手機站首頁散文詩歌雜文隨筆日記小小說

散文網(wǎng) » 科技 »學習 » A-2-4平衡的穩(wěn)定性

A-2-4平衡的穩(wěn)定性

2023-08-30 22:09 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

2.4.1 平衡的種類

上一節(jié)中我們研究了物體的平衡條件。而不同的平衡位置，穩(wěn)定性是不一樣的。

假設物體在平衡位置受到一個擾動，產(chǎn)生一個小的位移（角位移），到達一個新的位置。如果物體能夠自己回到原來的平衡位置，那我們稱剛剛的平衡為穩(wěn)定平衡。比如山谷底部一個小球，往上滾動一段距離，此時合力會使它回到谷底。

同理，如果物體偏離小位移后，合力使它更加遠離平衡位置，則為不穩(wěn)定平衡。比如山頂?shù)囊粋€小球，往下滾動一段距離，此時合力使它遠離山頂。

特殊的，如果物體在新的位置依然可以保持平衡，則稱為隨遇平衡。隨遇平衡比較少見，比如水平地面上的小球。

下面我們研究如何判斷平衡的穩(wěn)定性。

2.4.2 平衡種類的判斷

力（力矩）方法

由定義，在判斷物體平衡穩(wěn)定性時，只需要假設物體沿某個方向有一個小位移（角位移），如果移動后的合外力（力矩）與位移（角位移）方向相反，就是穩(wěn)定平衡。

例1.如圖，一根質量為m的均勻桿，長為l，下端可繞固定水平軸轉動。有兩根水平彈簧，勁度系數(shù)相同，拴在桿的上端，使其桿處于豎直位置。那么彈簧的勁度系數(shù)為何值時，才能使桿處于穩(wěn)定平衡？

解：

如圖，假設桿逆時針轉過小角度 $%5Ctheta$ ，此時兩彈簧與水平夾角近似為0，忽略二階小量，彈力可視為水平。桿上端移動小位移

$x%3Dl%5Ctheta$
由于兩彈簧原來水平合力為0，轉動后兩彈簧的合力只需要考慮合力變化量即可：

$%5CDelta%20F%3D2kl%5Ctheta$
此時順時針的合力矩為

$%5CDelta%20F%5Ccdot%20l%5Ccos%5Ctheta-mg%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%5Ctheta%3D(4kl-mg)%5Cdfrac%7Bl%5Ctheta%7D%7B2%7D$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20k%3E%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B4l%7D%2C%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20k%3C%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B4l%7D%2C%E4%B8%8D%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$
當4kl=mg時，一階小量為0，要判斷平衡，需要考慮更高階的小量，一般情況下不做考察。

有同學想探究的話，用能量的方法更為簡單，假設彈簧原長為d_0，初始長度為d.將能量按 $%5Ctheta$ 泰勒展開，可以算出此時能量的二階小量和三階小量也都為0，四階小量為

$-%5Cdfrac%7B5kl_0l%5E4%7D%7B4d%5E3%7D%5Ctheta%5E4%3C0$
此時為不穩(wěn)定平衡。

當物體所受的主動力只有重力時，情況更為簡單。

例2.如圖所示，一塊厚d的均勻木板位于半徑為R的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方。板與圓柱足夠粗糙，板可以處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，試求d與R滿足的關系。

解：

如圖，假設木板順時針旋轉 $%5Ctheta$ 角度，則此時合力矩只有重力，要使平衡穩(wěn)定，只需要質心P在支點A的左側，即

$%5Coverline%7BBA%7D%5Ccos%5Ctheta%3E%5Coverline%7BPB%7D%5Csin%5Ctheta$
由于純滾動，

$%5Coverline%7BBA%7D%3D%5Coverset%7B%5CLARGE%7B%5Cfrown%7D%7D%7BB'A%7D%3DR%5Ctheta$
代入上式，近似到一階小量得

$R%5Ctheta%3E%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D%5Ctheta$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20d%3C2R%2C%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20d%3E2R%2C%E4%B8%8D%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$
當d=2R時，二階小量為0，近似到三階小量，有

$%5Coverline%7BBA%7D%5Ccos%5Ctheta-%5Coverline%7BPB%7D%5Csin%5Ctheta%3DR%5Ctheta(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%5E2)-R(%5Ctheta-%5Cdfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Ctheta%5E3)%0A%0A%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ctheta%5E2%3C0$
為不穩(wěn)定平衡。

能量方法

在本文開始介紹平衡種類時，不難得出，山頂山谷都是勢能的極值點，山谷是勢能的極小值點，山頂是勢能的極大值點。由此可得勢能對位移的導數(shù)與平衡的關系：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20E_p'%3D0%2C%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20E_p''%3E0%2C%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20E_p''%3C0%2C%E4%B8%8D%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20E_p%3D%E5%B8%B8%E6%95%B0%2C%E9%9A%8F%E9%81%87%E5%B9%B3%E8%A1%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$

如果勢能對位移的二階導數(shù)也為零，那我們需要研究更高階的導數(shù)，直到非零為止。

特殊的，如果所研究問題中只有重力勢能。我們可以仿照第一種方法，假設一個小位移，觀察重心是否升高即可。

在上一題中，要比較前后重心P'和P點的高度，可以通過比較他們相對O的高度。

P'相對O的高度

$h_%7BP'%7D%3DR%2B%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D$
近似到二階小量，P相對O的高度

$h_P%3D%5Coverline%7BPB%7D%5Ccos%5Ctheta%2B%5Coverline%7BBA%7D%5Csin%5Ctheta%2B%5Coverline%7BAO%7D%5Ccos%5Ctheta%0A%0A%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%5E2)%2BR%5Ctheta%5E2%2BR(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%5E2)$
故

$h_P-h_%7BP'%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ctheta%5E2%7D%7B2%7D(R-%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D)$
后續(xù)討論與上問相同。

2.4.3 練習

練1.如圖所示，均質桿AB的長度為a，一端靠在光滑的鉛直墻上，另一端靠在光滑固定的側面上，側面為柱面，柱軸垂直O(jiān)xy面。如果要使桿子在Oxy面內(nèi)的任意位置均是平衡位置，則側面應是什么形狀的柱面？

答案：x^2+(2y-a)^2=a^2，橢圓

練2.如圖所示，兒童玩具不倒翁髙h=21cm，質量m=300g，相對軸KD對稱分布．不倒翁的下部是半徑R=6cm的半球面，如果不倒翁放在與水平面成角度\alpha=30°的粗糙面上，當它的軸KD與豎直方向傾角\beta=45°，則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。為了使它在水平面上失去穩(wěn)定平衡，試問最少需在頭頂K處加塑泥的質量是多少（單位:g）？

答案：84g

標簽：高中物理競賽物理競賽