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因子模型：套利定價(jià)理論APT

2022-11-26 15:34 作者:瑪莉真 0人讀過 | 我要投稿

套利定價(jià)理論APT(arbitrage pricing theory)由Stephen A.Ross在1976年提出。

因子的暴露系數(shù)（factor exposures）表示為 $(%5Cbeta_%7B1%7D%2C%5Cbeta_%7B2%7D%2C%5Cbeta_%7B3%7D%2C...%2C%5Cbeta_%7Bk%7D)$ ，各種因子的回報(bào)表示為 $(r_%7B1%7D%2Cr_%7B2%7D%2Cr_%7B3%7D%2C...%2Cr_%7Bk%7D)$ ，那個(gè)這個(gè)股票的回報(bào)表示為：

其中 $r_%7Be%7D$ 表示特別回報(bào)，就是因子無法解釋的那一部分回報(bào)。APT模型假設(shè)這個(gè)特別回報(bào)跟其它的因子回報(bào)或者其它股票的特別回報(bào)是不相關(guān)的。

股票的風(fēng)險(xiǎn)可以用回報(bào)的方差衡量。這個(gè)方法最先由Markowitz提出。

接下來，看一個(gè)兩個(gè)因子的模型：

股票的風(fēng)險(xiǎn)就是股票回報(bào)的方差。

我們可以用附錄中關(guān)于方差的公式求得上述式子。也可以用一個(gè)技巧，看以下式子：

只要把股票回報(bào)的平方式子中的 $r%5E2%20$ 表示為 $var(r)$ , $r_%7B1%7Dr_%7B2%7D$ 表示為 $cov(r_%7B1%7D%2Cr_%7B2%7D)$ 就會(huì)得到股票的方差。因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=r_%7Be%7D" alt="r_%7Be%7D">和 $r_%7B1%7D$ 或者 $r_%7B2%7D$ 都是不相關(guān)的，所以它們的協(xié)方差不會(huì)出現(xiàn)在股票回報(bào)的方差的式子中。

股票回報(bào)的方差也可以表示為：

簡化上面這個(gè)式子，用另一種表示方法：

股票回報(bào)的方差另一種表示方法，也就是說股票回報(bào)的方差由一般因子回報(bào)的方差以及特別回報(bào)的方差兩部分組成。

更進(jìn)一步，把這個(gè)式子再表示成：

一般因子（common factor)的回報(bào)方差加上特別回報(bào)的方差

這個(gè)式子可以用下圖形象地表示。

回到下面這個(gè)式子：

構(gòu)造一個(gè)因子模型需要提供的參數(shù)包括了：

1、因子暴露系數(shù)矩陣（factor exposure matrix），記做 $X$ 。如果有 $N$ 個(gè)股票， $k$ 個(gè)因子，那么這個(gè)矩陣就是一個(gè) $N%5Ctimes%20k$ 的矩陣。

2、因子協(xié)方差矩陣（factor covariance matrix），記做 $V$ 。

3、特定方差矩陣（specific variance matrix），記做 $%5CDelta%20$ 。如果有 $N$ 個(gè)股票，那么這個(gè)矩陣是一個(gè) $N%5Ctimes%20N$ 的矩陣，其對角線上的元素即為特定方差（specific variances），又由于特定方差之間假定是不相關(guān)的，所以其非對角線上的元素為0。