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證明圓的極線為直線（平面幾何方法）

2022-09-12 15:17 作者:奧博格沙特 0人讀過 | 我要投稿

過 $P$ 作直線與 $%5Codot%20O$ 交于兩點(diǎn).?這兩點(diǎn)處的切線交于 $T$ ，證明： $T$ 的軌跡為直線.

（稱該直線 $l_P$ 為 $P$ 關(guān)于 $%5Codot%20O$ 的極線）

圖1

思路1：如圖1. 直接證 $T_1%2C%20T_2%2C%20T_3$ 共線. 這種思路雖然直接，但較為難證. 所以我們換一種思路.

思路2：利用對(duì)稱性.

當(dāng) $P$ 在圓內(nèi)時(shí)，

如圖2. 弦 $AB%5Cbot%20OP$ 于點(diǎn) $P$ ， $A%2CB$ 處的切線交于 $T$ . 弦 $CD$ 為過點(diǎn) $P$ 的任一弦， $C%2CD$ 處的切線交于 $T'$ .

圖2

根據(jù)對(duì)稱性，應(yīng)有 $TT'%20%5Cbot%20OP$ .?

只需證 $%5Cforall%20T'%2C%20TT'%20%5Cbot%20OP$ .

$%5Ciff%20M%2C%20P%2C%20T%2C%20T'$ 共圓

由射影定理，

$OP%5Ccdot%20OT%3DOB%5E2%3DOC%5E2%3DOM%5Ccdot%20OT'$

$%5Cimplies%20M%2C%20P%2C%20T%2C%20T'$ 共圓.

$Q.E.D.$

當(dāng) $P$ 在圓外時(shí)，

如圖3. 弦 $AB$ 為過點(diǎn) $P$ 的一條定弦， $A%2C%20B$ 處的切線交于 $T$ . 弦 $CD$ 為過點(diǎn) $P$ 的任一弦， $C%2C%20D$ 處的切線交于 $T'$ . 不妨考慮 $T%2C%20T'$ 在 $OP$ 兩側(cè)的情況（同側(cè)的情況類似）

圖3

根據(jù)對(duì)稱性，應(yīng)有 $TT'%20%5Cbot%20OP$ .

只需證 $%5Cforall%20T'%2C%20TT'%20%5Cbot%20OP$ .

$%5Ciff%20%E2%88%A0OT'T%20%2B%20%E2%88%A0POT'%20%3D%2090%C2%B0$

由射影定理，

$OM%20%5Ccdot%20OT%20%3D%20OB%5E2%20%3D%20OD%5E2%20%3D%20OM'%20%5Ccdot%20OT'$

$%5Cimplies%20M%2C%20T%2C%20T'%2C%20M'$ 共圓

$%5Cimplies%20%E2%88%A0OT'T%20%3D%20%E2%88%A0OMM'$

$%E2%88%A0OMP%20%3D%20%E2%88%A0OM'P%20%3D%2090%C2%B0$

$%5Cimplies%20O%2C%20M%2C%20P%2C%20M'$ 共圓

$%5Cimplies%20%E2%88%A0POT'%20%3D%20%E2%88%A0POM'%20%3D%20%E2%88%A0PMM'$

$%E2%88%B4%E2%88%A0OT'T%2B%E2%88%A0POT'%3D%E2%88%A0OMM'%2B%E2%88%A0PMM'%3D90%C2%B0$

$Q.E.D.$

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