? ? ?下面我們考慮范疇的局部化，它主要是對(duì)態(tài)射進(jìn)行操作的，因此本文中把s是范疇A的態(tài)射直接記作s∈A，而M是范疇A的對(duì)象，則記作M∈Ob（A）.

??

? ? ?設(shè)A是范疇，A內(nèi)的乘性閉子集指子范疇S≤A，滿足Ob（S）= Ob（A）. 也就是說(shuō)，它滿足條件：

? ? ?1）對(duì)任何M∈Ob（S），id_M∈S.

? ? ?2）對(duì)任何s，t∈S，t·s∈S（若t·s有意義）.

? ? 設(shè)S是范疇A的乘性閉子集，A關(guān)于S的素樸局部化指函子Q：A→A_S，稱為局部化函子，滿足下列條件：

? ? Loc1：Ob（A_S）= Ob（A）且Q是對(duì)象上的恒同。

? ? Loc2：對(duì)任何s∈S，Q（s）∈A_S是可逆的（即同構(gòu)）。

? ? Loc3：設(shè)B是范疇且F：A→B是函子，使得對(duì)任何s∈S，F(xiàn)（s）∈A_S是可逆的，則存在唯一函子F_S：A_S→B，使得F_S·Q = F：A→B.

? ? 可以證明：這樣的素樸局部化是唯一存在的。

? ? 設(shè)S是范疇A的乘性閉子集，A關(guān)于S的右Ore局部化指函子Q：A→A_S，稱為局部化函子，滿足下列條件：

? ? RO1：Ob（A_S）= Ob（A）且Q是對(duì)象上的恒同。

? ? RO2：對(duì)任何s∈S，Q（s）∈A_S是同構(gòu)的。

? ? RO3：任何態(tài)射q∈A_S都可以表示為q = Q（a）· Q（s）^(-1)，其中a∈A且s∈S.

? ? RO4：設(shè)a，b∈A滿足Q（a）= Q（b），則存在s∈S，a·s = b·s.?

? ? 設(shè)S是范疇A的乘性閉子集，稱S是A的右分母集，若它滿足下列兩個(gè)條件：

? ? RD1：給定a∈A與s∈S，存在b∈A與t∈S，使得a·t=s·b.

? ? RD2：給定a，b∈A與s∈S，滿足s·a=s·b，則存在t∈S，a·t=b·t.

? ? 可以證明：S是右分母集 iff 存在右Ore局部化Q：A→A_S.

? ? 考慮單點(diǎn)范疇，其態(tài)射取環(huán)結(jié)構(gòu)，則此范疇的右Ore局部化就是環(huán)的右Ore局部化。

? ? 關(guān)于左Ore局部環(huán)的情況完全是對(duì)稱的。

? ? 對(duì)于加法范疇A，其態(tài)射的局部化類(lèi)（localizing class）S定義為：

? ? LC1：對(duì)任何M∈Ob（A），id_M∈S.

? ? LC2：若s，t∈S可復(fù)合，則s·t∈S.

? ? LC3a：對(duì)任何對(duì)f∈A和s∈S，存在g∈A和t∈S，使得s·g = f·t.

? ? LC3b：對(duì)任何對(duì)f∈A和s∈S，存在g∈A和t∈S，使得g·s = t·f.

? ? LC4：對(duì)任何f∈A，存在s∈S，s·f = 0 iff 存在t∈S，f·t = 0.

? ? 顯然，這里的LC1和LC2來(lái)自于乘性閉子集條件，LC3和LC4來(lái)自于左右分母集條件，LC4還用到了加法結(jié)構(gòu)。

? ? 給定加法范疇A內(nèi)的局部化類(lèi)S，可定義態(tài)射p與q的加法結(jié)構(gòu)如下：先取表示p = Q（a）· Q（s）^(-1)，q =? Q（b）· Q（t）^(-1)，其中a，b∈A且s，t∈S. 用LC3條件“通分”，不妨認(rèn)為s=t，由此定義：

? ? ? ? ? ? p+q = Q（a+b）· Q（s）^(-1)

其中Q（a+b）就是 Q（a）+Q（b）的定義。

? ? 可以驗(yàn)證，若A是加法范疇，這樣定義的加法使得局部化A_S成為加法范疇且局部化函子Q：A→A_S是加法函子。

? ? 設(shè)Q：A→A_S是加法范疇的局部化函子，則對(duì)態(tài)射f∈A，下列條件等價(jià)：

? ? 1） Q（f）=0

? ? 2）存在f∈S，使得f·t = 0

? ? 3）存在s∈S，使得s·f = 0

? ? 由此可得，對(duì)M∈Ob（A），下列條件等價(jià)：

? ? 1）Q（M）= 0（范疇A_S內(nèi)的零對(duì)象）

? ? 2）存在N∈Ob（A），使得（0：N→M）∈S

? ? 3）存在N∈Ob（A），使得（0：M→N）∈S

? ??

? ? 對(duì)于Abel范疇，我們還要處理核與上核:。

? ? S是Abel范疇A內(nèi)的局部化類(lèi)且Q：A→A_S是其局部化函子，首先我們有：對(duì)A內(nèi)任何態(tài)射f，若f是單態(tài)射（或滿態(tài)射），則Q（f）也是單態(tài)射（或滿態(tài)射）.

? ? 在局部化范疇A_S內(nèi)。任何態(tài)射p都可以表示為p = Q（s）^(-1)Q（a），其中a∈A且s∈S. 就定義其核ker p = ker Q（a）；類(lèi)似定義上核。這樣的定義使得對(duì)A內(nèi)任何態(tài)射f，有

? ? ? ? Q（ker f）= ker Q（f）且 Q（coker f）= coker Q（f）

? ? 由此可得，A_S的任何態(tài)射φ都是嚴(yán)格的，即有同構(gòu)? ：

? ? ? ? coker（ker φ）= ker（coker φ）

因此，Abel范疇A對(duì)局部化類(lèi)S的局部化范疇A_S也是Abel范疇，還可以證明其局部化函子Q：A→A_S是正合的。

? ? 作為Abel范疇局部化的應(yīng)用，我們可以重新刻畫(huà)其商范疇。

? ? 設(shè)A是Abel范疇且J是其完全子范疇，J稱為A的厚子范疇（thick subcategory）（又叫Serre子范疇），若它滿足對(duì)任何A內(nèi)的正合列：0→X→Y→Z→0，有Y∈Ob J iff X，Z∈Ob J.?

? ? 這意味著厚子范疇對(duì)子對(duì)象、商對(duì)象和擴(kuò)張都是封閉的，因此Abel范疇的厚子范疇還是Abel范疇。

? ? 若F：A→B是范疇的函子，則ker F是A的厚子范疇。

? ? 若J是A的厚子范疇，可定義A的態(tài)射集：

? ? ? ? S_J = {f∈A；ker f∈J且coker f∈J}

這樣的S_J是A內(nèi)的局部化類(lèi)，簡(jiǎn)記為S，則可定義A關(guān)于厚子范疇J的商范疇為A對(duì)S的局部化：

? ? ? ? A/J = A_S

? ? 若Q：A→A_S是其局部化函子，則對(duì)任何M∈Ob A，Q（M） = 0 iff M∈Ob J.? 這是商結(jié)構(gòu)的典型結(jié)論，我們還有其萬(wàn)有性質(zhì)，一般稱為Gabriel定理。

? ? Gabriel定理：設(shè)J是Abel范疇A的厚子范疇，則存在Abel范疇A/J與正合函子Q：A→A/J，滿足下列萬(wàn)有性質(zhì)：對(duì)任何Abel范疇C與函子F：A→C，滿足F（M）= 0，對(duì)任何M∈Ob（J），存在唯一函子G：A/J → C，使得F= G·Q.

? ? 擴(kuò)展閱讀：

? ?【1】Yekutieli A. Derived categories[M]. Cambridge University Press, 2019. （比較新的導(dǎo)出范疇教材，對(duì)范疇局部化有精要介紹，本文主要參考書(shū)）

? ?【2】KASHIWARA, MASAKI. Categories and Sheaves[M]. Springer, 2006. （范疇與層論的技術(shù)性專(zhuān)著，對(duì)范疇局部化有詳細(xì)介紹）

? ?【3】Milicic D. Lectures on derived categories[J]. Preprint http://www. math. utah. edu/~ milicic/Eprints/dercat. pdf, 2015. （導(dǎo)出范疇的講義，包括很多導(dǎo)出范疇與三角范疇的技術(shù)細(xì)節(jié)）

? ?【4】Faith C. Algebra: rings, modules and categories I[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的大字典，對(duì)Abel商范疇有比較詳細(xì)的介紹）? ?

? ?【5】Morel S. MAT 540: Homological algebra[J]. 2020. （高觀點(diǎn)的同調(diào)代數(shù)講義，對(duì)范疇局部化有專(zhuān)門(mén)的討論）