一? ?悖論

一個科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于在他的工作結(jié)束時，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正把我置于這個境地

——剛要出版書的弗雷格（Gottlob Frege）

悖論是建立理論體系時常用的檢驗手法，如果從一個理論體系出發(fā)導(dǎo)致了悖論，那么這個體系就出現(xiàn)了瑕疵，必須修正甚至揚棄

悖論（Paradox）通常是指這樣一種語句，按普遍認可的邏輯推理方式，可推導(dǎo)出兩個對立的結(jié)論，形式為：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A

無論在哪個領(lǐng)域，是否在數(shù)學(xué)也好，都要關(guān)心下面的推理前提：同一律，矛盾律，排中律

而矛盾律就保證了具有相反意義的命題不能同時為真，即基于矛盾律的理論一定不允許出現(xiàn)悖論

但是，我們?nèi)绾稳ッ枋鲆粋€悖論？

我們常常會把一些看起來不合理的語句稱為悖論或佯謬，從字面意思理解，就是錯誤的東西，例如我們平時常說的說謊者悖論（Liar Paradox）：我現(xiàn)在說的這句話是謊話

相信大家都知道這句話哪里比較“繞”，但還有一些所謂的悖論只是在描述看起來不太合理的東西，僅此而已，如相對論中的雙生子佯謬，集合論中的分球悖論等等

本文中談及的悖論是指這樣的語句：

由此，我們可以得出構(gòu)成悖論的充分必要條件：真推出假，假推出真。顯然，因為無論如何都是矛盾的，悖論不具有確定的真假性，所以悖論不是命題，因為命題（proposition）是判斷某一件事情的陳述句

另一方面，悖論也不是開語句，開語句中含有變量，如,沒有給定這些變量的具體取值之前，是無法確定語句的真假，但給變量確定某個值時，即可判斷真假。所以開語句可以通過添加量詞或者取值的方式轉(zhuǎn)化為命題，如，而悖論不能做這方面的轉(zhuǎn)換

注意我所說的內(nèi)容，悖論是一個語句，不具有確定的真假性，而對其本身的真假性賦值時，無論如何，都會出現(xiàn)矛盾。則，我默認了悖論要表達成陳述句

例如，說謊者悖論的表述有：

表述1：“如果某人說自己正在說謊，那么他說的話是真還是假？”

表述2：“我現(xiàn)在說的這句話是謊話”

悖論要表達為陳述句形式，顯然，按照本文的定義，我們應(yīng)采取表述2，可能我們即將遇到的其他悖論表述成這種方式會比較奇怪，請大家理解這種思維方式

從認識論的角度看，產(chǎn)生悖論的根本原因是人們的認識與客觀實際的矛盾，是認識客觀世界的方法與客觀規(guī)律的矛盾

這是2017年版高中數(shù)學(xué)教材選修C類《邏輯推理初步》上的一句話，這本書是一本較為基礎(chǔ)的數(shù)理邏輯入門書，一定程度上推薦大家閱讀

在我看來，這本書最大的缺點就是什么地方都要提兩句哲學(xué)

這倒難免。邏輯學(xué)最早就是依附于哲學(xué)的，現(xiàn)在仍在使用的不少數(shù)理邏輯用語都是亞里士多德提出來的，不可否認哲學(xué)在邏輯學(xué)發(fā)展歷程中的重要作用

但是，數(shù)學(xué)終究是數(shù)學(xué)，他不研究物理世界，他不研究客觀事實，我不去討論依附于哲學(xué)的數(shù)學(xué)思想是還是壞，但一般不推薦這種思維方式

二? ?羅素悖論

在正式提及羅素悖論之前，先說一下與羅素悖論同根同源的理發(fā)師悖論（Barber Paradox）：一個給且僅給自己不刮胡子的人刮胡子的理發(fā)師應(yīng)該給自己刮胡子。

你可能會問，怎么就應(yīng)該了？

注意，我們說悖論一定要表述為陳述句形式，而不應(yīng)該表述為一個問題，所以我沒有提出理發(fā)師是否給自己刮胡子的問題，而是直接說明他給自己刮胡子

我相信大家都能意識到這個問題出在哪里，為什么它這么“繞”

（有人說理發(fā)師是女的，但事實理發(fā)師自己有沒有胡子并不是很重要的，有胡子是一個人的固有性質(zhì)。所以我不喜歡把一個數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個實際問題，總會達到適得其反的效果）

據(jù)說，羅素提出理發(fā)師悖論和羅素悖論是為了詰難數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor），就是那個創(chuàng)立了樸素集合論的康托爾。集合論的出現(xiàn)沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數(shù)學(xué)家所接受，遭到了許多人的反對。不過漸漸地，康托爾集合論也被一些數(shù)學(xué)家接受。而羅素提出理發(fā)師悖論和羅素悖論是為了指出康托爾集合論中的一個錯誤，其實康托爾本人也發(fā)現(xiàn)了，但是康托爾并沒有說出來

無論R∈R正確與否，都能得到一直相反的結(jié)論。也就是說，羅素悖論符合悖論的定義

注意，如果想實現(xiàn)x?x，前提是x也是一個集合，且集合x的元素中含有集合。這里可以把對x的要求弱化為集族（Set Family），即由且僅由集合構(gòu)成的集合

看起來，理發(fā)師悖論和羅素悖論是類似的，甚至可以說是一致的。我們有理由猜測理發(fā)師悖論就是羅素悖論，如果此猜想成立，可以說理發(fā)師悖論是羅素悖論的一種解釋，羅素悖論是理發(fā)師悖論的抽象化擴展和模型

下面，我們來證明這個猜想。

欲證，即需找到滿足條件的x和R。一個自然地想法是，把每一個人看成一個元素，但是，這樣無法構(gòu)造出集族x

不妨把每個人映射到一個集合。此時，x?x表示自己不給自己刮胡子，x∈x表示自己給自己刮胡子，那么，理發(fā)師對應(yīng)的集合，即給且僅給"自己不刮胡子的人”刮胡子。顯然滿足羅素悖論的描述

這個證明最巧妙的地方在于，它把每個人都表示成了集族，并使x?x這個條件有了含義

除理發(fā)師悖論以外，還有一個書目悖論，一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館里所有不列出自己書名的書，那么它應(yīng)該列出自己的書名。書目悖論和理發(fā)師悖論真的是完全相同，顯示它也是羅素悖論的一種解釋，仿照上例顯然，讀者自證不難（bushi）

接著，我們再提一提康托爾悖論：

稱一個集合A的所有子集構(gòu)成的集族為集合A的冪集（Power Set）。而集合的勢是一個表示集合元素個數(shù)的量，對于有窮集合，他的勢就是他的元素個數(shù)；如果集合M的元素多于集合N的元素個數(shù)，就說集合M的勢嚴格大于集合N的勢

康托爾定理（Cantor's Theorem）表明任何集合A的冪集的勢嚴格大于A的勢。對于有窮集合，該結(jié)論顯然成立，因為，對于n元素集合，它的勢為n，而它的冪集的勢為2^n。但是，對于無窮集合，這個結(jié)論仍然成立

康托爾構(gòu)造了這樣一個集合：包含全部集合的集族，稱之為“大全集”。根據(jù)定義，大全集應(yīng)該是勢最大的集族了，但是根據(jù)康托爾定理，大全集的冪集應(yīng)該有更大的勢，我們知道大全集的冪集也是集族，那么大全集就不是包含全部集合的集族。根據(jù)反證法原理，大全集不存在。這就是康托爾悖論，這說明集合論的基礎(chǔ)是有問題的

如果大全集存在，確實可以推出其不存在；但是，若大全集不存在，并沒有什么矛盾。所以，我認為康托爾悖論并不是悖論

不過，由于理解康托爾悖論需要有深厚的集合論基礎(chǔ)，因此在康托爾悖論剛提出時并沒有引起多大的轟動。直到理發(fā)師悖論和羅素悖論提出，數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家才注意到了這個問題，史稱第三次數(shù)學(xué)危機（the Third Mathematical Crisis）

當時，集合論已經(jīng)深入到眾多領(lǐng)域，甚至成為了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，集合論的悖論可以說是動搖了數(shù)學(xué)大廈的根基。弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道："一個科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于在他的工作結(jié)束時，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正把我置于這個境地"。

三? ?數(shù)學(xué)公理化

在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)公理化思想并不是很新鮮。數(shù)學(xué)的主要任務(wù)是得到數(shù)學(xué)研究對象性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的結(jié)論，這些結(jié)論通常用命題或公式的形式表達。為了驗證結(jié)論的正確性，就必須對命題或公式進行證明。無論哪種證明方法，都需要建立證明的前提，這個前提本身是不需要證明的，甚至是不可證明的。亞里士多德把不需要證明的前提分為兩類：一類是獲得任何知識都要依賴的前提，稱為公理(axiom)；另一類是為獲得某些專門知識所要依賴的前提,稱為公設(shè)(postulate)。

至少，從古希臘時期，公理化思想的萌芽已經(jīng)出現(xiàn)。在歐幾里得的《幾何原本》中，歐幾里得給出了23個定義，5條公理和5條公設(shè)，這些內(nèi)容描述了平面幾何的基本研究對象，基于人們的經(jīng)驗。

即使歐幾里得建立了一套看起來完美的平面幾何體系，但在“杠精”的眼中，仍然是漏洞百出。雖然歐幾里得很“嚴密”地從零開始論證，但仍然不夠嚴密。早期的公理化嘗試失敗了

但是，為什么數(shù)學(xué)家執(zhí)著于從有限的公理開始，逐步的演化出數(shù)學(xué)體系呢？

我們做出一個判斷，需要更基礎(chǔ)的判斷（引理）作為輔助，而更基礎(chǔ)的判斷又能通過更更基礎(chǔ)的判斷得來，容易聯(lián)想到，邏輯應(yīng)該存在一條鏈，從一些基礎(chǔ)的命題開始，這條鏈被自然地引出來——這是數(shù)學(xué)家美好的設(shè)想

現(xiàn)在，人們統(tǒng)稱那些不加(需)證明(不證自明)的前提為公理。而數(shù)學(xué)家想要從這些基本的公理出發(fā)，證明出我們需要的定理——即使這個命題很簡單。這樣，所有的命題就成為了一個體系，如果基于公理能夠形成一個數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)，那么稱這個系統(tǒng)為公理體系(axiom?system)；如果數(shù)學(xué)證明的演繹系統(tǒng)建立在公理體系之上，那么稱這樣的論證為數(shù)學(xué)公理化方法(mathematical?axiomatic?method)。

公理化思想在各個領(lǐng)域中都有著廣泛應(yīng)用的原因是，公理化思想方法從少量的原始概念和公理出發(fā)，可以演繹出內(nèi)容浩繁的理論體系，起到以簡馭繁的功效。正如牛頓所說：“幾何的輝煌之處就在于只用很少的公理而能得到如此之多的結(jié)果?！贝送?，公理化方法還為不同理論提供了一個可比較的基礎(chǔ)，因為公理化方法將不同理論的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)展現(xiàn)得十分清晰。——當然，這只是數(shù)學(xué)家美好的幻想。因為從直觀上來看，公理化沒有讓數(shù)學(xué)變得簡單，而是變得更加的“復(fù)雜”。想想，如果判斷1+1=2也需要證明，判斷一個東西是不是集合也需要幾條公理，數(shù)學(xué)在直觀上的反應(yīng)就變?nèi)趿?/p>

但為什么我們要“自討苦吃”研究數(shù)學(xué)公理化呢？

下面，重點來說第三次數(shù)學(xué)危機之后的事情——第三次數(shù)學(xué)危機是數(shù)學(xué)公理化的一個重要催化劑

假如你是數(shù)學(xué)家，要如何解決羅素悖論呢？——我相信你不忍拋棄集合論

假設(shè)一個情境，你說你是一個大音樂家，你會彈所有樂器，此時，有一個人拿一把吉他過來，問你，你會彈吉他嗎？你突然發(fā)現(xiàn)，你真的不會彈吉他，那么，你要怎么解釋才能讓自己的話說得通呢？

你可以說，“吉他不是樂器”。這樣的話，你確實還會彈所有樂器，你依然不會彈吉他。但是，先前的矛盾就被解決了——自我欺騙實錘了——數(shù)學(xué)中有很多這樣的自我欺騙

羅素悖論中構(gòu)造了引發(fā)矛盾的集合，我們只需要規(guī)定這樣的“集合”不是集合即可，即有正則公理（基礎(chǔ)公理，Axiom of regularity）：對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。（雖然這個公理的得出不是很顯然）

第三次數(shù)學(xué)危機使數(shù)學(xué)家認識到集合必須要有嚴格的規(guī)定，并不是一些隨便的元素就能構(gòu)成集合了，就如同第二次數(shù)學(xué)危機后數(shù)學(xué)家完善了極限的概念一樣。在康托爾等人的努力下，ZF公理系統(tǒng)建立起來了

策梅洛(Zermelo)首先提出了比較完整的公理，這些公理指明了哪些集合是合法的，對集合的哪些操作是合法的，從而構(gòu)造出合法的集合，將羅素悖論中的集合R排除在外了。后經(jīng)過弗蘭克爾（Fraenkel）的完善和補充，形成了ZF公理系統(tǒng)（Zermelo，F(xiàn)raenkel，ZF）?，F(xiàn)在公理體系已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，包括：皮亞諾算術(shù)公理體系、希爾伯特幾何公理體系、策梅洛-弗蘭克爾集合論(Zermelo-Fraenkel?Set?Theory)公理體系、柯爾莫戈洛夫概率論公理體系等。

下面我憑借我僅有的知識盡可能地解釋一下ZF公理系統(tǒng)中的八條公理（原表述并非如此）

1.外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等的。

2.分離公理：若X是一個集合，那么可以斷定，X集合中滿足某條件的一些元素也構(gòu)成集合

3.配對公理：任意兩個集合可以構(gòu)成以他們?yōu)樵氐囊粋€集族

4.并集公理：幾個集合的并集也是一個集合

5.冪集公理：一個集合的冪集也是一個集合

6.無窮公理：存在一集合，它有無窮多元素。

7.替換公理（置換公理）：某集合是某映射的定義域，其值域也是一個集合

8.正則公理：不允許有屬于自身的集合

由此可以看出，公理化對于數(shù)學(xué)的重要性——借助這些公理保證了哪些集合是合法的，排除了非法的集合

但是，你仔細想想，ZF公理體系真的說清楚了什么是集合了嗎？皮亞諾算術(shù)公理體系規(guī)定0是自然數(shù)，但他說明白什么是0了嗎？希爾伯特幾何公理體系，又真的解釋清楚什么是點線面了嗎？事實上并沒有。數(shù)學(xué)公理化，往往采取了形式上的定義，即名義定義，但也只有這樣，才能真正保證數(shù)學(xué)大廈的穩(wěn)定

2022年7月29日修改