原視頻:BV1zM4y1A7S7

法二:拉格朗日乘數(shù)法
令L=x+3y+m【xy2(x+6y)-1】
?L/?x=1+m【y2(x+6y)+xy2】=0
?L/?y=3+m【2xy(x+6y)+6xy2】=0
即3【y2(x+6y)+xy2】=2xy(x+6y)+6xy2
y＞0，兩邊同除y得
3【y(x+6y)+xy】=2x(x+6y)+6xy
即x2+6xy-9y2=0
齊次式，兩邊同除y2，令x/y=t，得:
t2+6t-9=0
解得t=-3+3√2或-3-3√2(舍)
(當(dāng)t=-3-3√2時(shí),x與y異號(hào)，故舍去)
即x=(-3+3√2)y
代入約束條件xy2(x+6y)=1得:
9y?=1，解得y=√3/3(負(fù)根舍去)
則x=(-3+3√2)*(√3/3)=√6-√3
x+3y=√6
此時(shí)海森矩陣正定，為極小值
綜上，在x,y＞0范圍內(nèi)，原式最小值為√6
ps:此題的該解法之前做過解析，詳見專欄
https://b23.tv/1bZprd0

法三:(線)隱函數(shù)求導(dǎo)
d(xy2(x+6y))=0
即dx[y2(x+6y)]+x[2ydy(x+6y)+y2(dx+6dy)]=0
整理得dy/dx=(xy+3y2)/(-x2-9xy)
令一階微分方程等于目標(biāo)直線斜率得
(xy+3y2)/(-x2-9xy)=-1/3
與約束條件xy2(x+6y)=1聯(lián)立解得
x=√6-√3,y=√3/3
x+3y=√6
ps:此法適用于目標(biāo)函數(shù)為斜率確定，截距未定直線類條件極值題，可對(duì)約束條件求一階微分方程，令其等于目標(biāo)函數(shù)斜率(即直線與曲線相切時(shí)取極值)
聯(lián)立解方程之步驟同法二的解方程步驟

法四:代入+分參
令x+3y=k,則x=k-3y
代入得(k-3y)y2(k-3y+6y)=1
即(k-3y)y2(k+3y)=1
即(k2-9y2)y2=1
即k2y2-9y?=1
即9y?-k2y2+1=0
即函數(shù)f(y)=9y?-k2y2+1在(0,+∞)上有零點(diǎn)
又∵x→+∞,f(y)→+∞
∴存在y?∈(0,+∞),使得f(y)≤0
可先求取其補(bǔ)集(即正難則反)
即f(y)=9y?-k2y2+1＞0在(0,+∞)恒成立
即k2y2＜9y?+1
即k2＜9y2+1/y2
即k2＜(9y2+1/y2)min
由均值不等式，9y2+1/y2≥2√9=6
故k2＜6，即-√6＜k＜√6
取其補(bǔ)集，即k≤-√6或k≥√6
又由,x,y＞0，故k=x+3y＞0
取交集得k≥√6
故k最小值為√6
即原式最小值為√6

法五:代入消元
約束條件整理得
y2x2+6y3x-1=0
視x為主元，代入求根公式，即
x=[-6y3±2y√(9y?+1)]/(2y2)
=-3y±√(9y?+1)/y
當(dāng)x=-3y-√(9y?+1)/y時(shí)，x＜0，舍去
故只取x=-3y+√(9y?+1)/y
則x+3y=√(9y?+1)/y=√(9y2+1/y2)
≥√(2√9)=√6
當(dāng)9y2=1/y2,即y=√3/3時(shí)取等
即原式最小值為√6