本文專門介紹使用單點(diǎn)金剛石車床加工自由曲面的主要可制造性參數(shù)，解釋了可制造性參數(shù)如何與儀器參數(shù)相關(guān)聯(lián)，并展示了如何在 OpticStudio 中檢查和控制這些可制造性參數(shù)。此外，還解釋了如何處理其考察區(qū)域外的自由曲面的行為。例如，使用塑料自由曲面透鏡（Alvarez透鏡元件）等。

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表面參數(shù)控制

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鏡頭加工中需要進(jìn)行控制的表面參數(shù)將取決于加工方法和設(shè)備。加工塑料光學(xué)元件最流行和最廣泛使用的方法之一是使用 三軸金剛石車床（圖 1）進(jìn)行直接切割，或者更常見的是利用切割模具來加工透鏡。

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圖1. 三軸金剛石切割機(jī)（左） 金剛石切割刀具（右）

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傾斜角度

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讓我們看一下儀器的局限性（圖 2）。刀具的側(cè)面傾角限制了沿任何徑向橫截面的最大可能斜切角。由于這樣的徑向橫截面與子午面重合，因此相應(yīng)的斜率在 OpticStudio 中稱為“子午斜率”。相對(duì)而言，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱表面子午斜率對(duì)于自由曲面而言，沿不同的徑向截面具有不同的分布。

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另一個(gè)參數(shù)是 “弧矢斜率” 角度。當(dāng)我們在三軸金剛石車床上加工自由曲面時(shí)，刀具在工件的每一圈都沿 Z 軸來回移動(dòng)，以加工非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱形狀的透鏡。在這種情況下，刀具的后角限制了表面沿鏡頭上每個(gè)圓圈變化的速度，這稱為弧矢斜率。更準(zhǔn)確地說，刀具在表面上產(chǎn)生螺旋軌跡，但螺旋的步長非常小，在大多數(shù)情況下，可以將刀具軌跡視為一系列圓圈。對(duì)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱鏡片，弧矢斜率剛好為零。

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圖 2. 子午和弧矢斜率，黃線表示沿哪個(gè)方向測量斜率

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有時(shí)，從加工的角度來看，將工件放置在平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)軸之外而不是沿軸放置是合理的，這樣刀具在工件上的軌跡看起來幾乎是直線。在這種情況下，我們應(yīng)該控制所謂的 “X斜率” 和 “Y斜率”（圖3）。

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圖3. X 和 Y 斜率，黃線表示沿哪個(gè)方向測量斜率

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讓我們看看如何在 Zemax OpticStudio 中控制這些參數(shù)。例如，我們采用一個(gè)平面對(duì)稱的自由曲面鏡頭，即所謂的 Alvarez 透鏡。進(jìn)入 OpticStudio 分析 -> 表面 -> 表面斜率，可以檢查整個(gè)表面的斜率分布。此分析功能可以將表面的子午、弧矢、X 和 Y 斜率顯示為 2D 顏色、等高線圖或 3D 曲面圖。

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圖 4. 示例 Alvarez 透鏡第一表面的子午和弧矢斜率

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圖5. 示例 Alvarez 透鏡第一表面的 X 和 Y 斜率

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假設(shè)我們有以下來自制造商的刀具圖紙（圖 6）。對(duì)于我們在此基礎(chǔ)上的光學(xué)元件設(shè)計(jì)，重要的是要了解刀具后角和側(cè)面角。

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圖6. 刀具圖紙

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間隙角 = 7 ± 0.5 度。

側(cè)面角可以計(jì)算為：

側(cè)面角 = （90 – Included_angle/2） = 65 ± 0.5 度。

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在光學(xué)設(shè)計(jì)過程中，我們應(yīng)該相應(yīng)地限制表面的斜率，這樣才可以使用提供的刀具來加工鏡頭。

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在軸向切削的情況下，表面的最大子午傾斜角必須小于刀具后刀面角，例如小于 64.5 度（我們在這里考慮± 0.5 度公差）。最大弧矢傾斜角必須小于刀具間隙角，例如小于 6.5 度。

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在離軸切削的情況下，表面的最大 X 傾斜角必須小于刀具側(cè)面角，例如小于 64.5 度，最大 Y 斜角必須小于刀具間隙角，例如小于 6.5 度。

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OpticStudio 具有 DSLP 操作數(shù)，可以添加在評(píng)價(jià)函數(shù)編輯器中，以便在優(yōu)化期間控制表面的傾斜角度。DSLP 操作數(shù)具有各種參數(shù)和不同的輸出，您可以在 OpticStudio 用戶手冊中找到更多信息。下圖（圖 7）顯示了如何獲得子午、弧矢、X 和 Y 斜率的最大值。

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圖7. 使用 DSLP 操作數(shù)獲取表面斜率的最大值

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斜率計(jì)算為一個(gè)點(diǎn)的梯度，或者說它是通過找到矢高變化與（任意）兩個(gè)不同點(diǎn)之間坐標(biāo)變化的比率來計(jì)算的。如果我們想以度為單位獲得相應(yīng)的傾斜角，我們應(yīng)該計(jì)算斜率的反正切值。

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對(duì)于我們的 Alvarez 透鏡的第一個(gè)表面我們有：

最大子午斜率 = 12.539 度 < 刀側(cè)面角

最大弧矢斜率 = 6.056 度 < 刀具后角

最大 X 斜率 = 11.229 度 < 刀側(cè)面角

最大 Y 斜率 = 8.468 度 > 刀具后角

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正如我們所看到的，該表面可以在軸向模式下由提供的刀具加工，但不能在離軸模式下加工，因?yàn)?Y 斜率超過了刀具后角。

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請注意采樣率的選擇。為了優(yōu)化速度，您可能希望在 DSLP 操作數(shù)的評(píng)價(jià)函數(shù)中使用較小的采樣，但在這種情況下，它可能會(huì)得到小于實(shí)際斜率的值。使用較小的采樣進(jìn)行優(yōu)化以提高優(yōu)化速度是可以的，但我們建議不時(shí)（尤其是在最后的優(yōu)化階段）檢查具有足夠高采樣時(shí)的斜率情況。

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同樣在 OpticStudio 中，我們可以使用 SSLP 操作數(shù)（圖8）在表面上的精確坐標(biāo)處獲得子午、弧矢、X 和 Y 斜率的值，以控制表面精確點(diǎn)的斜率。

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圖8. 使用 SSLP 操作數(shù)在精確的表面點(diǎn)獲得斜率

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局部半徑

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如果我們仔細(xì)觀察刀具的尖端，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上不是一個(gè)點(diǎn)，它的刻面呈圓形，其特征可由尖端半徑表示。而在另一個(gè)方向（參見圖 9 中的橫截面 A-A），刀尖特征可由切削邊緣半徑表示。

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圖9. 近距離觀察刀頭

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與傾斜角類似，表面的局部半徑必須大于刀具的相應(yīng)半徑，否則表面將被過度切割和損壞。

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在軸向切削的情況下，表面的最大子午局部半徑必須大于刀具尖端半徑，最大弧矢局部半徑必須大于刀具切削邊緣半徑。

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在離軸切削的情況下，表面的最大 X 局部半徑必須大于刀具尖端半徑，最大 Y 局部半徑必須大于切削邊緣半徑。

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如果進(jìn)入 OpticStudio 分析 -> 表面 -> 曲率，我們可以檢查整個(gè)表面的曲率分布。此圖將曲面的子午、弧矢、x 和 y 曲率顯示為 2D 彩色、等高線圖或 3D 曲面圖（請參閱 OpticStudio 用戶手冊了解更多詳情）。局部半徑和曲率之間的關(guān)系很簡單：

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曲率半徑 = 1 / 曲率

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通常，刀具的尖端半徑和切削邊緣半徑明顯小于光學(xué)表面的局部半徑，因此在大多數(shù)情況下，我們不必在優(yōu)化過程中控制它。但在某些復(fù)雜形狀表面的特殊情況下可能需要它。在優(yōu)化的最后階段檢查自由曲面的局部曲率半徑是一種很好的做法，可以確保所選的刀頭沒有問題。

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圖10. Alvarez 透鏡第一表面的子午和弧矢曲率

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以下是根據(jù)三軸金剛石車床上的加工方法需要控制的表面參數(shù)匯總表：

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考察孔徑外的自由曲面形狀

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從光學(xué)設(shè)計(jì)的角度來看，最好不要刻意限制考察孔徑之外的自由曲面形狀，因?yàn)轭~外的限制會(huì)降低優(yōu)化速度，產(chǎn)生額外的局部最小值，并增加無法將設(shè)計(jì)收斂至最佳系統(tǒng)性能的風(fēng)險(xiǎn)。

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如果我們在考察孔徑之外查看我們的 Alvarez 鏡頭（圖 12），我們可以看到表面形狀變化過于劇烈且絕對(duì)無法加工。

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圖12. Alvarez 透鏡超出其考察區(qū)域時(shí)的表面形狀

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為了將鏡頭放置在鏡筒上，我們應(yīng)該在 Alvarez 鏡頭上添加一個(gè)法蘭。由于我們的 Alvarez 透鏡超出考察孔徑之外的形狀過于激進(jìn)，我們應(yīng)該用一些平滑的過渡區(qū)域來代替它，該區(qū)域?qū)⑦B接通光的考察區(qū)域和法蘭。在 DynaOptics 的應(yīng)用案例中，使用自己的軟件 uVo，它可以自動(dòng)創(chuàng)建這樣的過渡區(qū)域。我們只需指定法蘭 Z 位置以及表面和法蘭之間的徑向間距，uVo 將自動(dòng)創(chuàng)建一個(gè)平滑的過渡區(qū)域（圖 13）。

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圖 13. 由 uVo 軟件自動(dòng)創(chuàng)建的過渡區(qū)域

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此外，uVo 顯示了所得表面的弧矢和子午傾斜角，因此我們可以直接檢查該表面是否可以使用提供的刀頭來加工（圖14）。

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圖 14. uVo 軟件界面，可創(chuàng)建平滑過渡區(qū)域

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結(jié)論

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了解加工方法和相應(yīng)的儀器限制有助于在光學(xué)設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)和制造團(tuán)隊(duì)之間建立有效的溝通。在光學(xué)設(shè)計(jì)階段考慮加工方法的限制有助于節(jié)省時(shí)間和金錢。DynaOptics uVo 軟件可以顯著減少設(shè)計(jì)工作表面和法蘭之間平滑過渡區(qū)域所需的時(shí)間，尤其是對(duì)于復(fù)雜的自由曲面。

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參考文獻(xiàn)

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1.https://www.contour-diamonds.com/

2.https://en.wikipedia.org/wiki/Slope

3.https://support.zemax.com/hc/en-us/articles/1500005491161-Optical-Zoom-based-on-Alvarez-Freeform-Elements

4.Fabrication of Hexagonal Microlens Arrays on Single-Crystal Silicon Using the Tool-ServoDriven Segment Turning Methodby Mao Mukaida and Jiwang Yan https://www.mdpi.com/2072-666X/8/11/323

5.Technology of Manufacture of the Negative Matrices for Linear Fresnel Lenses, S. Grubyy, V.V. Lapshin, E.M. Zakharevich

https://www.researchgate.net/publication/301939103_Technology_of_Manufacture_of_the_Negative_Matrices_for_Linear_Fresnel_Lenses/download