然后，我們再談?wù)剰囊粋€線性空間U到一個線性空間V的線性映射，
我們還是從具體的例子講起，就講剛才的求導(dǎo)這個映射
T: P_1????????? ->? P_1
?? a_0 + a_1*x |->? a_1
這個映射是一個線性映射，我們知道 {1, x} 是P_1 的一個基，
我們用 e_1 表示 1, 用 e_2 表示 x, 其中 e_1 和 e_2 都是 P_1的向量，
這樣，我們就不太容音把 e_1 =1 的1 和 數(shù)域 中的數(shù)1 混淆起來（但是有時候
實在無法區(qū)分，大家還需要聯(lián)系上下文來判斷).
因此對于任意u \in P_1, 都存在唯一的線性表示，即存在唯一的實數(shù)域 R中的數(shù) a_0, a_1
使得 u = a_0 * e_1 + a_1 * e_2,
我們知道求導(dǎo)映射是線性映射，因此
T(u) = T( a_0 * e_1 + a_1 * e_2 ) = T(a_0 * e_1) + T(a_1 * e_2)
=? a_0 T(e_1) + a_1 T(e_2)
這里還可以總結(jié)出線性映射的加性（addivitiy)和齊次性(homomgeity with degree 1)
實際上可以導(dǎo)出 線性映射和線性組合是可以交換的，
T( a_0*e_1 + a_1 * e_2) = a_0 T(e_1) + a_1 T(e_2)
或者我們用矩陣乘以向量的記號來寫上面的式子
T (? [ e_1? e_2 ] [ a_0 ] ?
?????????????????????????? [ a_1 ]? )?? =? [ T(e_1)? T(e_2) ] [ a_0 ]
???????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ a_1 ]
其中 [ T(e1)? T(e2) ] 是把兩個映射T作用在e_1 得到的T(e1) 和 映射T作用在e_2 上得到的
T(e_2) 放在一起組成一個 1x2 的矩陣， 但是注意，這個矩陣不是由數(shù)組成的矩陣， 而是
由P_1中的向量組成的矩陣，前面的 [e1 e2] 也是 1x2的矩陣，矩陣的(1,1)元是 e_1 ，也
不是一個數(shù)，而是 P_1的一個向量，(1,2)元也是向量。
[ e_1? e_2 ] [ a_0 ]
??????????? ? ? ? ? [ a_1 ]
這個矩陣乘以向量該如何定義的，實際上就定義為 e_1 和 e_2 的一個線性組合
? a_0 * e_1 + a_1 * e_2
這和普通的數(shù)組成的矩陣和數(shù)組成的向量的乘法在形式是一樣的, 但是有一點(diǎn)可能讓
大家感到困惑，因為似乎 乘積 的結(jié)果應(yīng)該是e_1 * a_0 + e_2 * a_1, 但是向量
乘以一個數(shù)我們又沒有定義，因此一定要理解乘 a_0*e_1 + a_1 * e_2, 這一點(diǎn)小小的
別扭， 大家就當(dāng)成 向量組成的矩陣與數(shù)組成的向量的乘積的定義吧。

還有一個記號上的規(guī)定，就是一個映射作用作用在向量組成的矩陣上如何定義，如
T ( [ e_1? e_2 ] ) 如何定義， 因為我們僅僅定義了 T作用在一個向量上，
這里是這樣定義的
T( [ e_1? e_2 ] )? =? [ T(e_1)? T(e_2)] ?

我們有了上面的規(guī)定就可以把
T( [e_1 e_2 ] [a_0]
?? ??? ??? ??? ??? ?? [ a_1 ]? )?? =? [ T(e_1)? T(e_2) ] [ a_0 ]
???????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [ a_1 ]
重新寫成
T( [e_1 e_2 ] [a_0]
?? ??? ??? ??? ??? ??? [ a_1 ]? )?? =? ( T [ e_1? e_2 ] ) [ a_0 ]
???????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [ a_1 ]
寫成這個樣子，我們就可以說 T 是一個線性映射， 向量組成的一行的矩陣和數(shù)組成一列矩陣
相乘實際上是 向量的線性組合， 左邊的式子意味著 向量{e_1, e_2}先做了線性組合，然后
再做了線性映射T, 右邊的式子因為 {e_1, e_2} 先做了 線性映射，然后再做了線性組合。
左邊 = 右邊 ， 意味著 線性映射 和 線性組合是可交換的。

我們繼續(xù)看上面式子的右邊，T [e_1 e_2 ] = [ T (e_1) T(e_2) ]
T(e_1) 就是對 e_1 = 1 求導(dǎo)，顯然 T(e_1) = 0, 然后用基 {e_1, e_2} = {1, x}
來線性表示，T(e_1) = 0 =? 0 * 1 + 0 * x = 0 * e_1 + 0 * e_2
然后我們再寫成 矩陣乘積的樣子
T(e_1) = 0 * e_1 + 0* e_2 = [ e_1 e_2 ] [ 0 ]
?????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ 0 ]
同理，我們可以計算 e_2 = x 的導(dǎo)數(shù) T(e_2) = 1 , 用 {e_1, e_2} 線性表示
T(e_2) = [e_1? e_2] [ 1 ]
????????????????? ? ? ? ? ? ? ? [ 0 ]
我么還記得矩陣乘以矩陣的定義嗎? 與這個類比，我們可以這樣來寫
T [e_1 e_2 ] = [T(e_1) T(e_2) ] = [ e_1 e_2 ] [0?? 1 ]
???????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [0?? 0 ]
最右邊的式子我們以前是沒有遇到過的，因為 [e_1 e_2] 是一個由向量構(gòu)成的矩陣，
[e_1 e_2] [0? 1]
????? ? ? ?? ?? [0? 0]
得到的是一個1x2的矩陣， 其中(1,1)元是 [e_1 e_2] 乘以第一列 [0] ?
??????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? [0] , 得到的是
e_1 和 e_2 的線性組合 0*e_1 + 0*e_2
而上面[e_1 e_2] 乘以2x2矩陣的 (1,2) 元是[e_1, e_2] 與第二列相乘的結(jié)果，也是一個
線性組合，組合的系數(shù)由第二列的元素給出,
?? ?[e_1 e_2] [ 1 ]
?? ?????? ? ? ?? ?? [ 0 ]? = 1*e_1 + 0 *e_2? = e_1

綜上，我們就可以得到
T( [ e_1 e_2 ] [ a_0 ]
?? ??? ?????????? ? ?? [ a_1 ] ) = ( T [e_1 e_2 ] ) [ a_0 ]
?????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [ a_1 ]? = [ T(e_1) T(e_2) ] [ a_0]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?????????????????????? [ a_1]
?=? ( [e_1 e_2 ] [ 0? 1 ]
?? ??? ??????????? ? ? ? [ 0? 0 ] ) [ a_0 ]
????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ?? [ a_1 ]
其中我們已經(jīng)看到了一個矩陣(由數(shù)組成的矩陣) A = [ 0? 1 ]
???????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ 0? 0 ]
這個矩陣的第一列是 T(e_1) 用基(e_1,e_2) 線性表示的系數(shù)，
第二列是 T(e_2)用基 (e_1, e_2) 線性表示的的系數(shù)。

是不是任意一個線性空間都能找到一個有限個向量構(gòu)成的向量組，它可以作為
這個線性空間的基，也就是這個線性空間的任意一個向量都能用這個向量組
唯一的線性表示？不是的，如果能找到，我們稱這個向量空間是有限維的線性空間，
這個線性空間的維數(shù)就定義成它的一個基包含的向量的個數(shù)。

實際上，在線性代數(shù)的課里，會花好幾次課的時間來講，來講線性映射的矩陣，
因為在我們剛才講的求導(dǎo)的例子
T: P_1 -> P_1
我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它對應(yīng)著一個矩陣, 當(dāng)然這個矩陣和我們選擇的定義域的基
還有陪域的基 是有關(guān)系的，兩個基礎(chǔ)也不一定非要選擇成同一個基。
在選定了 定義域的基是 (e_1, e_2) 和 陪域的基礎(chǔ)是 (e_1,e_2) 后，
我們發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)映射作用在任意個向量 u= c_1 e_1 + c_2 e_2 (我把系數(shù)的下標(biāo)和基向量的下標(biāo)對應(yīng) 起來) 實際上是
T ( [e_1 e_2 ] [ c_1 ]
?? ??? ?????? ? ? ??? [ c_2 ]? )? =? ( [e_1 e_2 ] ) [ 0? 1 ]
????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????????????? [ 0? 0 ] ) [ c_1 ]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?????? [ c_2 ]
在定義域和陪域的基礎(chǔ)確定后，這個矩陣就是唯一確定的，第一列就是
T(e_1) 在陪域的基下的線性組合系數(shù), 第二列就是 T(e_2) 在陪域的基下的線性組合系數(shù)。
基的線性組合系數(shù)實際上還有一個特殊的名字，叫做坐標(biāo)， 用坐標(biāo)的術(shù)語來說，就是
T這個線性映射的矩陣的第j列 是 T 作用在定義域的第j個基向量上 得到的 T(e_j)
在陪域的基下的坐標(biāo)。

上面式子的
?? ??? ??? ??? ??? ??? ?( [ e_1 e_2] [ A(1,1) A(1,2) ] ?
?????????????????????????????????????????? [ A(2,1} A(2,2) ] ) [ c_1 ]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???????????????????????? [ c_2 ]
實際上還滿足
?? ??? ??? ??? ??? ??? ?( [ e_1 e_2] [ A(1,1) A(1,2) ] ?
????????????????????????????????????????? ? ? ? [ A(2,1} A(2,2) ] ) [ c_1 ]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???????????????????????? ?? [ c_2 ]
??????????? =??????????????????????????????? ?
?? ??? ??? ??? ??? ??? ? [ e_1 e_2] ( [ A(1,1) A(1,2) ] ?
???????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [ A(2,1} A(2,2) ]? [ c_1 ]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?????????????????? ? ? ????????? [ c_2 ] ) ?
我們實際上還是比較容易驗證的，
左邊? =??? [ A(1,1) e_1? + A(2,1) e_2? A(1,2)e_1 + A(2,2)e_2 ] [ c_1 ]
????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ c_2 ]
=?? c_1 *? ( A(1,1) e_1 + A(2,1) e_2 ) + c_2 * (A(1,2)e_1 + A(2,2) e_2 )
=?? ( c_1 * A(1,1) + c_2 A(1,2) ) e_1 + (c_1*A(2,1) + c_2 *A(2,2) ) e_2
=? [ e_1 e_2 ] [?? c_1 * A(1,1) + c_2 A(1,2)? ]
???????????? ? ? ? ?? [?? c_1 * A(2,1) + c_2 *A(2,2) ]

右邊 =?? [ e_1 e_2] ( [ A(1,1) A(1,2) ] ?
????????????????? ? ? ? ? ? ? ?? [ A(2,1} A(2,2) ]? [ c_1 ]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ????????????? [ c_2 ] ) ?
??? = [e_1 e_2 ] [ c_1 * A(1,1) + c_2 * A(1,2) ]
?????????????? ? ? ? ?? [ c_1 * A(2,1) + c_2 * A(2,2) ]
這也是某種形式的結(jié)合律。因此，我們可以這次把前面的式子給簡化一下
T [e_1 e_2] [c_1 ]
?????????????????? [c_2 ]? = [e_1 e_2 ] A [c_1]
?? ??? ??? ??? ??? ??? ???????????????????? ? ? ? ?? ? [c_2]
我們不用刻意用括號表示先計算哪兩個相乘（或者作用了）因為有了"結(jié)合律"
哪兩個先相乘（或者作用）得到的結(jié)果都是一樣的。
另外，我們還可以看到 P_1 是一個二維的線性空間，因為它的一個基(e_1,e_2)
有兩個向量組成。P_1中的任意一個多項式u在這個基下就有一個唯一的線性表示，
其中線性組合的系數(shù)就是u 的坐標(biāo)， 例如 u = c_1 e_1 + c_2 e_2 就可以與
[c_1 ]
[c_2 ]
對應(yīng)， 而 [c_1 ]
??????????????? [c_2 ]
是由兩個實數(shù)組成的有序數(shù)組構(gòu)成的向量，是 R^2 的一個向量. 實際上P_1 和
R^2 的向量就可以建立起一個一一對應(yīng)。
我們說求導(dǎo)映射 T 作用在 u 上, 得到的結(jié)果
T u? =? T[e_1 e_2] [c_1]
??????????????? ? ? ? ? ? ? [c_2 ] = [e_1 e_2 ] A [c_1 ]
??????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [c_2]
我們就可以看到從 R^2 到 R^2 的一個映射，這也是一個線性映射 S
??? S : R^2??? -> R^2
?? ??? ?? ?? [c_1]
?? ??? ??? ? [c_2]? |->? A [c_1]
?? ??? ??? ?????????????? ? ? ? ? [c_2]
因此可以看到矩陣乘以向量確實是一個線性映射對應(yīng)起來的。

如果一個線性映射是雙射（既是單射又是滿射），那么我們可以定義逆映射，逆映射
也會對應(yīng)一個矩陣的。 如果U和V都是n維線性空間，
而且T: U -> V
是一個線性映射，而是是一個雙射，那么存在一個可逆映射，記作T^{-1}
當(dāng)我們選定U的基礎(chǔ)是 (e_1, ...,e_n) , 選定 V的基是 (f_1, ..., f_n)
那么 T 對應(yīng)的矩陣 A, 和 T^{-1} 對應(yīng)的矩陣 B 是互為對方的逆矩陣，也就是
A*B = B*A = I
這里的I是單位矩陣，也就是對角線都是1的對角陣。對角矩陣是非對角線元素都是0的方陣。
方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。
A的矩陣逆記作 A^{-1}。

我在這里舉的例子都是2維的定義域和陪域，實際上對于任意維的有限維空間都是適用的。?