集合論

《斯坦福哲學(xué)百科全書(shū)》將集合論描述為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)最偉大的成就之一”，集合論被廣泛認(rèn)為是由康托爾在1873-1884年間所做的研究所建立的。特別地，集合論的起源可以追溯到康托爾于1874年發(fā)表的一篇論文，題為《關(guān)于所有實(shí)數(shù)集合的性質(zhì)》。它提出的最基本和最重要的結(jié)果是實(shí)數(shù)的不可數(shù)性。

在短短的五頁(yè)里，康托的論文提出了三個(gè)重要的結(jié)果：

實(shí)代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的；

在每一個(gè)區(qū)間[a,b]中都有無(wú)窮多個(gè)不包含在任何數(shù)列中的數(shù)，結(jié)果就是

實(shí)數(shù)的集合是無(wú)窮無(wú)盡的。

本文的其余部分將致力于解釋第三個(gè)結(jié)果的含義，即實(shí)數(shù)的不可數(shù)性。為此，我們先從幾個(gè)基本概念開(kāi)始。

什么是集合？

集合是元素的集合。由3、4、5組成的集合用{3、4、5}表示。

可數(shù)性

可數(shù)集合是指具有與自然數(shù)集合的某個(gè)子集相同基數(shù)的集合。

可數(shù)性是集合論中的一個(gè)重要性質(zhì)?？蓴?shù)性的直觀解釋是“列表性”，即集合的元素可以寫(xiě)在一個(gè)列表中。最固有的可數(shù)集合是自然數(shù)集，因?yàn)榈脑厥怯?jì)數(shù)數(shù)本身。我們知道，它們?cè)跀?shù)量上是無(wú)限的，所以稱(chēng)為可數(shù)無(wú)限。對(duì)于其他集合，形式上，聲明一個(gè)集合是可數(shù)的，意味著集合的元素可以與自然數(shù)集合的元素一一對(duì)應(yīng)，即：

如果存在從S到自然數(shù)={1,2,3，…}的內(nèi)射函數(shù)f，則集合S是可數(shù)的。如果能找到這樣一個(gè)f也是滿射，則S被稱(chēng)為可數(shù)無(wú)限集，或可數(shù)集。

例如偶數(shù)集合(2n|n∈)：

我們看到兩個(gè)集合的元素可以一一對(duì)應(yīng)，因此我們可以確定偶數(shù)集合也是可數(shù)的。

可數(shù)性使我們可以根據(jù)集合所包含的元素的數(shù)量來(lái)進(jìn)行比較，而不需要實(shí)際計(jì)算任何東西，并通過(guò)這種方式來(lái)推斷有限集和無(wú)限集的相對(duì)大小。從實(shí)際考慮，讓我們想象一個(gè)有100個(gè)座位的教室來(lái)說(shuō)明這個(gè)有限的情況。如果教室里擠滿了學(xué)生，我們就可以推斷出學(xué)生的數(shù)量與座位數(shù)量的關(guān)系。如果座位是空的，座位集要比學(xué)生集大。如果沒(méi)有空座，有的學(xué)生還站著，則學(xué)生的集大小要大于座位集的大小。

有理數(shù)的可數(shù)性（1873）

康托爾首次發(fā)表關(guān)于集合可數(shù)性的研究是在1873年，當(dāng)時(shí)他證明了有理數(shù)是可數(shù)的。他的證明相當(dāng)優(yōu)雅和直觀：

讓我們首先提出，這組有理數(shù)是可數(shù)的。為了證明這個(gè)命題，讓我們把所有有理數(shù)排列在一個(gè)無(wú)限表中：

然后，從左上角開(kāi)始，從左到右45度移動(dòng)對(duì)角線，從1/1開(kāi)始，然后是1/2和2/1，然后是3/1，2/2和1/3，以此類(lèi)推。寫(xiě)下遇到的每一個(gè)新數(shù)。

它不僅是有序的，而且與自然數(shù)的自然順序一一對(duì)應(yīng)。這證明了有理數(shù)的可數(shù)性。

實(shí)代數(shù)數(shù)的可數(shù)性（1874）

一年后，在他1884年的論文中，康托爾證明了實(shí)代數(shù)數(shù)是可數(shù)的。實(shí)數(shù)代數(shù)數(shù)是實(shí)數(shù)ω，滿足如下公式，a ω + aω + … + a= 0。也就是說(shuō)，實(shí)代數(shù)數(shù)是非零實(shí)多項(xiàng)式的根。它們是可數(shù)的，即：

所有代數(shù)實(shí)數(shù)的集合可以寫(xiě)成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列。

康托爾在他1874年的論文中證明了這一點(diǎn)：

實(shí)代數(shù)數(shù)可數(shù)性的證明（1874）

對(duì)于每一個(gè)多項(xiàng)式方程的形式

系數(shù)為a的整數(shù)，定義它的指數(shù)為系數(shù)的絕對(duì)值加上方程的次數(shù)之和：

指數(shù)2的唯一方程是ω = 0，所以它的解0是第一個(gè)代數(shù)數(shù)。指數(shù)3的四個(gè)方程是2x = 0，x + 1 = 0， x - 1 = 0, x2 = 0。它們的根是0、-1、1，所以他把新值-1和1作為他的代數(shù)數(shù)列表中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。

注意，對(duì)于每個(gè)指數(shù)，只有有限的方程，每個(gè)方程也只有有限的根。根據(jù)指數(shù)的順序和在每個(gè)指數(shù)內(nèi)增加數(shù)量級(jí)來(lái)列出新根，這樣就建立了列出所有代數(shù)數(shù)的系統(tǒng)方法。和有理數(shù)一樣，與自然數(shù)的一一對(duì)應(yīng)證明了代數(shù)數(shù)的集合必須是具有可數(shù)性的無(wú)窮。

實(shí)數(shù)的不可數(shù)性

康托將可數(shù)性作為一個(gè)概念的最富有成效的運(yùn)用出現(xiàn)在他1874年論文的第三個(gè)結(jié)果中，他證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性。實(shí)數(shù)是一個(gè)連續(xù)的值，可以表示一條直線上的距離。任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)表示出來(lái)，例如8.632、0.00001、10.1等等，其中每個(gè)連續(xù)數(shù)字都以前一個(gè)數(shù)字的十分之一為單位來(lái)計(jì)算。實(shí)數(shù)不可數(shù)的表述等價(jià)于：

給定任意實(shí)數(shù)序列和任意區(qū)間[α ... β]，可以在[α ... β]中確定一個(gè)數(shù)η，η不屬于給定的實(shí)數(shù)序列，因此，我們可以在[α ... β]中確定無(wú)窮多個(gè)這樣的數(shù)η數(shù)。

他最初的證明（康托的第一個(gè)不可數(shù)性證明）是這樣的，基于博爾扎諾-韋斯特拉斯定理：

實(shí)數(shù)不可數(shù)性的證明：

假設(shè)我們有一個(gè)無(wú)窮實(shí)數(shù)數(shù)列，

這個(gè)數(shù)列是隨機(jī)生成，而且數(shù)字之間互不相同。那么，在任意給定區(qū)間(α ... β)內(nèi)，可以確定一個(gè)數(shù)η，使其不出現(xiàn)在數(shù)列(i)中，這樣的η是無(wú)窮多的。

序列(i)的前兩個(gè)數(shù)位于這個(gè)區(qū)間的內(nèi)部（邊界除外），可指定為α'， β'，讓?duì)?#39; < β'。讓我們指定數(shù)列(α' ... β')的前兩個(gè)數(shù)α"， β"并且α" < β"。同樣地，構(gòu)造下一個(gè)區(qū)間，以此類(lèi)推。

因此，根據(jù)定義，α', α" ...是序列(i)的確定數(shù)，其指數(shù)是遞增的。序列β'， β"， ...也是如此。此外，數(shù)列α'， α"…總是增加的，而數(shù)列β'， β"，…總在減小。

在第一種情況下，這樣形成的間隔的數(shù)目是有限的。在這種情況下，讓最后一個(gè)是（α…β）。因?yàn)樗膬?nèi)部最多可以是序列(i)中的一個(gè)數(shù)，所以可以從這個(gè)區(qū)間中選擇一個(gè)不包含在(i)中的數(shù)η，從而證明了定理。

在第二種情況下，構(gòu)造區(qū)間的數(shù)目是無(wú)限的。那么，因?yàn)樗鼈兛偸窃诓粩嗟卦龃?，而不是無(wú)限地增大，所以這些數(shù)α， α'， α'，…有一個(gè)確定的邊界值α。同樣適用于數(shù)字β， β'， β"，…因?yàn)樗鼈兛偸窃谧冃?。設(shè)其邊值為β。如果α= β，η = α= β不能包含在我們的序列(i)中。然而，如果α< β，然后區(qū)間[α ... β]內(nèi)的所有η值以及它的邊界滿足它不包含在序列(i)中的要求。

無(wú)限集

我反對(duì)使用無(wú)窮量級(jí)作為完成的東西，這在數(shù)學(xué)中是不允許的。無(wú)限只是一種說(shuō)法——高斯，1831年

到目前為止，我們遇到的所有集合的元素都是無(wú)限的，這意味著它們會(huì)無(wú)限延伸。然而，我們也證明了它們的“大小”是不一樣的，或者至少，它不能與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)。也許更矛盾的是，我們已經(jīng)看到無(wú)窮集（自然數(shù)）的無(wú)窮子集（例如偶數(shù)）可以變成一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就產(chǎn)生了無(wú)窮集的一個(gè)特殊性質(zhì)，即：

集合A是無(wú)限的，當(dāng)且僅當(dāng)，A和集合X之間存在一一對(duì)應(yīng)并且X是A的一個(gè)真子集

這個(gè)由戴德金創(chuàng)造的特性，看起來(lái)似乎是自相矛盾的，因?yàn)橹庇X(jué)上認(rèn)為一個(gè)整體的元素總比它的某些部分的元素多。這意味著，如果兩個(gè)無(wú)限集包含相同數(shù)量的元素，那么：

它們之間一一對(duì)應(yīng)；

任何整體的大小必須大于它的任何部分的大?。?/p>

那么，一個(gè)無(wú)限集合中的元素的數(shù)量就不能被認(rèn)為是它大小的度量。它表明無(wú)限集合的元素在某種意義上“數(shù)不勝數(shù)”，考慮到你永遠(yuǎn)不可能把它們?nèi)繑?shù)出來(lái)，也因?yàn)樵谶@個(gè)領(lǐng)域用數(shù)字來(lái)衡量大小的概念沒(méi)有什么意義，如果一一對(duì)應(yīng)表示集合的大小是相同的，那么所有的無(wú)窮集似乎都是相同的。

基數(shù)

那么我們?cè)撊绾窝芯繜o(wú)窮集的性質(zhì)和差異呢？1874年，康托爾發(fā)現(xiàn)了不可數(shù)無(wú)限集的存在性。1878年，康托爾開(kāi)始了一項(xiàng)更廣泛的研究，他稱(chēng)之為基數(shù)，即集合的大小。集合A的基數(shù)通常用|A|表示，有時(shí)用card(A)表示。

康托爾對(duì)基數(shù)的定義

我們可以稱(chēng)之為“冪”"或"基數(shù)"，因?yàn)槲覀兊乃季S能力，從集合M中抽象出各種元素的性質(zhì)和它們所被賦予的次序，便產(chǎn)生了一般的概念。

或者更簡(jiǎn)單地說(shuō)，基數(shù)是用于度量集合大小的自然數(shù)的泛化。利用基數(shù)性，康托爾能夠正式回答他反復(fù)問(wèn)戴德金的問(wèn)題，即一個(gè)正方形是否可以映射到一條直線上，每條直線上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即：

定理：所有實(shí)數(shù)有序?qū)Γ磳?shí)平面）集合的大小與相同。

這個(gè)定理出現(xiàn)于康托1878年的論文《A contribution to manifold theory》，并且可以用以下方式優(yōu)雅地證明：

證明|| = ||

證明所有點(diǎn)（x，y）（0 < x，y < 1）的集合可以雙射映射到(0,1]上?？紤]點(diǎn)（x，y）并將x,y寫(xiě)成其唯一的十進(jìn)制數(shù)形式，示例如下：

請(qǐng)注意，x和y的數(shù)字被分成了組，總是指向下一個(gè)非零數(shù)字?，F(xiàn)在我們把數(shù)字z∈（0,1）與（x，y）聯(lián)系起來(lái)，寫(xiě)下第一個(gè)x群組，然后是第一個(gè)y群組，然后是第二個(gè)x群組，以此類(lèi)推。因此，在我們的例子中，我們得到：

由于x和y從某一點(diǎn)開(kāi)始都不為零，我們發(fā)現(xiàn)z的表達(dá)式仍然是一個(gè)不終止的小數(shù)展開(kāi)。從z的展開(kāi)，我們可以立即讀出原像(x,y)，并且映射是雙射的。

所以，再次矛盾的是，二維平面確實(shí)可以雙向（一對(duì)一對(duì)應(yīng)）映射到一維直線上。歸納地說(shuō)，我們可以把結(jié)果擴(kuò)展到更高的維度。它違反直覺(jué)的本質(zhì)導(dǎo)致康托著名地宣布：

我證明了它，但我仍然無(wú)法相信。

無(wú)限的基數(shù)

當(dāng)康托在1878年轉(zhuǎn)而研究無(wú)窮基數(shù)時(shí)，他已經(jīng)意識(shí)到存在著兩種這樣的“冪”，點(diǎn)集（如自然數(shù)）和連續(xù)體（如實(shí)數(shù)）。在他1883年的論文《Foundations of a General Theory of Manifolds》中，他介紹了兩個(gè)無(wú)窮之間的區(qū)別，超限的和絕對(duì)的：

超限數(shù)是指“無(wú)限”的數(shù)，因?yàn)樗鼈儽人杏邢迶?shù)都大，但不一定是絕對(duì)無(wú)限的。

同樣由康托提出的絕對(duì)無(wú)限ω，可以認(rèn)為是一個(gè)比任何可以想象或不可想象的有限或超限的量都大的數(shù)。超限的數(shù)在量上是可增加的，而絕對(duì)是不可增加的。他所想到的特殊的超限數(shù)，是他通過(guò)研究某些無(wú)窮集的可數(shù)性（如自然數(shù)）和其他無(wú)窮集的不可數(shù)性(如實(shí)數(shù))而意識(shí)到的。他分別把它們的基數(shù)和標(biāo)記為前兩個(gè)“無(wú)窮大數(shù)列”，都小于絕對(duì)無(wú)窮大ω。