，其余20個(gè)函數(shù)都可以由這四個(gè)函數(shù)衍生得到，例如正切函數(shù)是正弦函數(shù)除以余弦函數(shù)得到的，正割函數(shù)是由余弦函數(shù)取倒數(shù)得到的，反正弦函數(shù)是由正弦函數(shù)關(guān)于對(duì)稱得到的等等。（因?yàn)椴迦氲膱D片數(shù)量已快達(dá)到100張的上限，我還想繼續(xù)介紹反雙曲函數(shù)系列解析式的由來，下期將開啟一個(gè)番外篇來進(jìn)行介紹）