有關(guān)一類“抽象導(dǎo)數(shù)不等式”秒殺技巧的點(diǎn)評(píng)

2023-11-11 17:27 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過(guò) | 我要投稿

前天發(fā)動(dòng)態(tài)提到了網(wǎng)上一"名師"用的抽象函數(shù)秒殺技法，這里就來(lái)剖析并點(diǎn)評(píng)一下這個(gè)方法。

先是看熱鬧部分：

原題:

先來(lái)看原題以及那位"名師"的方法：

這是所謂的"三式模型"，即：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26x(x%2B1)f'(x)%2B...%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%3E%7D%7D%20...%5C%5C%0A%26f(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B6%7D%7D%20)%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B12%7D%20%5C%5C%0A%26f(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx%2B4%7D%7D%20)%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%3C%7D%7D...%0A%5Cend%7Balign%7D$

先對(duì)比紅色部分的不等號(hào)，同號(hào)取">"，異號(hào)取"<"，這里是異號(hào)，故取"<"

再把藍(lán)色部分的拎出來(lái)，目標(biāo)的式子"x+4"擺左邊，條件的"6"擺右邊于是有：

$%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Bx%2B4%7D%7D%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%3C%7D%7D%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B6%7D%7D$

再結(jié)合f(x)定義域，有： $x%2B4%3E0$

由上面兩式即得： $-4%3Cx%3C2$

現(xiàn)在進(jìn)入正文：

上面的兩個(gè)方法不能說(shuō)"毫無(wú)依據(jù)"，只能說(shuō)有"潛在風(fēng)險(xiǎn)"。也就是說(shuō)如果命題者注意到了這一所謂的"套路"，那么很容易就會(huì)被"反"，具體的分析如下：

有關(guān)糅雜f(x)和f'(x)的不等式，萬(wàn)金油的方法(也是題目的目的)就是構(gòu)造函數(shù)，一般而言就是以下的這種形式：

$f'(x)%2Bp(x)f(x)%3E0$ (其中p(x)是已知的函數(shù))

ps:右邊是<0同理，這里只推導(dǎo)>0的情況

由于這是代表更一般的情形，所以會(huì)用到"待定抽象函數(shù)"

兩邊同乘一個(gè)恒>0的待定函數(shù) $q(x)$ ，即得：

$q(x)f'(x)%2Bq(x)p(x)f(x)%3E0$

左邊考慮湊導(dǎo)數(shù)乘法法則 $(uv)'%3Du'v%2Buv'$ 的右邊，即令：

$q(x)p(x)%3Dq'(x)$ (*)

于是 $%5Bq(x)f(x)%5D'%3E0%5CRightarrow%20g(x)%3Dq(x)f(x)$ 遞增

這個(gè)g(x)就是我們需要構(gòu)造的函數(shù)

現(xiàn)在還差q(x)沒(méi)有求出來(lái)，也就需要用到(*)這個(gè)式子，這是一個(gè)微分方程，由于內(nèi)容超綱，這里就先直接貼答案： $p(x)%3D%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7BP(x)%7D$

其中P(x)是p(x)的一個(gè)原函數(shù)，即P'(x)=p(x)

ps:具體的求解過(guò)程以前其實(shí)寫過(guò)一篇文章了，可參考：

就一抽象導(dǎo)數(shù)不等式構(gòu)造通法證明

有了此背景，我們分析前面的那個(gè)技法就容易了

通過(guò)前文的分析，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)題目給的式子是 $q(x)f'(x)%2Bq(x)p(x)f(x)%3E0$ 時(shí)，構(gòu)造出來(lái)的 $g(x)%3Dq(x)f(x)$ 就是遞增的；

相反，如果前面是<0，那么構(gòu)造出來(lái)的g(x)就是遞減的。

于是我們就得出一個(gè)結(jié)論：當(dāng)把條件化為f'(x)前系數(shù)為1(或者前乘有恒正的函數(shù))時(shí)，構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)g(x)就是遞增的。反之則遞減。

然后再解釋其所謂的"三式模型"，其概括的其實(shí)是這一小類(注意只是一小類)題的特征：

即已知 $q(x)f'(x)%2Bq(x)p(x)f(x)%3E0$ ， $f(%5Ctriangle%20)%3Da$ ，則不等式 $f(%5CBox%20)%3E...$ 的解集為_(kāi)____.

由第一個(gè)條件，可以構(gòu)造出 $g(x)%3Dq(x)f(x)$ 遞增，第二個(gè)式子可以間接確定g(x)在x=△處的函數(shù)值，即 $g(%5Ctriangle%20)%3Dq(%5Ctriangle%20)f(%5Ctriangle%20)%3Dq(%5Ctriangle%20)%5Ccdot%20a$ ，最后目標(biāo)這個(gè)式子就是要把左邊代換成 $g(%5CBox%20)$ 然后利用g(x)的單調(diào)性進(jìn)行求解。

以上即為出題者的本意

那么我們就可以大膽地發(fā)明一個(gè)"秘法"，讓其順著出題者的邏輯繞開(kāi)一些計(jì)算"直奔目的"了。

回到這題：

第一個(gè)式子f'(x)前面的因式x(x+1)>0，那么化為1之后不改變不等號(hào)方向。后面是">"，意味著構(gòu)造出來(lái)的 $g(x)%3Dq(x)f(x)$ 是遞增的。

由f(6)=7/12，意味著我可以求出g(6)

f(x+4)<...

那么我們兩邊同乘以g(x)(由于待定的g(x)>0因此不等號(hào)方向不改變)，即化為g(x+4)<...

那么這時(shí)右邊的...會(huì)是什么呢？我們很想知道，但由于這是"套路題"，于是"猜"右邊就是g(6)

為什么要這樣猜？因?yàn)橐蒙锨懊娴?#34;g(x)遞增"這個(gè)條件呀

于是就有x+4<6，再結(jié)合定義域，即有x+4>0，即得-4<x<2

表粗的字眼就得著重留意了，因?yàn)檫@些部分是帶有"猜測(cè)"成分的，因?yàn)?strong>這個(gè)模型其實(shí)只是抓住了命題人的主干思路，而省略了一些具體細(xì)節(jié)(這些具體細(xì)節(jié)就得靠"猜"了)

主干思路就是：先利用第一個(gè)式子構(gòu)造單調(diào)函數(shù)g(x)，再利用第二個(gè)式子求得g(x)在x=a(a為常數(shù))處的函數(shù)值，再利用最后一式通過(guò)代換化為g(x)<...=g(a)的形式，那么根據(jù)單調(diào)性即有x<a(也就是前面分析過(guò)一遍的命題人的思路)

既然有"猜"的成分，那么自然就不排除"猜錯(cuò)"的發(fā)生了。比如下面的這道題：

由于f'(x)前面的因式sin2x>0，于是化為系數(shù)是1后不等號(hào)方向不改變。

不等號(hào)為<，于是構(gòu)造的函數(shù)g(x)是遞減的

然后就來(lái)到4個(gè)選項(xiàng)

那么根據(jù)"命題者的主干思路"，我們?nèi)菀卓闯銎浔疽?，也就是通過(guò)構(gòu)造的g(x)=q(x)f(x)把選項(xiàng)都變?yōu)間(xxx)>(或<)g(xxx)的形式，然后利用g(x)的單調(diào)性脫去外層的g()

然后我們就來(lái)"猜"了：

A、化為g(π/4)>g(π/3)。而由于g(x)是遞減的，因此A正確；

B、化為g(π/6)<g(π/3)。而由于g(x)是遞減的，因此B錯(cuò)誤；

C、化為g(π/4)<g(π/6)。而由于g(x)是遞減的，因此C錯(cuò)誤；

D、化為g(π/6)>g(π/3)。而由于g(x)是遞減的，因此D正確

那么最終最無(wú)法確定是選A還是選D

問(wèn)題出來(lái)哪里？就是"猜"這里了。

我們不妨來(lái)看看完整的過(guò)程：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26f'(x)%5Ccdot%202%5Csin%20x%5Ccos%20x-f(x)(1%2B2%5Ccos%202x)%3C0%5C%5C%0A%5CRightarrow%20%26f'(x)%5Ccdot%202%5Csin%20x%5Ccos%20x-f(x)2%5Ccos%5E2x%3C0%5C%5C%0A%5Cstackrel%7B2%5Ccos%20x%3E0%7D%7B%5CLongrightarrow%20%7D%20%20%26f'(x)%5Ccdot%20%5Csin%20x-f(x)%5Ccos%20x%3C0%5C%5C%0A%5CRightarrow%20%26%5Cfrac%7Bf'(x)%5Ccdot%20%5Csin%20x-f(x)%5Ccos%20x%7D%7B%5Csin%5E2x%7D%20%3C0%5C%5C%0A%5CRightarrow%20%26%5B%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7B%5Csin%20x%7D%20%5D'%20%3C0%5C%5C%0A%5CRightarrow%20%26g(x)%3D%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7B%5Csin%20x%7D%20%5Ctext%7B%E9%80%92%E5%87%8F%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

你看，這個(gè)"具體細(xì)節(jié)"就是q(x)=1/sinx，這時(shí)前面的方法分析不出來(lái)的

那么就有：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26g(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20)%3Eg(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20)%3Eg(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B%E5%8D%B3%7D%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20)%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%7D%20%0A%3E%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20)%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%7D%0A%3E%5Cfrac%7Bf(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

$%5CRightarrow%20%0A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Csqrt%7B3%7Df(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20)%3E%5Csqrt%7B2%7D%20f(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%20%20%5C%5C%0A%5Csqrt%7B3%7Df(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20)%3E%20f(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%20%20%5C%5C%0Af(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20)%3C%5Csqrt%7B2%7D%20f(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20)%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

故只能選A

也就是說(shuō)D選項(xiàng)我們是無(wú)法根據(jù)已知條件得出的g(x)遞減來(lái)判斷的，根據(jù)條件我們只能得出 $%5Csqrt%7B3%7Df(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20)%3E%20f(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%20$

為了進(jìn)一步說(shuō)明我就特意找到了一個(gè)D選項(xiàng)的反例：

$f(x)%3D(2-x)%5Csin%20x$

由圖，紅曲線恒在藍(lán)曲線下方，說(shuō)明這時(shí)f(x)滿足已知條件的不等式

而這時(shí) $f(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20)%3C%5Csqrt%7B3%7D%20f(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)$ ，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤

因此，當(dāng)命題者在細(xì)節(jié)上設(shè)置陷阱的時(shí)候，前面的那種方法就行不通了，因?yàn)榍懊婺欠N方法只是抓住了這類題的宏觀解題思路而忽視了微觀細(xì)節(jié)的討論(這同時(shí)也就代表了這個(gè)方法的適用范圍)。只能說(shuō)這是一種小聰明，成功率不低是值得肯定的，但是真要碰到上面這種扣心眼的題只能老實(shí)構(gòu)造了。

換而言之，在學(xué)習(xí)這種技法是前提是把基礎(chǔ)方法掌握，否則"基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖"。其次學(xué)這種技法就得留意其適用范圍(比如這種技法是把握了宏觀而犧牲了微觀)以免落入出題者的圈套中！

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