石頭剪刀布，如果得分不同怎么玩（上）

2020-01-26 23:53 作者:百分百美味手抓餅 0人讀過 | 我要投稿

感謝@喬木心心，在我的文章《1A2B猜數(shù)字游戲(bulls and cows)》下提到的這個創(chuàng)意！！

這位兄臺在構(gòu)想一個游戲，石頭剪刀布系統(tǒng)只是其中一部分，還有其他有意思的系統(tǒng)！這里只提取石頭剪刀布系統(tǒng)，并對其進行了簡化，只討論“如果石頭剪刀布得分不同怎么玩”。

由于我水平有限，以下只能算我嘗試解題的記錄、學習筆記，像“納什均衡”等概念都是第一次接觸，可能發(fā)生理解錯誤、計算錯誤、表述錯誤等，最后結(jié)論也不確定對，歡迎指正！

1. 根據(jù)@喬木心心的構(gòu)想，簡化再簡化后的問題：

5（布）勝0（石頭），得5分。

0（石頭）勝2（剪刀），得2分。

2（剪刀）勝5（步），得7分。

有沒有可以取得最優(yōu)解的策略？

2. 囚徒困境——純策略納什平衡

我發(fā)現(xiàn)知乎有人問了類似的問題“石頭剪刀布勝負不同權(quán)重會導致什么策略解？”。根據(jù)“Richard Xu”的解答，我知道了“純策略納什均衡”和“混合策略納什均衡”這兩名詞。[1]

然后百度百科“納什平衡”里面有個經(jīng)典案例是囚徒困境。[2]

以下是百度百科“納什平衡”詞條里復制過來的：

囚徒困境

（1950年，數(shù)學家塔克任斯坦福大學客座教授，在給一些心理學家作講演時，講到兩個囚犯的故事。）

假設有兩個小偷A和B聯(lián)合犯事、私入民宅被警察抓住。警方將兩人分別置于不同的兩個房間內(nèi)進行審訊，對每一個犯罪嫌疑人，警方給出的政策是：如果一個犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了贓物，于是證據(jù)確鑿，兩人都被判有罪。如果另一個犯罪嫌疑人也作了坦白，則兩人各被判刑8年；如果另一個犯罪嫌人沒有坦白而是抵賴，則以妨礙公務罪（因已有證據(jù)表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被減刑8年，立即釋放。如果兩人都抵賴，則警方因證據(jù)不足不能判兩人的偷竊罪，但可以私入民宅的罪名將兩人各判入獄1年。

我在B站搜了李永樂老師有沒有講過這個，還真有：

3.?純策略/混合策略/納什平衡/純策略納什平衡/混合策略納什平衡

根據(jù)百度百科“納什平衡”[2]和問答庫中一篇考研仿真模擬題里面的答案[3]，我自己總結(jié)了（理解和表述不一定對）：

純策略：確定每個情況要做的特定的選擇，并且始終堅持這一選擇? 的策略，比如堅持出石頭

混合策略：按確定的概率選擇不同的純策略? 的策略，比如堅持50%出石頭、50%出剪刀

純策略算混合策略的一種，有一個純策略占100%，比如100%出石頭。

納什平衡：無論對方的策略選擇如何，博弈中所有博弈者都會選擇某個確定的策略。每個博弈者都是為了達到自己期望收益的最大值，任何博弈者單獨改變其策略都不會得到好處。

純策略納什平衡：所有博弈者都用純策略。任何博弈者單獨改變其純策略都不會得到好處。

混合策略納什平衡：至少有一位博弈者用混合策略。任何博弈者單獨改變其選擇純策略的概率都不會得到好處。

囚徒困境有純策略納什均衡，即A選擇坦白、B選擇坦白，如果有人單獨改變策略，那他豈不是要從關(guān)八年變成關(guān)十年，沒有好處。

我們這里“石頭剪刀布得分不同”好像沒有純戰(zhàn)略納什平衡，只有混合策略納什平衡。

我搜的時候，一會策略一會戰(zhàn)略，一會平衡一會均衡，應該是一個東西，我盡量統(tǒng)一寫平衡和策略，可能會哪里疏忽了產(chǎn)生兩種表述。

4. 硬幣正反——混合策略納什平衡

百度百科“納什平衡”里面還有個案例是硬幣正反。[2]

以下是百度百科“納什平衡”詞條里復制過來的：

硬幣正反

你正在圖書館枯坐，一位陌生美女主動過來和你搭訕，并要求和你一起玩?zhèn)€數(shù)學游戲。美女提議：“讓我們各自亮出硬幣的一面，或正或反。如果我們都是正面，那么我給你3元，如果我們都是反面，我給你1元，剩下的情況你給我2元就可以了?！蹦敲丛摬辉摵瓦@位姑娘玩這個游戲呢？這基本是廢話，當然該。問題是，這個游戲公平嗎？

每一種游戲依具其規(guī)則的不同會存在兩種納什平衡，一種是純策略納什平衡，也就是說玩家都能夠采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都賺得最多或虧得最少；或者是混合策略納什平衡，而在這個游戲中，便應該采用混合策略納什平衡。

為什么要有“你正在圖書館枯坐，一位陌生美女主動過來和你搭訕”這個背景啊23333，這個百度百科詞條里好像沒看見出處，時間緊迫我也沒搜到出處。

在百度百科里，這個案例的解題過程還挺詳細的：