常微分方程筆記（三）

2023-03-14 23:41 作者:啊啊啊每當(dāng)想起你 0人讀過(guò) | 我要投稿

前言：本節(jié)繼續(xù)介紹一階ODE的解法.本節(jié)介紹了恰當(dāng)微分方程及積分因子法，以及一階隱式微分方程常見形式的解法.

2.3恰當(dāng)微分方程及積分因子

2.3.1恰當(dāng)微分方程

????定義：形如：

???? $M(x%2Cy)dx%2BN(x%2Cy)dy%3D0$ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ?（2.25）

其中 $M(x%2Cy)%2CN(x%2Cy)$ 在考慮矩形域內(nèi)是x，y的連續(xù)函數(shù)，且具有一階偏導(dǎo)數(shù).

????如果方程（2.25）的左邊剛好是某個(gè)二元函數(shù) $u(x%2Cy)$ 的全微分，即：

???? $M(x%2Cy)dx%2BN(x%2Cy)dy%3Ddu(x%2Cy)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bu%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7Ddx%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bu%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7Ddy$ ?????????????????????????（2.26）

那么就稱其為恰當(dāng)微分方程（全微分方程）.易知其通解為：

???? $u(x%2Cy)%3Dc$ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（2.27）

????解法：（1）用恰當(dāng)方程的判定求解

????定理1：二元函數(shù) $M(x%2Cy)%2CN(x%2Cy)$ 在某單連通域內(nèi)是x,y的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則方程 $M(x%2Cy)dx%2BN(x%2Cy)dy%3D0$ ?為恰當(dāng)微分方程的充要條件是??

???? $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BM%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D$

????該解法即定理1的充分性證明【必要性可利用（2.26）式證明】：

????把（2.25）式兩邊對(duì)x積分得

???? $%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%2B%CF%86(y)%3Du(x%2Cy)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.28）

這里 $%CF%86(y)$ 式關(guān)于y的任意可導(dǎo)函數(shù)，與x無(wú)關(guān).兩邊對(duì)y求導(dǎo)得：

???? $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bu%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%0A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%2B%5Cfrac%7Bd%CF%86(y)%7D%7Bdy%7D%3DN(x%2Cy)$

因此

???? $%5Cfrac%7Bd%CF%86(y)%7D%7Bdy%7D%3DN(x%2Cy)-%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.29）

再將兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，顯然右端恒等于0.事實(shí)上有：

???? $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AN(x%2Cy)-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ （2.30）

又由于二元函數(shù) $M(x%2Cy)%2CN(x%2Cy)$ 在某單連通域內(nèi)是x,y的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，因此（2.30）中對(duì)x,y的求導(dǎo)順序可以交換.再利用 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BM%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D$ ，可得：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BM%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%3D0$

????于是（2.29）式右端為y的一元函數(shù)，兩邊積分可得：

???? $%CF%86(y)%3D%5Cint%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AN(x%2Cy)-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0Ady$ ?????????????????????????????????????????? ? ?（2.31）

將（2.31）代入至（2.28）式可得公式：

???? $u(x%2Cy)%3D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%2B%5Cint%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0AN(x%2Cy)-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%5Cint%7BM(x%2Cy)dx%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0Ady$ ?????? ?? （2.32）

（2）利用曲線積分求 $u(x%2Cy)$

????命題1：設(shè)二元函數(shù) $M(x%2Cy)%2CN(x%2Cy)$ 在某單連通區(qū)域D內(nèi)是x,y的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)D內(nèi)任一按段光滑曲線L，曲線積分在區(qū)域D內(nèi)的積分 $%5Cint_L%7BM(x%2Cy)dx%2BN(x%2Cy)dy%7D$ 與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BM%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BN%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D$ .

????利用命題1從定點(diǎn) $A(x_0%2Cy_0)$ 到動(dòng)點(diǎn) $B(x%2Cy)$ 選擇簡(jiǎn)單路徑進(jìn)行積分：

???? $u(x%2Cy)%3D%5Cint%5E%7Bx%7D_%7Bx_0%7D%7BM(x%2Cy_0)dx%7D%2B%5Cint%5E%7By%7D_%7By_0%7D%7BN(x%2Cy)dy%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.33）

???? $u(x%2Cy)%3D%5Cint%5E%7By%7D_%7By_0%7D%7BN(x_0%2Cy)dy%7D%2B%5Cint%5E%7Bx%7D_%7Bx_0%7D%7BM(x%2Cy)dx%7D$ ?????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（2.34）

（3）分項(xiàng)組合方法（湊“全微分”）

????需要熟記簡(jiǎn)單的二元函數(shù)全微分：如：

???? $ydx%2Bxdy%3Dd(xy)$ ????? $%5Cfrac%7Bydx-xdy%7D%7By%5E2%7D%3Dd(%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D)$ ? ? ? $%5Cfrac%7Bxdy-ydx%7D%7Bx%5E2%7D%3Dd(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)$

??? $%5Cfrac%7Bydx-xdy%7D%7Bxy%7D%3Dd%0A%5Cleft(%5C%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aln%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright)%5C$ $%5Cfrac%7Bydx-xdy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3Dd(arccot%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%0A%3Dd(arctan%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)$

??? $%5Cfrac%7Bydx-xdy%7D%7Bx%5E2-y%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dd(ln%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A%5Cfrac%7Bx-y%7D%7Bx%2By%7D%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%0A)$

2.3.2積分因子

????定義：如果不是一個(gè)恰當(dāng)微分方程，那么可以通過(guò)將 $M(x%2Cy)%2CN(x%2Cy)$ 都乘以一個(gè)連續(xù)可微函數(shù) $%CE%BC(x%2Cy)%5Cneq0$ ，使得

???? $%CE%BC(x%2Cy)M(x%2Cy)dx%2B%CE%BC(x%2Cy)N(x%2Cy)dy%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （2.35）

為一恰當(dāng)微分方程，即存在光滑的函數(shù) $u(x%2Cy)$ ，使得

???? $%CE%BC(x%2Cy)M(x%2Cy)dx%2B%CE%BC(x%2Cy)N(x%2Cy)dy%3Ddu(x%2Cy)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?（2.36）

則稱 $%CE%BC(x%2Cy)$ 為方程（2.25）的積分因子.

????此時(shí)有： $%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B(%CE%BCP)%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%3D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B(%CE%BCQ)%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%0A%5Cbigg(%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7B%CE%A6%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%5Cpartial%7By%7D%7D%20%5Cbigg)$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（2.37）

????由（2.37）式得：尋求可微函數(shù) $%CE%BC(x%2Cy)$ 等價(jià)于求解一階偏微分方程

???? $P(x%2Cy)%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B%5Cmu%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D-%0AQ(x%2Cy)%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B%5Cmu%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%3D%0A%5Cbigg(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BQ%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BP%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%20%5Cbigg)%5Cmu(x%2Cy)$ ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.38）

????另外，同一個(gè)方程可以有不同的積分因子.可以證明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不唯一，從而使通解有不同的形式.

????這里一種特殊形式的積分因子：

????（1）偏微分方程（2.38）有一個(gè)只依賴x的解 $%CE%BC(x)$ 的充要條件是，由下式定義的函數(shù)G只依賴于x： $G%3D%20-%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BQ%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BP%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%20%7D%7BQ(x%2Cy)%7D$ ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.39）

此時(shí)有： $%CE%BC(x)%3De%5E%7B%5Cint%5E%7Bx%7D_%7Bx0%7DG(t)dt%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.40）

????（2）偏微分方程（2.38）有一個(gè)只依賴y的解 $%CE%BC(y)$ 的充要條件是，由下式定義的函數(shù)H只依賴于x： $H%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BQ%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D-%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BP%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%20%7D%7BP(x%2Cy)%7D$ ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.41）

此時(shí)有： $%CE%BC(y)%3De%5E%7B%5Cint%5E%7By%7D_%7By0%7DH(s)ds%7D$ ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.42）

????（3）方程（2.25）有形如 $%CE%BC%3D%CE%BC(%5Cphi%20(x%2Cy))$ 的積分因子的充分必要條件是：

???? $%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BP%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D-%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7BQ%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%20%7D%0A%7BP%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B%5Cphi%20%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7By%7D%7D-%0AQ%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B%5Cphi%20%7D%7D%20%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%7D%0A%3Df(%5Cphi%20(x%2Cy))$ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.43）

其中f為某個(gè)一元函數(shù).

（P.S?求解恰當(dāng)微分方程時(shí)，如果使用公式只需要把原函數(shù)積分出來(lái)即可，比如 $M(x%2Cy)$ 對(duì)x積分時(shí)，不需要帶上僅含y的函數(shù) $%CF%86(y)$ ）

2.4一階隱式微分方程與參數(shù)表示

????一階隱式微分方程形式為 $F(x%2Cy%2Cy')%3D0$

????本節(jié)主要討論下面四種類型：

???? $y%3Df(x%2Cy')$ ， $x%3Df(y%2Cy')$ ， $F(x%2Cy')%3D0$ ， $F(y%2Cy')%3D0$

2.4.1可以解出y（或x）的方程

（1）首先討論形如

???? $y%3Df(x%2Cy')$ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（2.37）

的方程，這里假設(shè) $f(x%2Cy')$ 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

????引入?yún)?shù)p，令 $y'%3Dp$ .則方程（2.37）變?yōu)?/p>

????? $y%3Df(x%2Cp)$ ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （2.38）

????將兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并將 $y'%3Dp$ 代入，得

???? $p%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bx%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bp%7D%7D%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.39）

????(2.39)式即可按照2.1-2.3節(jié)解之.

????若（2.39）式的通解為 $p%3D%CF%86(x%2Cc)$ ，代入（2.38）式得 $y%3Df(x%2C%CF%86(x%2Cc))$ 即為（2.37）式的通解.

????若（2.39）式的通解為 $x%3D%CF%88(p%2Cc)$ ，則（2.37）式的通解為參數(shù)方程形式：

???? $%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%CF%88(p%2Cc)%20%5C%5C%0Ay%3Df(%CF%88(p%2Cc)%2Cp)%0A%5Cend%7Bcases%7D$ （其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù)）.

????若（2.39）式的通解為 $%CE%A6(x%2Cp%2Cc)%3D0$ ，則（2.37）式的通解為參數(shù)方程形式：

???? $%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%CE%A6(x%2Cp%2Cc)%3D0%20%5C%5C%0Ay%3Df(x%2Cp)%0A%5Cend%7Bcases%7D$ （其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù)）.

（2）討論形如

???? $x%3Df(y%2Cy')$ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（2.40）

的方程，這里假設(shè) $f(y%2Cy')$ 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

????引入?yún)?shù)p，令 $y'%3Dp$ ，將（2.40）式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，并將 $y'%3Dp$ 代入，得

???? $%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%3D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7B%5Cpartial%7By%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7B%5Cpartial%7Bp%7D%7D%5Cfrac%7Bdp%7D%7Bdy%7D$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.41）

????(2.41)式是關(guān)于y,p的一階微分方程，可按照2.1-2.3節(jié)解之.

????若（2.40）式的通解為 $%CE%A6(y%2Cp%2Cc)%3D0$ ，則（2.37）式的通解為參數(shù)方程形式：

???? $%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%CE%A6(y%2Cp%2Cc)%3D0%20%5C%5C%0Ax%3Df(y%2Cp)%0A%5Cend%7Bcases%7D$ （其中p為參數(shù)，c為任意常數(shù)）.

2.4.2不顯含y（或x）的方程

（3）討論形如

???? $F(x%2Cy')%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.42）

的方程.令 $y'%3Dp$ ，方程化為 $F(x%2Cp)%3D0$ ，代表Oxp平面上的一條曲線.如果把曲線表示成參數(shù)方程形式：

???? $%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%CF%86(t)%20%5C%5C%0Ap%3D%CF%88(t)%0A%5Cend%7Bcases%7D$ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（2.43）

t為參數(shù).代入 $y'%3Dp$ ，得 $dy%3D%CF%88(t)%CF%86'(t)dt$ .兩邊積分，得 $y%3D%5Cint%7B%CF%88(t)%CF%86'(t)dt%7D%2Bc$ .代入（2.42）即可得原方程參數(shù)形式的通解 $%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%CF%86(t)%20%5C%5C%0Ay%3D%5Cint%7B%CF%88(t)%CF%86'(t)dt%7D%2Bc%0A%5Cend%7Bcases%7D$ ，c為任意常數(shù)

（4）討論形如

???? $F(y%2Cy')%3D0$ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2.42）

的方程.其解法與（2.42）的解法相似.

????令 $y'%3Dp$ ，方程化為 $F(y%2Cp)%3D0$ ，代表Oyp平面上的一條曲線.如果把曲線表示成參數(shù)方程形式：

???? $%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ay%3D%CF%86(t)%20%5C%5C%0Ap%3D%CF%88(t)%0A%5Cend%7Bcases%7D$ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（2.43）

t為參數(shù).代入 $dy%3Dpdx$ ，得 $dx%3D%5Cfrac%7B%CF%86'(t)%7D%7B%CF%88(t)%7Ddt$ .兩邊積分，得 $x%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7B%CF%86'(t)%7D%7B%CF%88(t)%7Ddt%7D%2Bc$ .代入（2.42）即可得原方程參數(shù)形式的通解 $%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7B%CF%86'(t)%7D%7B%CF%88(t)%7Ddt%7D%2Bc%20%5C%5C%0Ay%3D%CF%86(t)%0A%5Cend%7Bcases%7D$ ，c為任意常數(shù).