纖維叢是一門研究復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論，用于描述許多深刻的數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象，已廣泛應(yīng)用在微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、物理學(xué)和信息學(xué)等領(lǐng)域。文章簡(jiǎn)述了纖維叢的起源、基本概念和理論基礎(chǔ)，結(jié)合實(shí)例介紹了其在多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

撰文?|?朱宏偉（清華大學(xué)材料學(xué)院）

科學(xué)的發(fā)展揭示了一個(gè)“真理”：宇宙的物理現(xiàn)實(shí)是受數(shù)學(xué)方程和幾何支配的。例如，在廣義相對(duì)論中，引力源于時(shí)空的幾何彎曲。如果將自然界的所有作用力都解釋為某種幾何空間的彎曲或扭曲，這種幾何即稱為“纖維叢”。纖維叢在微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，例如在微分幾何中描述向量空間，在拓?fù)鋵W(xué)中表示復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)，在物理學(xué)中模擬粒子的行為，在深度學(xué)習(xí)中分析高維數(shù)據(jù)等。纖維叢不單單是一個(gè)輔助性的數(shù)學(xué)工具，如今已發(fā)展成為一個(gè)完備的描述自然現(xiàn)象的理論，其背后蘊(yùn)含了宇宙萬(wàn)物運(yùn)行的底層邏輯[1]。

01
纖維叢的起源

美國(guó)數(shù)學(xué)家惠特尼在1937年提出了纖維叢的概念，他將流形及其上的切向量組構(gòu)成的空間稱為“纖維叢”。之后，陳省身、斯廷羅德、塞爾等數(shù)學(xué)家進(jìn)一步發(fā)展了纖維叢理論，引入了示性類、聯(lián)絡(luò)等概念。從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，纖維叢理論是一門研究拓?fù)淇臻g之間的映射關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，整合了微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、流形和群論?(尤其是李群)?等理論。
纖維叢理論的前身是微分幾何。微分幾何是一門研究曲面和曲線性質(zhì)的學(xué)科，其發(fā)展受到很多自然現(xiàn)象的啟發(fā)，如光的折射、地球的形狀、行星的運(yùn)動(dòng)等。微分幾何的一個(gè)重要概念是流形，流形是一種由局部平坦空間“拼接”起來(lái)的曲面。例如，地球表面就是一個(gè)流形，在局部看起來(lái)像一個(gè)平面，但實(shí)際上是一個(gè)球體。流形本身并不包含任何物理信息，僅是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象。為了讓流形能夠描述物理現(xiàn)象，需要給它附加一些額外的結(jié)構(gòu)，如度規(guī)、聯(lián)絡(luò)、張量等。這些結(jié)構(gòu)定義了流形上的距離、角度、曲率、速度、加速度等物理量。這樣，流形就變成了一個(gè)具有物理意義的空間。纖維叢理論就是在這個(gè)基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的。它不僅考慮了流形本身，還考慮了流形上那些附加的對(duì)象，如向量場(chǎng)、張量場(chǎng)、微分形式等。由此可知，纖維叢理論的產(chǎn)生與非歐幾何具有密切的關(guān)系，可以用來(lái)構(gòu)造非歐幾何空間上的結(jié)構(gòu)。非歐幾何空間反過(guò)來(lái)也可以刻畫纖維叢的性質(zhì)，如陳類、指標(biāo)定理和對(duì)稱性等。在現(xiàn)代物理學(xué)中，廣義相對(duì)論、量子場(chǎng)論和弦論等重要理論都是纖維叢理論與非歐幾何結(jié)合的產(chǎn)物。

02
纖維叢理論基礎(chǔ)

纖維叢理論的一個(gè)核心思想是將物理量看作是一個(gè)流形?(纖維)?在另一個(gè)流形?(底空間)?上連續(xù)分布而形成的結(jié)構(gòu)?(全空間)。如圖1(a)所示，底空間?(或底流形)?是纖維叢的基底?(即物理學(xué)中所說(shuō)的時(shí)空)，而全空間是由眾多纖維組成的空間。這樣，就可以用兩個(gè)流形之間的映射?(投影π和逆投影π-1)?來(lái)描述物理現(xiàn)象。時(shí)空上各個(gè)點(diǎn)的纖維本質(zhì)上是相同的?(同構(gòu)空間)，纖維叢的聯(lián)絡(luò)定義了纖維在全空間中的相互連接。形象地說(shuō)，纖維叢就是在每一點(diǎn)x長(zhǎng)出來(lái)的一族“數(shù)”?(這里說(shuō)的“數(shù)”，可以是標(biāo)量函數(shù)、矢量函數(shù)或群等)。將每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的“數(shù)”連接起來(lái)就在整個(gè)纖維叢空間中確定了一個(gè)“截面”。纖維叢的截面是從底空間到全空間的連續(xù)映射，在微分幾何和物理學(xué)中有著重要的意義。例如，電磁場(chǎng)就是一維纖維叢上的截面，流形上的光滑函數(shù)、切向量場(chǎng)、余切向量場(chǎng)、張量場(chǎng)等都可以看作是某個(gè)特定纖維叢的截面。纖維叢之間存在各種映射關(guān)系，這些關(guān)系就是物理規(guī)律。結(jié)構(gòu)群決定了纖維叢是如何“粘連”起來(lái)的。例如：當(dāng)結(jié)構(gòu)群為U(1)群時(shí)，纖維叢描述的是電磁相互作用?(圖1(b))，對(duì)應(yīng)的是麥克斯韋方程；當(dāng)結(jié)構(gòu)群為SU(2)群時(shí)，纖維叢描述的就是弱相互作用?(圖1(c))，對(duì)應(yīng)的是楊-米爾斯方程[2]。

圖1 ?纖維叢理論：(a) 纖維叢定義；(b) U(1)：電磁相互作用；(c) SU(2)：弱相互作用

03
纖維叢的應(yīng)用

纖維叢理論在物理學(xué)中具有重要的應(yīng)用。例如，在廣義相對(duì)論中，時(shí)空被看作是一個(gè)四維流形，在這個(gè)流形上有一些額外的結(jié)構(gòu)，如度規(guī)張量，用來(lái)測(cè)量時(shí)空中的距離和角度。度規(guī)張量就是一個(gè)纖維叢，由底空間?(時(shí)空)?和纖維?(對(duì)稱雙線性型的集合)?構(gòu)成，每個(gè)點(diǎn)上的纖維都與底空間相切。度規(guī)張量的基本性質(zhì)?(如曲率、拓?fù)涞??可以通過(guò)纖維叢理論來(lái)研究。另一個(gè)例子是物理學(xué)中描述基本粒子和相互作用的規(guī)范場(chǎng)論[3]，它是定義在時(shí)空上的一種對(duì)稱性變換，本身也是一個(gè)纖維叢，由底空間?(時(shí)空)?和纖維?(對(duì)稱群的李代數(shù))?構(gòu)成，每個(gè)點(diǎn)上的纖維與底流形正交。規(guī)范場(chǎng)的基本性質(zhì)?(如規(guī)范不變性、拓?fù)淙毕莸??同樣可以通過(guò)纖維叢理論來(lái)研究。如圖2所示，借助纖維叢形式化體系中的動(dòng)力學(xué)可以對(duì)物質(zhì)場(chǎng)和規(guī)范場(chǎng)之間的相互作用進(jìn)行直觀的描述[3-4]。一個(gè)量子系統(tǒng)中任何一點(diǎn)包括其耦合的物質(zhì)場(chǎng)和相互作用場(chǎng)?(如電子場(chǎng)與電磁場(chǎng)的耦合)。在數(shù)學(xué)上，該系統(tǒng)由主叢 (P,?M,?G,?π) 及其伴叢 (D,?M,?G,?πD) 組成。其中，主叢代表相互作用場(chǎng)，伴叢代表物質(zhì)場(chǎng)，D和P為全空間，π和πD為投影影射。伴叢與主叢共享底空間M和結(jié)構(gòu)群G?(即為場(chǎng)論中的規(guī)范群)，物質(zhì)場(chǎng)和相互作用場(chǎng)在x點(diǎn)耦合在一起。物質(zhì)場(chǎng)的波函數(shù)由矢量叢的分量θ表示，矢量叢中每一根纖維ψ(x)代表物質(zhì)場(chǎng)中的一點(diǎn)。相互作用勢(shì)Aμ*?(如電磁勢(shì))?由主叢纖維φ(x)上的聯(lián)絡(luò)表示。兩根纖維ψ(x)和φ(x)一起表示系統(tǒng)中的一個(gè)事件。對(duì)于M中的一條類時(shí)曲線γ，當(dāng)在指定的時(shí)空區(qū)間移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中所有可能的內(nèi)稟狀態(tài)及其變化都包含在全空間中。?為γ在全空間上的投影，其偏導(dǎo)數(shù)aμ度量了系統(tǒng)沿γ的總變化。給定主叢上的聯(lián)絡(luò)，導(dǎo)數(shù)aμ可分解為兩部分aμ?=?▽?duì)?Aμ*。其中，協(xié)變導(dǎo)數(shù)▽?duì)?是γ的偏導(dǎo)數(shù)?μ的水平提升，通過(guò)追蹤γ的方向來(lái)度量因時(shí)空演變而引起的動(dòng)力學(xué)變化。aμ與▽?duì)痰牟钪礎(chǔ)μ*唯一確定了矢量叢中的一點(diǎn)θ(x)，而θ(x)使物質(zhì)的相具體化。物質(zhì)場(chǎng)及其相的變化誘導(dǎo)了勢(shì)的變化，導(dǎo)致聯(lián)絡(luò)發(fā)生變化，進(jìn)而產(chǎn)生非零曲率。在物理上，曲率即為相互作用場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。

圖2? 纖維叢描述的物質(zhì)場(chǎng)和相互作用場(chǎng)

在信息科學(xué)中，纖維叢理論主要用于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)及相互之間的關(guān)系和映射。在通信網(wǎng)絡(luò)中，纖維叢理論可以描述網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浜蛣?dòng)力學(xué)、信息傳輸和處理，進(jìn)而分析通信系統(tǒng)的信號(hào)處理和編碼問(wèn)題，設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和路由算法，并優(yōu)化相關(guān)硬件的性能和靈敏度。纖維叢理論不僅能提高信息與通信技術(shù)的理論水平，也極大地促進(jìn)了信息與通信領(lǐng)域的創(chuàng)新和發(fā)展。在此基礎(chǔ)上，纖維叢理論在生物學(xué)尤其是神經(jīng)科學(xué)中也發(fā)揮著重要的作用，有助于理解大腦的結(jié)構(gòu)和功能，如分析神經(jīng)元的同步化、信息的編碼和傳輸，以及記憶的形成和存儲(chǔ)。利用纖維叢概念，可以將大腦分解為基本的構(gòu)件?(如節(jié)點(diǎn)、邊、層和模塊)，再用圖論參數(shù)來(lái)量化大腦網(wǎng)絡(luò)的屬性?(如密度、聚類、模塊化、中心性等)?。纖維叢還能建立大腦和人工智能之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即將大腦的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和機(jī)器學(xué)習(xí)算法進(jìn)行類比。例如，神經(jīng)元類似于一個(gè)振蕩器，通過(guò)突觸連接形成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并通過(guò)協(xié)調(diào)同步來(lái)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的聚集協(xié)作。這與人工智能中的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很相似，都是通過(guò)多層的聯(lián)接點(diǎn)?(類似于突觸)?來(lái)學(xué)習(xí)和識(shí)別數(shù)據(jù)。纖維叢理論還可以用來(lái)建模智能體的知識(shí)和行為，以及智能體之間的交互和協(xié)作。利用纖維叢方法，分析大腦在發(fā)育期、成年期和老年期的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變化，以及在不同環(huán)境、教育、疾病和創(chuàng)傷等因素下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)適應(yīng)性。此外，纖維叢還能用來(lái)探索大腦的可塑性和康復(fù)機(jī)制，如大腦在受到刺激或損傷后，利用纖維叢理論設(shè)計(jì)有效的非侵入性技術(shù)來(lái)干預(yù)和調(diào)控特定的神經(jīng)環(huán)路，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)腦功能的改善或恢復(fù)。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，纖維叢理論主要用于研究市場(chǎng)結(jié)構(gòu)，如產(chǎn)業(yè)鏈中的關(guān)系及市場(chǎng)上各個(gè)主體之間的相互作用。纖維叢理論也適用于復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)，如銀行間債務(wù)關(guān)系和金融危機(jī)的傳播。假設(shè)要研究一個(gè)農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)鏈的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)，該產(chǎn)業(yè)鏈即可模擬成為一個(gè)纖維叢，每個(gè)纖維代表一個(gè)環(huán)節(jié)?(如種植、收獲、加工、銷售等)?。每個(gè)環(huán)節(jié)用節(jié)點(diǎn)表示，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)參與者?(如農(nóng)民、農(nóng)場(chǎng)、食品加工廠、超市等)?。通過(guò)纖維叢理論揭示各個(gè)環(huán)節(jié)之間的相互關(guān)系及不同參與者之間的相互影響，如農(nóng)民對(duì)于產(chǎn)品價(jià)格的影響，食品加工廠對(duì)于農(nóng)民的購(gòu)買行為的影響，以及超市對(duì)于食品加工廠的銷售需求的影響等。這有助于充分了解整個(gè)產(chǎn)業(yè)鏈的運(yùn)作方式，為決策者提供有關(guān)如何改善產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和提高效率的建議。區(qū)塊鏈?zhǔn)且环N分布式的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)，利用密碼學(xué)和共識(shí)機(jī)制來(lái)保證數(shù)據(jù)的安全性和一致性。區(qū)塊鏈實(shí)現(xiàn)了去中心化的數(shù)字貨幣、智能合約和其他應(yīng)用。區(qū)塊鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以看作是一個(gè)纖維，而整個(gè)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)以時(shí)間為底空間的纖維叢。因此，區(qū)塊鏈網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)?(如連通性、魯棒性和同調(diào)性等)?，以及區(qū)塊鏈數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)?(交易和狀態(tài))?的代數(shù)性質(zhì)?(如群結(jié)構(gòu)、模結(jié)構(gòu)和上同調(diào)性等)?就可以被推演出來(lái)。此外，纖維叢可以用來(lái)描述區(qū)塊鏈的動(dòng)力學(xué)，即區(qū)塊鏈中的共識(shí)機(jī)制和激勵(lì)機(jī)制，進(jìn)而研究區(qū)塊鏈動(dòng)力學(xué)的幾何性質(zhì)，如流形結(jié)構(gòu)、度量結(jié)構(gòu)和曲率結(jié)構(gòu)等。

在交通領(lǐng)域，纖維叢理論可為交通系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和管理提供新的視角和方法。例如，纖維叢理論可以用來(lái)描述和分析交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣鳎邕B通性、穩(wěn)定性、魯棒性等。在此基礎(chǔ)上建立交通流的動(dòng)力學(xué)模型，探索交通流的行為和規(guī)律，并且優(yōu)化交通控制策略。

在社會(huì)管理中，纖維叢理論用于分析社會(huì)結(jié)構(gòu)和社會(huì)變遷的規(guī)律，以及社會(huì)問(wèn)題的解決方案。例如，一個(gè)社會(huì)即是一個(gè)纖維叢，其中底空間是社會(huì)的基本組成單位?(如個(gè)人、家庭、團(tuán)體等)，而纖維是社會(huì)的各種屬性?(如文化、經(jīng)濟(jì)、政治等)。通過(guò)纖維叢理論中的數(shù)學(xué)概念，如截面、轉(zhuǎn)移函數(shù)、示性類等，即可以描述和研究社會(huì)的特征和演化。

在環(huán)境學(xué)中，纖維叢理論是研究大氣、水體、地質(zhì)等變遷的有效工具。例如，在氣候?qū)W中，通過(guò)規(guī)范場(chǎng)論來(lái)建立氣候系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如大氣環(huán)流、海洋環(huán)流、地球磁場(chǎng)等。通過(guò)纖維叢理論可以更深入地理解氣候系統(tǒng)的物理本質(zhì)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以及它們之間的相互作用和影響。
在天文學(xué)中，纖維叢理論可以用來(lái)研究天體?(如黑洞、星系和宇宙)?的拓?fù)湫再|(zhì)。例如：一個(gè)黑洞的視界就是一個(gè)以黑洞中心為底空間，以二維球面為纖維的球叢；一個(gè)星系的形狀就是一個(gè)以星系中心為底空間，以旋轉(zhuǎn)群為纖維的主叢；一個(gè)宇宙的幾何是一個(gè)以時(shí)空為底空間，以度規(guī)為纖維的向量叢。纖維叢理論提供了一種統(tǒng)一的語(yǔ)言和方法來(lái)處理不同的空間，利用纖維叢上的截面、結(jié)構(gòu)群和轉(zhuǎn)移函數(shù)可以方便地定義和計(jì)算物理量?(如能量、動(dòng)量、角動(dòng)量和拓?fù)洳蛔兞?。

圖3所示為纖維叢理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域。

圖3? 纖維叢的應(yīng)用

04
結(jié)語(yǔ)

綜上，纖維叢理論作為一門強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中具有廣泛而重要的意義。纖維叢通過(guò)將拓?fù)淇臻g分解為更簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，使我們能夠更深刻地理解空間、時(shí)間、相互作用、能量和物質(zhì)之間的關(guān)系。宇宙萬(wàn)物，小到原子內(nèi)部的基本粒子，大到星系天體，都可以納入纖維叢理論框架中來(lái)描述。對(duì)纖維叢理論的深入理解將為未來(lái)的研究和應(yīng)用開(kāi)辟更加廣闊的道路，帶來(lái)新的發(fā)現(xiàn)和突破。

參考文獻(xiàn)

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本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“自然擷英”，刊載于《自然雜志》2023年第3期。