改寫逆否命題，只需要改變量詞符號和結(jié)論中的等號或不等關(guān)系，不可以改變條件。

具體例子見一數(shù)舉例

4.邏輯用語習(xí)題課

解題思路：首先先解出p與q的取值范圍，再根據(jù)是否是逆否命題或是交并補(bǔ)集運(yùn)算或是全稱量詞或存在量詞去進(jìn)行范圍轉(zhuǎn)換即可。

函數(shù)(停滯中....)

1.函數(shù)的基本定義

※：

①函數(shù)是用來描述變量之間的依賴（對應(yīng)）關(guān)系。

②標(biāo)準(zhǔn)格式：

y=f(x)，x∈A

x為自變量，f()為對應(yīng)關(guān)系，A為x的取值范圍（定義域）

y（或者f(x)）的取值范圍叫做值域。

值域的通用寫法：{f(x)|x∈A}

③具體例子：y=f(x)=x2，x∈{1,2,3,4,5}

則值域：{f(x)|x∈A}={1,4,9,16,25}

考點(diǎn)：

①定義域一樣，對應(yīng)關(guān)系也一樣的函數(shù)就是相同的

②對應(yīng)關(guān)系不同不就不是一個函數(shù)

不等式

1.等式與不等式的性質(zhì)

比較大小用作差法

作差法中的一些方法：

(1)平方法：通過對做差雙方平方來比較大小，最常適用于含根號的比大小。

A方＞B方→A大于B（反之不一定）

平方法也經(jīng)常用來同正比較大小。異號比大小平方需變號。

(2)作商法：分?jǐn)?shù)比較多時常用，作商后與1比大小。注意分?jǐn)?shù)比大小時同號使用，異號直接看就行了。

其他比較大小的小技巧：分式比較不好看出時，兩邊同時乘以正數(shù)約去分母，就比較方便看了，如果同乘負(fù)數(shù)記得變號。

推導(dǎo)性質(zhì)：

2.基本不等式

注意基本不等式的前提條件是定義域＞0

常用變形是拆分與通分，同乘“1”替換等等

補(bǔ)充點(diǎn):萬能方法

求啥設(shè)啥，函數(shù)代換。

通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)對不等式進(jìn)行處理轉(zhuǎn)換求最值或不等關(guān)系。

3.1的代換

基本形式：分+分=?或整+整=?

(特殊形式要約分或通分處理，或者是局部使用1的代換。)

當(dāng)未知數(shù)加未知數(shù)的形式的時候，如果等號后面不為一，那么在運(yùn)用的時候要同除以某個常數(shù)使等式等于一，再進(jìn)行一的代換

未知數(shù)分之一相加同理。

大題書寫時一定要寫出取等條件

4.基本不等式中的湊形（中檔）

總結(jié)：

(1)同乘或同除使之滿足“1”的代換

(2)補(bǔ)項(xiàng)：根據(jù)分母分子的形式，相似即可直接加減來湊。如果看不出來可以用換元進(jìn)行帶換。

以題來講：

5.基本不等式在各種場景下的使用方法

直接/一的代換/補(bǔ)項(xiàng)/換元

換元可以使題目更加清晰

【線性規(guī)劃】

(新教材已刪去，但覺得可以了解一下)

碰到二元一次不等式，將其轉(zhuǎn)化為y與x的關(guān)系，然后在二維平面內(nèi)畫出圖像，多個二元一次不等式的圖像放在一起，再根據(jù)題目條件去進(jìn)行篩選，直觀的找到范圍，這就是線性規(guī)劃

自己總結(jié)的做題方法:

1.二元一次不等式改成y與x的關(guān)系的時候，需要把≠改判成＝，才能畫出圖像

2.根據(jù)題目條件去篩選所畫出圖像的范圍，比如說＞，那么取值范圍就在所給圖像的右側(cè)。搞不清楚時隨便取個點(diǎn)代入看一下判斷更為直觀。

3.多個二元一次不等式，那就把圖像疊加在一起看。一般來說，最后都是取交集為可行域，也就是要求的取值范圍

可行域，就是指同時滿足題目所給的幾個不等式的取值范圍的區(qū)域(解集)

空間向量

附手寫總結(jié)

本章中加粗的字母例如a，AB等都視為向量

1.空間向量與坐標(biāo)運(yùn)算

【題目實(shí)例輔助理解】

求余弦值就隨便取兩個方向向量，加個||（絕對值）來算cos，以確保它算出來的是銳角。

///補(bǔ)充點(diǎn)：

②（來自其它網(wǎng)課）

空間向量的有關(guān)概念

空間向量的各種運(yùn)算

③分不清 x軸 y軸 的看這里??！

x軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°為y軸。

④在此回顧一下平面向量里的定比分點(diǎn)公式，也是一個計(jì)算坐標(biāo)的小技巧。

2.空間向量法

※：

①法向量就是垂直于這個平面的非零向量。

（長度不為零）

單位法向量在法向量的基礎(chǔ)上加上【長度為一】

②注意各種角的范圍（放入補(bǔ)充點(diǎn)中）

③中點(diǎn)坐標(biāo)公式：

x坐標(biāo)相加/2；y坐標(biāo)相加/2；z坐標(biāo)相加/2

④法向量對長度無限制（除了不為0）

【題目實(shí)例輔助理解】

///補(bǔ)充點(diǎn)：

①各種角的范圍和對應(yīng)公式

3.法向量求法穩(wěn)固（基礎(chǔ)）

以題代練~【題目實(shí)例輔助理解】

不信的話，去找?guī)讉€題目練練去，這個方法用熟了求一個法向量最多一分鐘。

4.建系實(shí)戰(zhàn)指南

以題代練~【題目實(shí)例輔助理解】

※：搞定建系兩步走

①掌握基本方法(各種公式)

②多刷題

PS：一數(shù)這個把底面拆開來看，就是用的之前的剖平面法，很多人可能做題時會在不知不覺中用到。

最佳使用情況是當(dāng)你只用眼看，不是很能看清各邊之間的關(guān)系的時候，用剖平面法最保險。

【此時切忌直接憑感覺看角度?。『苡锌赡芫蜁村e??！】

///補(bǔ)充點(diǎn)：

①說實(shí)話，只掌握+刷題還不夠。

要自己總結(jié)方法，通式，搭構(gòu)解體模型。

自己總結(jié)的，永遠(yuǎn)比聽來的記得更牢靠。

②設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)可以用定點(diǎn)分比公式（上面給了）找點(diǎn)坐標(biāo)上面介紹了剖平面法，這里再將一個簡單的向量法 基礎(chǔ)方法必備（2/2）

向量法

簡單來說，就是用向量關(guān)系去求其他坐標(biāo)。

eg.已知AB=（1，2，3） BC=（2,1,2） A(1，1，1) 求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

很簡單，直接由向量加法運(yùn)算可得AB+BC=AC

得到AC=（3,3,5）

∵A(1，1，1)

∴C（4,4,6）

（向量加法運(yùn)算沒搞懂的回去看課，去看平面向量的。）

就這么簡單，有的時候坐標(biāo)看不出來就可以把這個坐標(biāo)拆成多個向量相互加減來算，同樣的用這個方法也可以來算所需的邊的長度。

5.方法總結(jié)與建系策略提高

【題目實(shí)例理解】

※：

概念復(fù)習(xí)：

①法向量就是垂直于這個平面的非零向量。（長度不為零）

可用線面垂直的判定定理來計(jì)算法向量。

②位置關(guān)系：

1°垂直：

線線垂直（a*b=0）

線面垂直（a//m）

面面垂直

2°平行：

線線平行（a=λb）

線面平行（a*m=0）

面面平行（m=λn）

3°夾角（注意各種角的取值范圍，上面補(bǔ)充點(diǎn)給過了）

線線夾角（cosθ=(a*b) / |a|*|b|）

線面夾角（sinθ=(a*b) / |a|*|b|）

面面夾角（|cosθ|=(a*b) / |a|*|b|）

(看圖判銳鈍/法向量都朝里外面不加絕對值，一內(nèi)一外加絕對值)

手寫總結(jié):

空間向量部分到此結(jié)束~~

導(dǎo)數(shù)

(附導(dǎo)數(shù)技巧總結(jié)，有其他一哥沒講到的好東西喔~)

自己整理的導(dǎo)數(shù)專欄~

【【高中數(shù)學(xué)】導(dǎo)數(shù)必會技巧合集?。。?嗶哩嗶哩】 https://b23.tv/xwkDzbB

大部分總結(jié)方法技巧都在這里了!!!

（基礎(chǔ)部分后面補(bǔ)上，我先根據(jù)個人需要直接上壓軸，希望可以諒解。）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

→復(fù)合函數(shù)與基本函數(shù)最大的區(qū)別，就是在于復(fù)合函數(shù)是由基本函數(shù)構(gòu)成的。也就是說，除去課本上給的基本導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式的那么幾種基本函數(shù)，剩下的基本上都是復(fù)合函數(shù)。

當(dāng)復(fù)合函數(shù)看不出來時，就要把原本基礎(chǔ)函數(shù)中未知變量的位置，換元成t、x等其他變量單獨(dú)單出來看，這樣會好看很多。

鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則(洋蔥法則)

由外而內(nèi)，逐層求導(dǎo)，最后相乘

算不出來復(fù)合導(dǎo)數(shù)，就換元內(nèi)層套出來計(jì)算。

套幾層就導(dǎo)幾次，最后把每次導(dǎo)結(jié)果相乘。

拓展思維: 從已知推至未知~

→求解x的x次方的導(dǎo)數(shù)

可以把它看作x的α次方也就是x的常數(shù)次方通過基礎(chǔ)公式進(jìn)行計(jì)算，也可以把它看作α的x次方通過常數(shù)的x次方的基礎(chǔ)公式進(jìn)行計(jì)算

在開始壓軸部分之前，先補(bǔ)充一個化簡計(jì)算的技巧，一定要看?。。∵@可能就是你老是計(jì)算錯誤，過程過于復(fù)雜的原因！！

///補(bǔ)充點(diǎn)：

非常重要的關(guān)于導(dǎo)數(shù)化簡的小技巧?。?！

就記住：

1°碰到eX，就讓eX盡量與變量x相匹配，比如xeX，x/eX都可以，因?yàn)閑X導(dǎo)出來還是eX，而且恒大于零，對分類討論沒有任何限制條件。

2°碰到lnx，一定要把lnx單獨(dú)分出來放到一邊！

因?yàn)閘nx單獨(dú)分開時，它的導(dǎo)數(shù)就是1/x，非常簡單，也很好分析。但如果要是和別的量放在一起，那就會復(fù)雜許多?。?！因?yàn)楹蛣e的量放在一起（常數(shù)不算），導(dǎo)完以后還是會有l(wèi)nx，還要再導(dǎo)！！

比如f（x）=lnx/x，這個時候要是直接導(dǎo)，那就會出現(xiàn)（1-lnx）/x2，然后要是進(jìn)一步計(jì)算就要單拎出lnx二階導(dǎo)。

但這時令一個新的函數(shù)g(x)=f(x)/x=lnx，那么g(x)的導(dǎo)數(shù)就是1/x，就不需要二階導(dǎo)了。（注意，這里x的定義域是＞0，所以直接除去x可以，其他情況還是要考慮一下正負(fù)的。）

主要就是通過乘除x之類的量，使得lnx單獨(dú)出來，方便運(yùn)算與討論。

【壓軸】1.恒成立之參數(shù)分離

【題目實(shí)例理解】

※：

①對于沒有學(xué)過的函數(shù)，可以嘗試去猜根（試根）

有的時候因式分解會直接幫助得出根。

②考試不要用“↑”、“↓”箭頭來表示單調(diào)遞增或遞減，要完全寫出來。

③大致畫個圖確認(rèn)單調(diào)性，直接判斷。

（討論單調(diào)性，嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)是不能直接畫圖解釋單調(diào)性的，因?yàn)閳D像不作為解題依據(jù)?。。?/p>

④壓軸題中導(dǎo)函數(shù)求零點(diǎn)時，大多要進(jìn)行因式分解，因式分解一般會有一點(diǎn)點(diǎn)難度，要了解一部分基礎(chǔ)的湊配方式，比如提出一個x分給另外一個式子，還有加減常數(shù)湊配，或者提出系數(shù)湊配之類的。

///補(bǔ)充點(diǎn)：

①關(guān)于猜根的一點(diǎn)補(bǔ)充：

猜根也不是瞎猜，基本上就是猜0,1,2，-1，e這類數(shù)字，一般來說也不是很難猜。

猜根還要注意定義域的限制，比如說猜了一個“-1”，結(jié)果原函數(shù)是lnX，也就是定義域大于0，那么這個根“-1”就直接作廢。

所以猜根之前，一定要先看定義域，有的時候定義域就可以直接篩選掉不存在的根，縮小猜根的范圍，也就更好去猜。

②隱零點(diǎn)的相關(guān)解法（也就是第二道例題中那種求不出來具體位置的零點(diǎn)，即稱為隱零點(diǎn)。一數(shù)后面也講了，這里先行給出我自己的方法與觀點(diǎn)。僅供參考。）

首先介紹一下零點(diǎn)存在性定理。

零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）*f（b）＜0。

那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b)，使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

對于函數(shù) y=f(x) ，使f（x）=0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，即零點(diǎn)不是點(diǎn)。

（零點(diǎn)是y=0時，x=？中“？”的值?。?/span>

這樣，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程 f（x）=0 的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

但在導(dǎo)數(shù)中，用這個定理一定要先判單調(diào)性！?。∫欢ㄒ。。?/span>

有的人可能會問為什么，在此用一組概念辨析來解釋一下：

請判斷下面兩個命題哪個是正確的：

①若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。

②若y=f(x)在在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則必有f(a)·f(b)<0

↓↓↓

①一定是對的，這就是定義。

但②就錯了，雖然只是把①反過來說，但這很明顯是錯的，比如說x2，有一個零點(diǎn)，但當(dāng)x取-1,1時，1*1大于零，不滿足②

這時怎么說才對呢？這就引出了導(dǎo)數(shù)中判零點(diǎn)要用到的零點(diǎn)唯一性定理

零點(diǎn)唯一性定理：

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，端點(diǎn)值滿足f(a)·f(b)<0,且函數(shù)在(a,b)上單調(diào)，則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。

反過來說也對

這就是說，如果要判零點(diǎn)，必須帶上單調(diào)性，使用零點(diǎn)唯一性定理，所算出來的才一定是正確的！

切記單調(diào)?。?！

現(xiàn)在來講講隱零點(diǎn)的出現(xiàn)情況：

一般都是在證明不等式中出現(xiàn)，比如某函數(shù)恒大于零。

首先對一個函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論單調(diào)性等情況。

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，出現(xiàn)了類似于xlnx，xex此類的項(xiàng)時，將這些復(fù)雜的項(xiàng)單拎出來進(jìn)行二次求導(dǎo)。

二次求導(dǎo)找零點(diǎn)判單調(diào)性。

這時發(fā)現(xiàn)當(dāng)二階導(dǎo)g(x)=0時，x解不出來（高中范疇內(nèi)解不出來，其實(shí)都可以解）

這個時候就要虛設(shè)零點(diǎn)

意思就是g(x)=0，這個x是解不出來的，那就令x=x0，這個x0就代表g(x)=0的解。

但是要討論單調(diào)性，必須還要知道這個零點(diǎn)的位置在哪，但這個位置算不出來，所以這個時候就要嘗試對單拎出來的這一項(xiàng)函數(shù)進(jìn)行賦值，來確定x0的大致范圍。

賦值：就是取值往原函數(shù)里代，進(jìn)行計(jì)算進(jìn)一步估算零點(diǎn)。

通過各種定義域，大小關(guān)系，去限制隱零點(diǎn)所在區(qū)間，最后限定在一個大致的區(qū)間范圍內(nèi)即可。

比如在有l(wèi)og或者ln的式子中，定義域x＞0，則隱零點(diǎn)的取值范圍只能在（0，+∞）之內(nèi)。

當(dāng)然這個范圍還是很大，只是在此舉個例子講一下怎么利用各種關(guān)系去約束取值范圍從而得到最小的大致范圍。往往題目所要利用的就是用這種“逼近”方法所能取到的最小范圍。

比如現(xiàn)已確定零點(diǎn)的范圍是（0,1），假定函數(shù)單增

那么要進(jìn)一步逼近零點(diǎn)，就可以采用賦值的方法。

比如賦值x=1/2代入原函數(shù)（注意是原函數(shù)，不是導(dǎo)函數(shù)），如果得到的f(1/2)＞0，又因?yàn)楹瘮?shù)單增，則零點(diǎn)的范圍縮小到（0,1/2）中

若f(1/2)＜0，則零點(diǎn)的范圍縮小到（1/2，1）中。

但一般在隱零點(diǎn)問題中代入的值一般是正整數(shù)1,2,3,4等等，很少有分?jǐn)?shù)，雖然說這樣賦值所限定的范圍還是不那么精確，但大多數(shù)題目就足夠用了。

然后知道了x0的大致范圍（就當(dāng)做x0的定義域），再把x0直接當(dāng)做一個常數(shù)帶回到g(x)=0，代換得到關(guān)系。

再將此關(guān)系代回到原函數(shù)f(x)，對此時的函數(shù)f(x0)化簡并運(yùn)用關(guān)系即可證明不等式

大多數(shù)這類題目的思路就是這樣的。

2°特殊方法（郎伯W函數(shù)或超越函數(shù)）

這個方法很刺激，但有一點(diǎn)難度，不要求掌握，但如果要沖高分，可以看一看，這個方法可以幫你簡化思路，秒殺壓軸?。。ㄐ☆}可）

這個特殊方法特殊在于你要了解兩個知識點(diǎn)，但都不大屬于高中范疇。

第一個：郎伯W函數(shù)（了解即可）

求準(zhǔn)確值可用(一般也不會有這么變態(tài)的要求。。)

郎伯W函數(shù)，又名乘積對數(shù)函數(shù)、歐米伽函數(shù)

此類函數(shù)就涉及到了隱零點(diǎn)，用郎伯W函數(shù)來表示形式為：

如果xe的x次方的值為2，那么最后x的值就為W（2），類似于W（2）這類的值要依靠數(shù)學(xué)運(yùn)算工具——計(jì)算器或電腦獲得，在此直接給出。

對應(yīng)此表可直接得到W（x）的值。

不過這種方法的實(shí)用性不強(qiáng)，但與之相關(guān)的圖像就是導(dǎo)數(shù)中考頻超高的超越函數(shù)

第二個：超越函數(shù)（重點(diǎn)）

超越函數(shù)就是類似于上面xe的x次方的這種函數(shù)，靠一般方法解不出零點(diǎn)的（就是隱零點(diǎn)），這一類稱為超越函數(shù)，也有的稱之為6大母函數(shù)。

這類超越函數(shù)最有用的是它們的圖像走向，極值點(diǎn)零點(diǎn)等關(guān)鍵信息，這些信息常被用來直接或間接地出在題目里，而用在小題中時，你還要花時間去導(dǎo)，去看單調(diào)性，極值點(diǎn)等等。

但有了圖像，就可以直接立判，省去時間，甚至直接出結(jié)果。

以下是導(dǎo)函數(shù)的六種圖像，截圖來源于超越函數(shù)講解課程。

有的時候題目不會直接給出這六大母函數(shù)，但是只要出現(xiàn)xlnx，xex之類的項(xiàng)，就可以考慮往超越函數(shù)上想，然后通過同除掉x，或者將x從左移到右邊等等代換方法就可以把題目化簡為交點(diǎn)問題或是其他類型的問題，這個時候有的可以根據(jù)圖像特征直接出結(jié)果，有的可能還要用到切線放縮等地方的知識。

但相比于基礎(chǔ)方法來說還是要更快的。

記憶方法的視頻：BV15b4y1H7q3

【壓軸】2.恒成立之直接討論（拔高）

///補(bǔ)充點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)必看（？/1）

關(guān)于例題二有一點(diǎn)點(diǎn)補(bǔ)充，那就是必要性探路

必要性探路，就是在題目給的范圍內(nèi)賦值去試，從而減少討論次數(shù)，化簡過程。

以例題二為例，簡要的講一下。

∵X∈[0，π]，f(x)≥0恒成立

∴令x=0代入得f(x)=-(1+a)

∵f(x)≥0恒成立

∴可得a≤-1

于是就把a(bǔ)限制在了a≤-1的范圍內(nèi)

神奇的一幕出現(xiàn)了！

因?yàn)閍≤-1，所以一數(shù)討論的情況一，情況二，情況三，通通直接無解?。?！就等于說你不用算了，直接討論最后一種即可！

而且，大題可以直接用哦~~~~

注意點(diǎn)：

必要性探路，所賦的值必須在定義域以內(nèi)，而且要用題目給的大小關(guān)系來約束！！

如果要使用必要性探路，一定要一上來就寫，而不是放在最后寫！！

而且，賦值的出來的大小范圍就可以直接用了~

必要性探路，一般來說可以化簡90%以上的題目，省去不必要的分類討論！

你可能會猶豫到底是寫還是不寫，在此給個建議，如果題目太簡單，直接分類做就是了，如果給的是復(fù)雜函數(shù)求范圍，那就先用上，就算題目屬于那10%沒用的，也耽誤不了幾分鐘。

前面所述的必要性探路只是其最最基礎(chǔ)的應(yīng)用，但實(shí)際上必要性探路的巨大作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及此。

相關(guān)拔高內(nèi)容還在整理，請見CV23533141，或前往BV16D4y1q7SY查看講解視頻！?。ㄟ@是我能找到的講的最全最好的視頻了！）

未知極值點(diǎn)處理(中檔)

通過估測得出范圍。

判單調(diào)性，極值點(diǎn)。

由題得到關(guān)于極值點(diǎn)的等式，利用等式進(jìn)行代換計(jì)算，消消消消消~

證明新函數(shù)，或是直接得答案~

繼續(xù)精確可以去賦值限制隱零點(diǎn)范圍以滿足題目條件~

未知極值點(diǎn)處理(進(jìn)階)

碰到無法處理的含參的，可以結(jié)合題目中的ln等題目條件去進(jìn)行分析，限制參數(shù)的范圍，比如像這里的lna，這也就限定了a的范圍必須大于零

根據(jù)目標(biāo)代換式進(jìn)行刻意的構(gòu)造，采用移項(xiàng)取對數(shù)之類的方法

【拔高】極值點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)相對中點(diǎn)分為偏左和偏右也叫極值點(diǎn)偏移。

理解就是要看哪邊陡哪邊緩，然后得出關(guān)系。

所以要證明哪邊緩，哪邊抖。

通法:結(jié)合一哥視頻自己總結(jié)的

分析階段:

①如果有第一小問是求單調(diào)性或極值，那就直接用第一小問求出的結(jié)論，去畫個圖，大致看一下哪邊緩哪邊陡，然后再去根據(jù)圖像走勢去構(gòu)造函數(shù)。

②想要去證明哪邊緩哪邊陡，就要通過這兩個x1x2，去構(gòu)建關(guān)系，看這兩者與極值點(diǎn)的關(guān)系，比如說X2更陡，那么等于說從極值點(diǎn)往X2方向偏，稍微偏一點(diǎn)點(diǎn)就可以下降／上升很多，那么，此時結(jié)合圖像，設(shè)極值點(diǎn)位置為X0，則x2-x0＜x0-x1

③要證明上述不等式，那么就可以換種方式去證明，從極值點(diǎn)向左和向右相同的距離，這個距離設(shè)為x，如果極值點(diǎn)不發(fā)生偏移，也就是極值點(diǎn)和中點(diǎn)重合，那么，從這個極值點(diǎn)向左或向右相同距離所得到的函數(shù)值是相等的，但是因?yàn)闃O值點(diǎn)發(fā)生了偏移，所以從極值點(diǎn)向左和向右相同距離的函數(shù)值是不等的

在給出的例題中，因?yàn)闃O值點(diǎn)是左偏的，左邊更陡，所以從極值點(diǎn)向左邊相同距離的函數(shù)值小于從極值點(diǎn)向右邊相同距離的函數(shù)值，就可以列出關(guān)系式，然后就去證明就可以了。

做題階段:

①列出單調(diào)性，極值點(diǎn)

②根據(jù)題意列出x1與x2處函數(shù)值的關(guān)系(一般是相等)

③構(gòu)造函數(shù)，就用從極值點(diǎn)向左或向右相同距離，這個距離設(shè)為x，判斷極值點(diǎn)是左偏還是右偏，來得出不等式結(jié)論，要不然就是極值點(diǎn)減去x的函數(shù)值大于極值點(diǎn)加上x的函數(shù)值，要不然就是反過來。

④構(gòu)造函數(shù)并對其求導(dǎo)判斷單調(diào)性。因?yàn)槿绻慌袛鄦握{(diào)性，是無法直接得到不等式關(guān)系的，所以需要先去判斷這個新構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)單增或單減，得到這樣的不等式關(guān)系，這個時候，因?yàn)樗哂袉握{(diào)性，所以就可以把外面的函數(shù)值f給脫掉。

⑤(答題術(shù)語)不妨設(shè) ?＜x1<極值點(diǎn)<?

“?”處填上有兩個相同函數(shù)值的范圍

⑥令x0+x=x2(僅僅舉個例子，有的時候不一定是這個)替換掉構(gòu)造函數(shù)，換為要證明的x1x2，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性脫去f，得到不等式關(guān)系，證畢。

補(bǔ)充一下:這只是極值點(diǎn)偏移最最基礎(chǔ)的類型，相關(guān)變形一般要對證明結(jié)論取對數(shù)或是采取同構(gòu)的方法加以解決，將其轉(zhuǎn)變?yōu)樽罨A(chǔ)的結(jié)論再去做，也就是命題轉(zhuǎn)換

導(dǎo)數(shù)的三連放縮

(順便提一嘴，所有的這些放縮，包括三角放縮在內(nèi)，都是由泰勒公式得到。感興趣的可以去看看泰勒，這些放縮真的很好用，不過還是大題用不了，要證明。)

雖然說需要構(gòu)造新函數(shù)，并且去證明放縮結(jié)論，但是總體上來說，思路很清晰

上題。。

導(dǎo)數(shù)的三角放縮舉例

(講真，第一題我的想法是對數(shù)均值不等式。。對數(shù)均值不等式是真的好用。CV22752782了解一下，或去看看視頻也可。)

導(dǎo)數(shù)中的數(shù)列求和

所求數(shù)列一定和前面所求有關(guān)。

通過對x賦值將符號改寫

導(dǎo)數(shù)的放縮進(jìn)階技巧

計(jì)數(shù)原理

1.加法與乘法原理

※：

①分類加法計(jì)數(shù)原理：理解字面含義，通過分類來得到不同方案的時候，是用加法將他們加在一起的。

(一數(shù)舉的例子)：

以兩類情況來代替這類問題。

比如解決一個問題，第一類方案有m種解決方案；第二類問題有n種解決方案，所以解決這個問題一共有m+n種解決方案。

【題目實(shí)例輔助理解】

②分步乘法計(jì)數(shù)原理：理解字面含義，通過分步來計(jì)數(shù)的時候，是用乘法將他們連在一起。

(一數(shù)舉的例子)：

以四步情況來代替這類問題。

比如解決一個問題，第一步（A）有m種方法；第二步（B）有n種方法；第三步（C）有t種方法；第四步（D）有s種方法，所以解決這個問題一共有m*n*s*t種方法。

【題目實(shí)例輔助理解】

ps.注意，從第一層樓到第五層樓，只走了四步！

③加法乘法混合例題

————————分割線—————————

從這里開始涉及到了特殊的數(shù)學(xué)符號，由于排列組合的符號比較難打，所以一律用Amn或Cmn表示，上標(biāo)放前面，下標(biāo)放后面，比如A34=4*3*2=24.

2.排列

【例題引入】

ps.數(shù)字排列，使用數(shù)字不重復(fù)時，用掉一個少一個。

※：

①排列數(shù)公式：

②n=m時，為全排列。

PS：n?。ā?！”不是代表感嘆的意思?。∈谴黼A乘?。。?/p>

（關(guān)于階乘在下面的補(bǔ)充點(diǎn)里提及）

③排列公式從定義式推到階乘式：

把Amn上下寫成分?jǐn)?shù)形式，上下同乘（n-m）*（n-m-1）*....一直乘到1。

此時分子是1一直乘到n，為n！

分母是1一直乘到（n-m），為（n-m）！

④證明一般用階乘式來證明。

【題目實(shí)例輔助理解】

PS.百位要把“0”給去掉，百位上排零就不叫三位數(shù)了。日常做題中碰到數(shù)字排列組合成為幾位數(shù)的這類問題，都要注意“0”不能放在首位！！這是一個很重要的限制條件。

///補(bǔ)充點(diǎn)：

①可能會有人不了解什么是階乘，在此簡單介紹一下。

階乘：“階”看字面意思，就是類似于臺階一樣；“乘”就是乘起來。

正規(guī)定義（高中版本）：階乘是指從1到n的連續(xù)自然數(shù)相乘的積。

那么什么是階乘？

舉一組例子↓

1！=1 2！=1*2 3！=1*2*3

就寫到這里，大概能看出來階乘是個什么東西了吧。

階乘的通式是 n?。ㄔ诟咧须A段，n取自然數(shù)）

意思就是從1開始乘，1乘2乘3乘4.....一直乘到n結(jié)束。

需要注意的是→ 0！=1

這是被定義的，為了讓涉及到0的階乘有意義，理解不了為什么直接記住就好啦~~

②關(guān)于以上的知識點(diǎn)講解，不理解的請去練練題。如果理解不了Amn這種是怎么乘起來的，可以先用窮舉法試一下，一定要理解概念，而不是死記。

③在這里淺淺的總結(jié)一下一數(shù)在第三道例題中所用到的兩種方法，這兩種方法都是日后做題的重要思路來源。

1°正面直接入題：跟著題目條件走，題目說什么就做什么，比如題目說不能在首位放“0”，就不在首位放“0”。再去接著分析其他情況。

大多數(shù)題目直接正面做就行了。

2°正難則反（通俗一點(diǎn)就是從反面去做，有一點(diǎn)點(diǎn)像是倒推法。很多題目用這種方法可以優(yōu)化過程，簡單明了。）

比如說題目中講了，首位不能放“0”，那我就反著和題目杠，我就偏往上放一個“0”，這個時候的出來的結(jié)果就是題目所限制之外的。

杠完了題目別只顧著爽——把“0”放在首位的情況是題目條件之外的，也就是說，這種是不需要的，要把去掉。

題目限制范圍內(nèi)的 = 題目 - 題目限制之外的

比如說：算出來不分“0”是否在首位的（就是不管限制條件）共有100種，把“0”放在首位的情況有10種，那么題目所限制的正確種數(shù)就是100-10=90種。

3.組合

※：

①一數(shù)舉的例子輔助理解：

比如說要從5個元素（A、B、C、D、E）中取3個元素。

比如說正好取出來了：B、D、E

那么取出來的B、D、E就叫做從5個元素取出三個元素的一個組合。

類似于BDE這種組合有很多種，而這么多種組合的數(shù)量，就叫做組合數(shù)。

記作：Cmn

②組合數(shù)公式用排列數(shù)去推：

③特殊規(guī)定

④證明一般用階乘式來證明。

⑤從n個不同元素中取出m個元素有多少種選法，選出來的時候是不需要排序的——組合

從n個不同元素中取出m個元素有多少種選法，選出來的時候需要排序——排列

【題目實(shí)例輔助理解】

【補(bǔ)充】排列組合的使用情況

※：

總結(jié)一下：

排列是在選取的基礎(chǔ)上多加一步順序。

組合是選取的過程中無序，隨便抽取。

【題目實(shí)例輔助理解】

PS：注意“0”不能放在首位??！

4.排列組合的應(yīng)用（習(xí)題課）

（捆綁法↓）

///補(bǔ)充點(diǎn)：捆綁法中需要注意一下，如果說是“甲在乙前面”或是“乙在甲前面”，只有一種情況，那么捆綁甲乙兩人直接看成一個人。

但如果是“甲與乙相鄰”，也就是說“甲在乙前面”或是“乙在甲前面”都包括在內(nèi)，有兩種情況，結(jié)果的出來要*2才行。

這道題涉及到了之前補(bǔ)充的知識點(diǎn)“正難則反”以及其他知識點(diǎn)混合運(yùn)用。

5.二項(xiàng)式定理與通項(xiàng)

※：

①項(xiàng)數(shù)低的時候可以用楊輝三角寫出來（建議項(xiàng)數(shù)≤7）

同時，楊輝三角也可以在忘記二項(xiàng)式定理時使用，但大題不能用。

②推導(dǎo)二項(xiàng)式定理思路拆解：

將(a+b)?拆解為(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b).....

然后將其理解為從括號的兩個元素a和b中每次抽出一個與其他抽出的元素相乘，將所有可能的情況以及數(shù)量合在一起，便得到了二項(xiàng)式定理。

③(a+b)?展開一共有(n+1)項(xiàng)

④二項(xiàng)式系數(shù)指的只是組合數(shù)，不包括前面的符號以及其他系數(shù)

⑤開始做題不太熟悉的時候用(a+b)套入，前面的元素設(shè)為a，后面的元素設(shè)為b（記得帶上正負(fù)號?。┤缓笤偃ネㄟ^通項(xiàng)公式去求。

概念辨析：

系數(shù)是指該元素前所有的符號與數(shù)字算出來的值。

二項(xiàng)式系數(shù)僅指該元素前的組合數(shù)！

6.二項(xiàng)式的性質(zhì)

※：

①在二項(xiàng)式系數(shù)中，當(dāng)n為奇數(shù)時，最中間的兩項(xiàng)最大，且值相等。

②在二項(xiàng)式系數(shù)中，當(dāng)n為偶數(shù)時，只有最中間的一項(xiàng)最大。

③求系數(shù)和可以采用賦值法，將x的次方項(xiàng)提出以后，令x=1，得到的結(jié)果就是系數(shù)和。

（一數(shù)總結(jié)了通用策略，放在【考點(diǎn)精華】13）

自己總結(jié)的排列組合相關(guān)做題套路

①首先注意題干，是能重復(fù)分還是不能重復(fù)，元素是相同還是不同。

②合理規(guī)劃分配路徑，分析出是用分步計(jì)數(shù)原理還是用分類計(jì)數(shù)原理。

③然后要去看分元素是有順序還是沒有順序。

有順序就要用排列來算，無順序要求就用組和來算。

④最后注意看好分步，分類，排列，組合之間的關(guān)系，準(zhǔn)確來說是優(yōu)先級。

因?yàn)榛旧仙晕㈦y一點(diǎn)的題目都是這些關(guān)系雜糅在一起。

比如說先分類，再分步，最后排列還有組合

那就要寫成：

結(jié)果=分類種數(shù)1+分類種數(shù)2（假設(shè)只分了兩類）

分類種數(shù)1=A..*C..*A..（假設(shè)只分了三步）

分類種數(shù)2=......（略）

合并一下：結(jié)果=A..*C..*A..+......

要按優(yōu)先級來排列，類似于大括號套中括號套小括號。

⑤有的時候可以去想一想有沒有什么其它做法，比如說正難則反，逆求然后刨去不需要的之類的

同時要注重思路培養(yǎng)，雖然排列組合這里題目多而雜，但基本就那么幾大類，跟著一數(shù)走，掌握基本題型做題思路，在碰到新題目時學(xué)會知識遷移，進(jìn)行自我歸納總結(jié)，這就已經(jīng)可以搞定排列組合了。

PS.還有兩點(diǎn)，可能有些人搞不清楚

Q：怎么區(qū)分元素是相同還是不同？題目給了我那么多元素，就說了幾個人，幾個球之類的，也沒說ABCD甲乙丙丁，這怎么看？

A：當(dāng)涉及到人時，比如說4個人，直接就默認(rèn)是不同的?。?！除此以外，都默認(rèn)為相同。

還有就是當(dāng)這些元素不管是人或是物，加了限定條件，明確了甲乙丙丁之類的，那就一定不一樣！

///隔板法，插空法，分組分配法的不同使用條件：

插空法：僅在排列中使用！

隔板法：僅在組合中使用，且題中所給元素必須相同！

分組分配法：僅在組合中使用，且題中所給元素不同！

7.【考點(diǎn)精華】初識計(jì)數(shù)題型（基礎(chǔ)）

【題目實(shí)例輔助理解】

（涂色問題初探）

（捆綁法初探）

（插空/隔板法初探）

※：總結(jié)

①（參照例題一）

涉及知識點(diǎn)：普通計(jì)數(shù)與排列組合的區(qū)別

區(qū)別：有無因果關(guān)系或互相限制。

有——排列組合 | 無——普通計(jì)數(shù)

注意看清題目所涉及的元素之間的關(guān)系。

此題中五名同學(xué)與四個活動小組互相之間都沒有聯(lián)系，所以均攤到每一個活動小組即可。

另外要注意理解數(shù)字含義，比如4的5次方表示4個活動小組，每個活動小組被報名的同學(xué)會有五個。

而5的4次方是5個同學(xué)每人都會報4個小組，明顯與題意不符。

②（參照例題二）

涉及知識點(diǎn)：排列組合之間的區(qū)別

區(qū)別：題目要求的是否與順序有關(guān)。

是——排列 | 否——組合

本題先從題目條件【偶數(shù)】入手

因?yàn)槭俏逦粩?shù)是偶數(shù)，所以個位數(shù)必須是偶數(shù)。（偶數(shù)簡單來說就是那這個數(shù)除以2看是否為整數(shù)，是就是偶數(shù)，否就是奇數(shù)。）

個位為偶數(shù)共有三種選擇。

再回到首位開始往后排列。

（可能有人會問為什么要回到首位開始排列，首先在這個題目中是否從首位開始排列無關(guān)緊要，但是有的題目在選取的數(shù)字中加入0時就必須從首位排列。因?yàn)檫@樣可以避免出錯。數(shù)字中有0時，0不能放在首位，之前的視頻也講過了）

需要注意的是，題目中給了數(shù)字，數(shù)字是可以重復(fù)使用還是不可以重復(fù)使用，這導(dǎo)致的結(jié)果完全不同。

③（參照例題三）

涉及知識點(diǎn)：排列組合中的思路簡化

盡可能地拆分題目給的條件，得到最簡單的題目呈現(xiàn)方式。

此題中將路徑問題拆分成了必須的兩個步驟：向上走和向右走，這個時候再分析就很簡單了~

8.【考點(diǎn)精華】捆綁法與插空法（基礎(chǔ)）

【題目實(shí)例輔助理解】

甲乙丙丁戊己這六個人

※：

①使用情況：涉及到相鄰或不相鄰基本會用的。

②插空法中的空是用來添入元素的。

插空法設(shè)空的時候要注意已經(jīng)固定好的元素兩邊也各有一個空！

③當(dāng)不知道關(guān)系的時候遇事不決就分類。

或者使用正難則反，就是寫出所有條件，再把不滿足的丟掉。（有的時候正難則反也不是很好用......）

④捆綁法就是把相鄰的兩個人（有的時候會有三個，四個等等，但必須是相鄰）捆起來，看做一個人。

比如五個人A/B/C/D/E隨機(jī)排列，其中A，B必須相鄰，那么就把AB捆起來看作一種，這個時候就按照AB/C/D/E，用這四個“人”去排列。

⑤注意題目條件中給的元素是相同還是不同的，比如甲乙丙丁，這就很明確的是元素不同，但如果是五本書，有可能就是一樣的元素。

9.【考點(diǎn)精華】隔板法（中檔）

【題目實(shí)例輔助理解】

※：

①隔板法中的板子是用來分隔元素的，將元素分成n份，就插入（n-1）個板。

②隔板法與插空法都要找空位，但使用隔板法時，左右兩邊是沒有空位的，放不了板子。

③隔板法要注意題目所給元素是否相同，一般只在相同情況下使用隔板法。

④當(dāng)做方程解的問題時，要注意是否為正整數(shù)，涉及到0時要想辦法方程兩邊同加某個數(shù)使得每個解均為正數(shù)。

⑤對什么不清楚就對什么分類討論。（對某種情況分類討論，就可以直接避免掉這種不確定情況）

⑥放球問題涉及到空盒，使用隔板法要記得每個盒子+1，使得空盒不為空，再進(jìn)行運(yùn)算。

（同樣的，每個空盒+1，那么總球數(shù)就要+空盒個數(shù)*1，以保持左右總量相等，類比與方程同加。）

⑦隔板法永遠(yuǎn)都要回歸到最本質(zhì)的正整數(shù)解上。

10.【考點(diǎn)精華】分組分配問題（中檔）

【題目實(shí)例輔助理解】

※：總結(jié)

①分組分配問題一共分為兩步，首先要分組，分完組以后再將分出來的組進(jìn)行分配。

1°首先分組，使用組合進(jìn)行計(jì)算，也就是分堆問題。

分堆問題：先把沒有重復(fù)堆數(shù)的堆單獨(dú)列出來，由于是無序的，為了便于計(jì)算，假設(shè)為有序的，所以這幾個堆之間使用組合相乘是重復(fù)的（因?yàn)橹凹僭O(shè)了有順序），需要刨去排列，才變?yōu)檎_答案

→（便于計(jì)算）有序 ÷ 全排列 = 無序

簡單來說，單拎出不重復(fù)的，剩下重復(fù)的重復(fù)n遍，先使用組合，再總的一并除去Ann

2°然后分配，使用排列

分配問題：分組分好了以后，看一共有多少組，這個時候使用排列，而且是全排列，分了n組，最后就乘上Ann

11.【考點(diǎn)精華】染色問題（中檔到拔高）

【題目實(shí)例輔助理解】

※：

一數(shù)總結(jié)的通法：

①模擬過程

選擇一個格子，將這個格子內(nèi)的情況都直接寫出來。

②跳格分類

跳到對面的格子里，進(jìn)行分類。

有多個對面的格子，就選擇隨便其中一個進(jìn)行分類，如果這個格子的對面還有格子，就再分類一直這樣下去。直到最后一個格子的對面就是第一個選中的格子為止。

做題方法：遇到復(fù)雜的立體圖形，可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為平面圖形來做。

///補(bǔ)充點(diǎn)：

還有一種涂色問題的解決策略，兩種策略可以說是不相上下，但是互通有無，建議了解一下。

按照事件的直接影響來進(jìn)行涂色，而不是跳格分類。

確定的列，不確定的分類討論數(shù)。

12.【考點(diǎn)精華】計(jì)數(shù)原理之間接法（中檔）

前面講的正難則反就是這個啦~

13.【考點(diǎn)精華】一道好題學(xué)會排列組合問題核心策略（中檔）

※：

①首先化簡，將題干信息轉(zhuǎn)化成字母ABCD或其它常用漢字與序號來進(jìn)行化簡，方便進(jìn)一步做題。

②樹狀圖分析問題

原則：優(yōu)先分析限制條件多的，然后再去分析限制條件少的。

根據(jù)分析不斷分類，碰到有多種情況的時候就分類

③按先后順序?qū)懙亩际浅朔ㄔ?，打了括號分類的都是加法原?/p>

14.【考點(diǎn)精華】創(chuàng)新性排列組合問題該如何思考？（中檔）

【題目實(shí)例輔助理解】

15.【考點(diǎn)精華】常規(guī)二項(xiàng)式問題（基礎(chǔ)）

【題目實(shí)例輔助理解】

※：

①一定要注意第r+1項(xiàng)所對應(yīng)的是 C r，而不是C r+1

///補(bǔ)充點(diǎn)：

①例二速算：

觀察題目，由于題目給出的兩個元素一個是X，一個是2/(3√x)

所以要得到常數(shù)項(xiàng)，就要去湊。

因?yàn)榈诙€元素是在分母的位置，且是3√x

所以要湊出常數(shù)項(xiàng)，最簡單的方法是取三個

2/(3√x)，這個時候分母就剩了8/x，再取出一個x，就能把x全部消掉得到常數(shù)項(xiàng)。

所以最簡單的步驟是n=4

看一下選項(xiàng)，沒有n=4，因?yàn)閚=4是最簡單的步驟，那么再往上找就將n=4看成循環(huán)節(jié)，只有4的倍數(shù)才行，所以只有A選項(xiàng)可以。

雖然說文字看起來這么多，但實(shí)際上想通了不用列公式計(jì)算最多兩分鐘出結(jié)果。

②復(fù)合二項(xiàng)式問題的解決策略：

有的時候做題會遇到多個二項(xiàng)式組合，或者是二項(xiàng)式里面套的是類似于(X2+2X+3)而不是(x+1)這類的式子，有兩種解決方法。

1° 拆分，分開單獨(dú)運(yùn)算，最后合并

這也是最普通常用的方法，就是把多個多項(xiàng)式拆開逐個運(yùn)算，最后相乘

例如(X+3)?(x+1)?這樣的組合型二項(xiàng)式，就把拆開來單獨(dú)運(yùn)算即可。

（雖然如此，但也有的題目會把逆用！比如求整求余還有像問過了多少天后是星期幾的這類問題，都要用到拆分法，這里要去嘗試比如說將3的3次方拆成（1+2）的三次方再去進(jìn)行運(yùn)算，涉及到算星期的問題要把拆開的數(shù)字盡量往7上面湊，才能得到取整或取余的結(jié)果。）

2°整體思想，將一部分看為整體進(jìn)行運(yùn)算，最后再把整體拆開細(xì)算。

這種方法也比較常用，主要是應(yīng)用于多次式出現(xiàn)在二項(xiàng)式中時進(jìn)行使用，可以簡便計(jì)算過程。

例如(X2+2X+3)?

這里就沒法拆開做了，那么就將(X2+2X)看做一個整體，令為元素a，2看為另一個部分，令為元素b，這個時候就可以用二項(xiàng)式定理接著做了，最后再把(X2+2X)單獨(dú)乘入展開的二項(xiàng)式即可。

【計(jì)數(shù)原理】到此結(jié)束~

不過還有一部分內(nèi)容有待補(bǔ)充。

隨機(jī)變量

關(guān)于條件概率這一小部分，感覺一數(shù)講的不是很細(xì)，于是去找了佟大大的課聽了一下，筆記補(bǔ)充在這里。一數(shù)的講解放在后面。

///補(bǔ)充點(diǎn)：條件概率

補(bǔ)充來源：BV1fJ411R73E

基本概念

P(A)：A事件發(fā)生的概率

P(AB)：A和B事件同時發(fā)生的概率，用集合表示為A與B的交集，也可寫作A∩B

P(A+B)：A與B事件中任意一個發(fā)生的概率，用集合寫作A∪B，A與B之間是并集的關(guān)系。

P(B|A)：意思是在A事件（條件）成立的前提下，B事件成立的概率是多少。

課本給出的公式：

P(B|A)=P(AB)/P(A)

誰在“|”后面，就用交集除去誰。

課程截圖：

※：

①Q：P(B|A)與P(AB)有何區(qū)別？（用韋恩圖表示都是交集部分）

A：

用實(shí)例來舉例說明：

某動物活到20歲的概率為：0.5

活到40歲的概率為：0.3

求：活到20歲的前提下，活到40歲的概率為？

記活到20歲為事件A，活到40歲為事件B

則題目的問題可以表示為P(B|A)

從表面看P(B|A)與P(AB)要求的量是同一部分，但通過具體數(shù)據(jù)與圖像來展示可知：

AB是在整體范圍內(nèi)的交集概率

A|B是在B的范圍內(nèi)的交集概率（不算上A的范圍）

通過表達(dá)式進(jìn)行直觀展示：

P(B|A)=n(AB)/n(B)

P(AB)=n(AB)/n(A+B)

分子是一樣的，但分母不同。

總結(jié)一下：

就是A|B的功能是將整個取值的范圍限制在了B的范圍以內(nèi)。

例題講解：

1.條件概率與獨(dú)立事件

//相關(guān)概念見上//

條件概率

【題目實(shí)例輔助理解】

條件概率公式推導(dǎo)：

例題：

相對獨(dú)立事件

相互獨(dú)立事件就是事件A與事件B與事件C....每個事件之間發(fā)生的事情不互相關(guān)聯(lián)影響。

關(guān)于P(B|A)與P(AB)的辨析見上↑↑↑

///補(bǔ)充點(diǎn)：全概率公式與貝葉斯公式的理解

來源于視頻BV1a4411B7B4

通過將發(fā)生的事件情況以路徑來體現(xiàn)。

①全概率就是每條路徑相加，求得是最后的結(jié)果

②貝葉斯就是這一條路徑除掉總路徑，通過已知的結(jié)果去反推單條路徑。

更多詳細(xì)內(nèi)容見小姚老師視頻BV13X4y1d7So的筆記區(qū)我的筆記~

2.離散型隨機(jī)變量及其分布列

隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量類似于函數(shù)。一般用符號x，y以及ξ，η來表示，這些符號所代表的就叫做隨機(jī)變量，而x被賦予的值，可以類比理解為函數(shù)中的值域。

離散的意思就是可以分離開的，而離散型就是指所有的取值都可以一一列舉出來，高中一般考的都是離散型隨機(jī)變量，也就是結(jié)果可以一一列舉出來的變量，比如說擲硬幣只有0和1兩種結(jié)果，擲骰子只有123456六種結(jié)果。

非離散型隨機(jī)變量也可以轉(zhuǎn)化為離散型隨機(jī)變量。

不屬于離散型隨機(jī)變量的情況:

結(jié)果無窮無盡，無法全部列舉出來，或者不是隨機(jī)變量。

【例題輔助理解】

離散型隨機(jī)變量的分布列:

就是把離散型隨機(jī)變量可能的結(jié)果，以及這種結(jié)果的概率全部寫出來，就叫做離散型隨機(jī)變量的分布列。

一般用表格表示，表格上面一行寫的是隨機(jī)變量，下面一行寫的是對應(yīng)的概率。

在寫概率時，括號內(nèi)要寫x(或其他離散型隨機(jī)變量符號)等于幾，就是把隨機(jī)變量賦到幾的值，代表當(dāng)x=？時的這個事件。

括號里面也可以寫中文，只要能把這個事件表述清楚就行

另外一種寫法就是P(x=xi)=Pi，i=……(寫具體數(shù)字)

類比于數(shù)列中的通項(xiàng)。但一般不建議這么寫

性質(zhì):

①Pi≥0 , i=1,2,...n

②(P1+P2+...+Pn)=1 所有事件的概率和為1

兩點(diǎn)分布:

隨機(jī)變量只有兩種結(jié)果的分布列叫做兩點(diǎn)分布。

一般將P(x=1)稱作成功概率

【例題輔助理解】

驗(yàn)算:用概率和為1來運(yùn)算。

3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

首先理解加權(quán)的含義:字面理解加權(quán)，權(quán)就是權(quán)重的意思，也就是占的比重

每一種事件對應(yīng)的概率，被稱為權(quán)數(shù)，也就是這件事，在總事件中所占的比重。

研究的事件是:從一桶糖中取一顆糖，隨機(jī)變量x：該糖的單價為x元每千克

如果把這個事件轉(zhuǎn)換為離散型隨機(jī)變量，那么上式就代表著，高中數(shù)學(xué)里面所說的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望。也叫離散型隨機(jī)變量的均值

平均值可以理解為是一種特殊的加權(quán)平均數(shù)，或是一種特殊的均值，在這種情況下，所有事件發(fā)生的概率相等，所以所占權(quán)重均為一

推導(dǎo)性質(zhì)：

例題輔助理解：

對于任意一個兩點(diǎn)分布，他的數(shù)學(xué)期望等于成功的概率p

對于獨(dú)立重復(fù)事件而言，他的期望等于np

方差：

因?yàn)槠谕迪嗤赃x取得分更穩(wěn)定的同學(xué)參賽。

量化穩(wěn)定——方差

Xi-E(x)表示第i個數(shù)據(jù)偏離均值的程度

(Xi-E(x))2加了平方，放大偏離程度從而更好體現(xiàn)偏離情況。

在每組偏離程度后乘上對應(yīng)的概率，就是加權(quán)的意思

方差越大越不穩(wěn)定，越小越穩(wěn)定。

標(biāo)準(zhǔn)差就對Dx開根

兩點(diǎn)分布下的方差

4.獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)(伯努利實(shí)驗(yàn)，二項(xiàng)分布，超幾何分布)

在此把之前筆記拿過來一點(diǎn)

①事件的獨(dú)立性

1°獨(dú)立事件是指A、B兩種事件相互之間不影響，互不相關(guān)。

符合獨(dú)立事件即可使用獨(dú)立事件的乘法公式：P(AB)=P(A)·P(B)

AB即表示兩種事件同時發(fā)生。

以A事件與B事件概率的乘積來表示。

2°不獨(dú)立事件，就是A、B兩事件相關(guān)，互相影響。

概念講解：

P(x=k)是指當(dāng)x=k時，該事件的概率。在此題中意味著一朝上的次數(shù)為k時的概率。

進(jìn)一步延伸二項(xiàng)式分布

X~B(n,p)也就是說這個事件是獨(dú)立重復(fù)事件，滿足二項(xiàng)分布，滿足上述公式。

獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中

E(x)=np

D(x)=np(1-p)

平移會影響期望

伸縮會影響期望與方差

平移即在原本期望或方差的基礎(chǔ)上進(jìn)行加減

伸縮即在原本期望和方差的基礎(chǔ)上進(jìn)行乘除

例題輔助理解：

伯努利實(shí)驗(yàn)+二項(xiàng)分布+超幾何分布（整合）

（來源于網(wǎng)絡(luò)）

1.伯努利實(shí)驗(yàn)+二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布

n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

X記錄事件的發(fā)生次數(shù)

p表示在一次實(shí)驗(yàn)下，該事件發(fā)生的概率

二項(xiàng)分布使用X~B(n,P)來表示

期望E(X)=np 方差D(X)=np(1-p)

使用二項(xiàng)分布的摸球情況是，摸完以后放回，可以以此類比到其他事件。

2.超幾何分布

超幾何分布與二項(xiàng)分布辨析

本質(zhì)區(qū)別：

(1) 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，而二項(xiàng)分布描述的是放回抽樣問題.

(2) 超幾何分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是古典概型問題；二項(xiàng)分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是相互獨(dú)立事件的概率問題.

當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時，在有放回地抽取與無放回地抽取條件下，計(jì)算得到的概率非常接近，可以近似把超幾何分布認(rèn)為是二項(xiàng)分布.

綜上可知，當(dāng)提問中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項(xiàng)分布。

隨機(jī)變量習(xí)題課

注意隨機(jī)與變量

概率和為1

獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

正態(tài)分布

從例子講起

頻率=頻數(shù)÷總數(shù)

性質(zhì):

①對稱軸x=μ，此時取到峰值為y=1/(?2π?σ)

②正態(tài)曲線的函數(shù)一定在x軸上，且與x軸不相交

③最大值x=μ時取得

④正態(tài)曲線與x軸形成的面積為1，因此又稱作概率密度函數(shù)

表示為N(μ,σ2)

若某隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，即用X~N(μ,σ2)表示

記憶大概估算的三個數(shù)值

μ的作用:確定對稱軸

σ的作用:確定最高點(diǎn)值，σ越大最高值越小數(shù)據(jù)越分散

E(x)=μ D(x)=σ2

正態(tài)分布中的特殊類型是當(dāng)μ=0，σ=1時，此正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

三σ原則:

①P(μ-σ＜x≤μ+σ)≈0.6827

②P(μ-2σ＜x≤μ+2σ)≈0.9545

③P(μ-3σ＜x≤μ+3σ)≈0.9973

做題主要就是通過對稱性去計(jì)算概率。

正態(tài)分布習(xí)題課

首先要注意對稱軸，如果這個隨機(jī)變量x符合正態(tài)分布，那么對稱軸x=μ，此時取到峰值為y=1/(?2π?σ)

使用對稱性去做題，結(jié)合3σ原則。

搞不清是否對稱，就畫個正態(tài)曲線去看

總面積和為1

【線性回歸方程】

線性相關(guān)，能以直線來替代表示的數(shù)據(jù)關(guān)系。

線性擬合:用近似函數(shù)來表示變量關(guān)系。

高中僅學(xué)習(xí)線性回歸。

線性回歸方程建議背公式記下來，但考試基本上會給。

在不同的變量上給出符號“^”，用來表示這個變量是預(yù)測量，并不是真實(shí)出現(xiàn)的。

預(yù)測量上面就要加符號，但如果是真實(shí)量就不用。

線性回歸方程一定經(jīng)過樣本的均值點(diǎn)(樣本中心)。

殘差越小，線性回歸方程擬合程度越高

使用最小二乘法所得出來的線性回歸方程，是使得殘差的平方和最小，所以擬和程度最高。

相關(guān)系數(shù)越大，線性回歸方程的擬合程度越高

計(jì)算相關(guān)系數(shù)的平方是因?yàn)樗愃朴跇?biāo)準(zhǔn)差與方差的關(guān)系，平方比較好算

補(bǔ)充點(diǎn):非線性回歸方程就換元為線性回歸方程做。

經(jīng)常就是通過簡單換元或是取對數(shù)(ex類型)來做。

【習(xí)題課】

考試重點(diǎn)是樣本中心!

相關(guān)系數(shù)一般會給，直接套即可。

｜r｜大于等于0.75表示線性相關(guān)程度強(qiáng)，｜r｜小于等于0.25則表示線性相關(guān)程度弱，數(shù)值越靠近1相關(guān)性越強(qiáng)。注意要帶上絕對值。

正負(fù)相關(guān)，看相關(guān)系數(shù)r的正負(fù)

獨(dú)立性檢驗(yàn)——驗(yàn)證兩個變量間的相關(guān)性

獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式考到一般會給。

以防萬一可以考慮記憶。

k方越大則相關(guān)性越強(qiáng)，則說明兩者之間的獨(dú)立性越差

同樣的，k方越小則相關(guān)性越弱，這說明兩者之間的獨(dú)立性越大

k方很小不可以說明這兩者完全沒有相關(guān)性，因?yàn)橐话憬o出的是樣本，無法判斷，而且數(shù)據(jù)一般也不可能為零。

但如果k方很大，那么就可以說這兩者有相關(guān)性，甚至是極強(qiáng)的相關(guān)性

K方算出來的值叫做觀測值

臨界值表→代值比對

例題輔助理解