《幾何原本》是人類文明的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，而《獨(dú)立宣言》是人類文明的一個(gè)里程碑，這兩者背后有著相同的思維方式。本文就來(lái)解釋下這種思維方式是什么，以及這種思維方式是怎么從《幾何原本》到《獨(dú)立宣言》。

1 《幾何原本》

大名鼎鼎的歐幾里得寫了《幾何原本》，這句話反過(guò)來(lái)說(shuō)可能更合適，因?yàn)閷懥恕稁缀卧尽泛?，歐幾里得才得享大名：

其中的內(nèi)容現(xiàn)在看來(lái)平平無(wú)奇，大概就是從小學(xué)到高中學(xué)習(xí)的各種幾何知識(shí)，比如勾股定理

在當(dāng)時(shí)這些知識(shí)還是很重要的，《幾何原本》出版后的一兩千年中，人們都是通過(guò)這些幾何知識(shí)，來(lái)描述、研究這個(gè)世界：

1.1 思維方式

《幾何原本》問(wèn)世大概八百年后，公元5世紀(jì)的普羅克勒斯給《幾何原本》做注解時(shí)提到，勾股定理的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該歸功于畢達(dá)哥拉斯。實(shí)際上，與勾股定理類似，《幾何原本》幾百個(gè)定理中很多都不是歐幾里得的原創(chuàng)。但這并不妨礙《幾何原本》被稱為傳世之作，比這些內(nèi)容更重要的是，《幾何原本》帶來(lái)了革命性的思維方式。

首先書中提出了五大公理，這些公理（歐幾里得以及當(dāng)時(shí)的大部分人認(rèn)為）都是一些很簡(jiǎn)單的事實(shí)，都是不證自明、毋庸置疑、顯而易見：

????????（1）從一點(diǎn)向另一點(diǎn)可以引一條直線

????????（2）任意線段能無(wú)限延伸成一條直線

????????（3）給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓

????????（4）所有直角都相等

????????（5）若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交

然后通過(guò)邏輯推理，或者說(shuō)通過(guò)演繹法，得到《幾何原本》中的幾百個(gè)定理。也就是說(shuō)，這幾百個(gè)定理的邏輯起點(diǎn)是五大公理，只要你認(rèn)可五大公理，那么后面的定理必然都是永恒正確的，無(wú)可辯駁的。

1.2 影響

由于《幾何原本》的革命性，使得它成為了數(shù)學(xué)史上最成功、最不朽的教科書，據(jù)說(shuō)《幾何原本》在西方的出版量?jī)H次于圣經(jīng)。更重要的是，它極大影響了后面數(shù)學(xué)的發(fā)展，比如微積分和概率論都建立在三大公理之上（線性代數(shù)建立在八大公理之上，太多了，這里就不列出了）：

它的影響力甚至超越了數(shù)學(xué)，比如牛頓力學(xué)受《幾何原本》的影響提出三大假設(shè)，而狹義相對(duì)論提出兩大假設(shè)，只要承認(rèn)下面的假設(shè)是正確的，那么就等價(jià)于承認(rèn)牛頓力學(xué)，或者狹義相對(duì)論是完全正確的：

所以說(shuō)，《幾何原本》稱得上人類文明的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

2 《利維坦》

“如果你有一把錘子，所有東西看上去都像是釘子”：

《幾何原本》中的思維方式就是那把“錘子”。任何一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)《幾何原本》的人，很難不擊節(jié)贊賞這種思維方式，然后想把這把“錘子”用在別的地方。比如牛頓和愛因斯坦都深受這種思維方式的影響，并且恰當(dāng)?shù)赜迷诹俗约宏P(guān)注的領(lǐng)域。

2.1 托馬斯·霍布斯

不過(guò)本文要提到使用這把“錘子”的是另外一位名人，有史以來(lái)最偉大的政治哲學(xué)家之一，16世紀(jì)的托馬斯·霍布斯：

霍布斯1588年4月5日生于英格蘭威爾特郡的馬姆斯伯里。他是一個(gè)早產(chǎn)兒，當(dāng)時(shí)他的母親因聽聞西班牙無(wú)敵艦隊(duì)將入侵英格蘭的驚嚇而早產(chǎn)，日后霍布斯常說(shuō)：我母親生了雙胞胎，我的孿生兄弟是恐懼。而他的一生也確實(shí)是在社會(huì)局勢(shì)動(dòng)蕩不安恐懼氛圍中渡過(guò)的。他父親因與不是自己小教區(qū)的牧師打斗，被迫逃到倫敦，并將三名子女都寄托給他哥哥法蘭西斯照顧。

1642年英國(guó)內(nèi)戰(zhàn)爆發(fā)，國(guó)王查理一世被送上了斷頭臺(tái)，最終英國(guó)陷入了無(wú)政府狀態(tài)?；舨妓箍吹奖┩皆谄廴杷麄兊耐?，莊園化為灰燼，馬斯頓荒原和納斯比淪為血腥的戰(zhàn)場(chǎng)?；舨妓垢械酵纯嗪徒^望，他在反思，這場(chǎng)內(nèi)戰(zhàn)明明是以“自由”的名義開始的（反抗國(guó)王的專制），為什么最后只帶來(lái)了無(wú)休止的混亂和戰(zhàn)爭(zhēng)？而且，在歷史長(zhǎng)河中這樣的事情反復(fù)發(fā)生，不論什么原因?qū)е碌膽?zhàn)爭(zhēng)，最終都不能帶來(lái)真正的和平。

2.2 幾何學(xué)家霍布斯

介紹霍布斯的反思結(jié)果之前，我們有必要知道他的另外一個(gè)身份：幾何學(xué)家。霍布斯與幾何結(jié)緣是一個(gè)傳奇的故事，從未學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的他，40歲的時(shí)候，偶然在一個(gè)圖書館的書桌上，看到一本攤開的《幾何原本》，書上的內(nèi)容正是第47項(xiàng)定理，也就是勾股定理：

對(duì)于勾股定理的結(jié)論，霍布斯當(dāng)時(shí)驚訝地說(shuō)道：“上帝啊，這是不可能的”。于是他仔細(xì)觀看了證明過(guò)程，這使得他又去參考了書中之前的一個(gè)類似的定理，然后又參考了更之前的一個(gè)定理，就像俄羅斯套娃一樣，一直追溯到了五大公理。就這樣，他被嚴(yán)格的證明過(guò)程徹底征服，最終相信了這個(gè)定理。

這次經(jīng)歷讓霍布斯迷戀上了幾何學(xué)，也見識(shí)到了《幾何原本》中的“錘子”，或者說(shuō)《幾何原本》中的思考方式?；舨妓垢袊@道，幾何學(xué)是“迄今為止上帝賜予人類的唯一科學(xué)”，因?yàn)槠渲忻恳粋€(gè)證明都建立在另一個(gè)更簡(jiǎn)單的結(jié)果之上，所以人們可以逐步進(jìn)行邏輯推理，從不證自明的公理出發(fā)，一直可以得到更復(fù)雜的結(jié)果。這在霍布斯看來(lái)是非常了不起的成就，終于有一門學(xué)科可以真正證明其結(jié)果，同時(shí)人們又不會(huì)對(duì)該結(jié)果產(chǎn)生任何疑問(wèn)，進(jìn)行任何爭(zhēng)論。

在隨后的幾年里，霍布斯努力彌補(bǔ)了由于起步較晚而落下的幾何學(xué)知識(shí)，到了17世紀(jì)40年代，他已經(jīng)與同時(shí)代的領(lǐng)先數(shù)學(xué)家保持著經(jīng)常性地聯(lián)系，包括笛卡爾、羅伯瓦爾和費(fèi)馬。后來(lái)霍布斯擔(dān)任了流亡的威爾士親王的數(shù)學(xué)家庭教師，這說(shuō)明他已經(jīng)成為了當(dāng)時(shí)最受人尊敬的英國(guó)幾何學(xué)家之一。

2.3 《利維坦》

因?yàn)閹缀螌W(xué)家的緣故，霍布斯對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)反思的結(jié)果是，過(guò)去的所謂政治家、哲學(xué)家之所以失敗，是因?yàn)樗麄円揽康氖怯腥毕莸?、不確定的推理方法，他們“按照自己的幻想來(lái)解決所有問(wèn)題”。結(jié)果他們沒有帶來(lái)和平和一致意見，而是導(dǎo)致了沖突和戰(zhàn)爭(zhēng)。相反，幾何學(xué)會(huì)迫使人們達(dá)成共識(shí)，“因?yàn)樵趲缀螌W(xué)中，當(dāng)其他人發(fā)現(xiàn)了他的錯(cuò)誤之后，沒有人會(huì)愚蠢到既然發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤卻還堅(jiān)持這個(gè)錯(cuò)誤的地步”。所以，霍布斯認(rèn)為，如果國(guó)家制度可以遵循幾何學(xué)的指引，就可以產(chǎn)生和平，避免內(nèi)戰(zhàn)。

在這樣的思想指導(dǎo)之下，霍布斯寫了《論物體》、《論人》、《論政體》，最終成就了巔峰之作《利維坦》（下圖是《利維坦》書的封面）：

在這一系列作品中，霍布斯認(rèn)為自己完全遵循了幾何模型。他的哲學(xué)體系開始于《論物體》的簡(jiǎn)單定義，就像《幾何原本》開始于五大公理。并且正如《幾何原本》的證明過(guò)程一樣，霍布斯的政治哲學(xué)從簡(jiǎn)單的幾何對(duì)象開始，逐步擴(kuò)展到空間、物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)、物理、天文等方面的一系列問(wèn)題。最終，在這條長(zhǎng)長(zhǎng)的推理鏈末端達(dá)到了整個(gè)理論體系的終極主題：國(guó)家理論。

在霍布斯純粹的理性推導(dǎo)出來(lái)的國(guó)家理論中，要想達(dá)成和平，唯一解決方案就是利維坦。在霍布斯的語(yǔ)境中，利維坦就是塵世間的上帝，人們放棄自己的自由意志，從屬于利維坦的意志；利維坦也會(huì)代表所有人的和平意愿。利維坦是絕對(duì)不會(huì)犯錯(cuò)的，無(wú)論它做什么，國(guó)家中的每個(gè)人都承認(rèn)并認(rèn)同它的行為，這樣在利維坦的統(tǒng)治下，絕對(duì)不可能再發(fā)生內(nèi)戰(zhàn)。

上面《利維坦》書的封面畫的巨人國(guó)王，代表的就是利維坦。他頭戴皇冠，左手拿著主教的權(quán)杖，右手拿著一把寶劍，身體由國(guó)家內(nèi)無(wú)數(shù)的個(gè)人組成。他統(tǒng)治著這片土地，保障著和平與秩序。

2.4 爭(zhēng)論

《利維坦》提出了前所未有的大膽構(gòu)想，使得它在西方思想史上擁有崇高的地位。但如果要付諸實(shí)現(xiàn)，確實(shí)會(huì)引起極大的爭(zhēng)論（希特勒的納粹德國(guó)可能想實(shí)踐利維坦）。

隨便看一個(gè)爭(zhēng)論吧，有人駁斥道，利維坦橫征暴斂，難道也是對(duì)的嗎？霍布斯的辯解是，你看看那些經(jīng)歷外患或內(nèi)部騷亂的國(guó)家，他們的人民對(duì)執(zhí)政者往往就存在疑義。而那些能長(zhǎng)存在沒有滅亡的國(guó)家，他們的人民從來(lái)沒有對(duì)國(guó)家發(fā)生過(guò)質(zhì)疑。

總之，霍布斯這套國(guó)家理論相當(dāng)難以駁斥。他自己也說(shuō)，我這套理論就是基于幾何法則推導(dǎo)出來(lái)的，不可能錯(cuò)。

3 《獨(dú)立宣言》

霍布斯在政治領(lǐng)域運(yùn)用《幾何原本》這把“錘子”也影響了后來(lái)者，美國(guó)的《獨(dú)立宣言》為了激發(fā)人們對(duì)其內(nèi)容的信心，也采取了《幾何原本》的形式來(lái)書寫。首先提出一個(gè)公理，“我們認(rèn)為這是一個(gè)不證自明的真理：人人生而平等，造物者賦予他們?nèi)舾刹豢蓜儕Z的權(quán)利，其中包括生命權(quán)、自由權(quán)和追求幸福的權(quán)利”（“We hold these truths to be self-evident, that all men are created equal, that they are endowed by their creator with certain unalienable rights, that among these are life, liberty and the pursuit of happiness”）：

然后推出了一系列的定理：

????????（1）“為了保障這些權(quán)利，人類才在他們之間建立政府，而政府之正當(dāng)權(quán)力，是經(jīng)被治理者的同意而產(chǎn)生的?！?/p>

????????（2）“當(dāng)任何形式的政府對(duì)這些目標(biāo)具破壞作用時(shí)，人民便有權(quán)力改變或廢除它，以建立一個(gè)新的政府；其賴以奠基的原則，其組織權(quán)力的方式，務(wù)使人民認(rèn)為唯有這樣才最可能獲得他們的安全和幸福?！?/p>

????????（3）“當(dāng)追逐同一目標(biāo)的一連串濫用職權(quán)和強(qiáng)取豪奪發(fā)生，證明政府企圖把人民置于專制統(tǒng)治之下時(shí)，那么人民就有權(quán)利，也有義務(wù)推翻這個(gè)政府，并為他們未來(lái)的安全建立新的保障?！?/p>

在《獨(dú)立宣言》發(fā)表之前，北美大地上并沒有國(guó)家，只有一些殖民地。它們?cè)诶碚撋蠈儆诖笥⒌蹏?guó)，實(shí)際上由自己管理，即“主權(quán)王有，治權(quán)民有”，最后這些殖民地在《獨(dú)立宣言》的思想框架下逐漸形成了美國(guó)。以一個(gè)邏輯的產(chǎn)物，《獨(dú)立宣言》作為立國(guó)之本，這也算是人類文明的一個(gè)里程碑了。

4 缺陷

《幾何原本》看起來(lái)似乎完美，其實(shí)也有各種缺陷，下面嘗試列舉一二。

4.1 化圓為方

《幾何原本》的優(yōu)點(diǎn)是所有的結(jié)論都是基于五大公理的，但這也是它的缺點(diǎn)，即沒有辦法產(chǎn)生新的知識(shí)。那么自然也無(wú)法解決超綱的題目，比如著名的“化圓為方”問(wèn)題，也就是只通過(guò)尺規(guī)，求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同（這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被代數(shù)學(xué)證明是無(wú)法被《幾何原本》中的知識(shí)解決的）：

4.2 黎曼幾何

《幾何原本》是依賴于五大公理的，那么五大公理本身是否正確呢？還有沒有別的公理形式呢？如果有別的公理形式，那么究竟哪種是正確的呢？這其實(shí)是無(wú)法判斷的，就好像應(yīng)該信上帝還是信佛主，也是沒有對(duì)錯(cuò)的。

比如，《幾何原本》的第五公理，“若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交”，也可以寫成等價(jià)的形式，“給定一條直線，通過(guò)此直線外的任何一點(diǎn)，有且只有一條直線與之平行”。黎曼將這條修改了一下，“在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)（交點(diǎn)）”，然后依據(jù)《幾何原本》的形式推出了完全不一樣的幾何學(xué)。這個(gè)幾何學(xué)實(shí)際上就是球面上的幾何?？梢钥吹?，在有限的球面上確實(shí)沒有平行的直線：

相對(duì)論就是基于黎曼幾何的，如果說(shuō)《幾何原本》是地球上的幾何的話，那么黎曼幾何就是宇宙中的幾何。

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