時間序列：時間序列模型---隨機游走過程（The Random Walk Process)

2022-11-25 11:29 作者:瑪莉真 0人讀過 | 我要投稿

隨機游走過程是一種特殊的ARMA序列。從分子運動到股價波動等現(xiàn)象都被建模為隨機游走。

隨機游走過程是AR(1)序列，而且 $%5Calpha%3D1$ ,時間序列在 $t$ 時刻的值 $y_%7Bt%7D$ 為：

隨機游走過程本質(zhì)上是到當前時間為止所有白噪聲項的簡單求和?；蛘哒f，前一刻的時間序列值加上當前的白噪聲。這個白噪聲 $%5Cvarepsilon_%7Bt%7D$ 稱為innovation。

讓我們看一看隨機游走的特點。首先，看看隨機游走序列的方差。因為從白噪聲抽樣的值都是不相關的，根據(jù)求多項和的方差公式（見附錄的公式），有以下式子：

又因為這些隨機的白噪聲抽樣擁有相同的方差，所以，

可見隨機游走序列的方差是隨著時間 $t$ 的增加而增加的，這種序列稱為非平穩(wěn)（nonstationary)的時間序列。而平穩(wěn)（stationary)的時間序列的的均值和方差不會隨著時間變化而變化。

隨機游走過程序列的可預測性：對于 $t$ 時刻的預測值是來自一個均值為此刻的時間序列值 $y_%7Bt%7D%5E%7Bpred%7D%3Dy_%7Bt-1%7D%20$ ，方差為白噪聲的正態(tài)分布。然而，由于方差隨著時間線性增加，我們的預測誤差也是隨著時間步長增加。

隨機游走過程序列對于下一個時刻的值（來自的正態(tài)分布的）的平均值的預測值就是此刻的時間序列值。下一時刻的期望就是此刻的時序值的序列稱為martingale，隨機游走過程可以稱為martingale。

隨機游走過程呈現(xiàn)強烈的趨勢性。其它時間序列經(jīng)常在均值附近波動，而隨機游走過程沒有呈現(xiàn)均值回歸的現(xiàn)象。隨機游走過程通常保持正向（或者負向）的趨勢。

附錄：用到的一些公式

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