撰文 | 姜樹(shù)生

本文所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題，主要與數(shù)學(xué)教育有關(guān)。

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解，直觀、定義與表達(dá)這三個(gè)方面都是需要的，但有各不相同的作用。

在小學(xué)數(shù)學(xué)的初級(jí)教程（具體說(shuō)就是自然數(shù)的認(rèn)識(shí)）中，這三個(gè)方面是混合在一起的，既要有直觀（從扳著手指頭數(shù)數(shù)開(kāi)始，實(shí)際上要做很多實(shí)驗(yàn)），又要學(xué)記數(shù)法（進(jìn)而就可以計(jì)算），最終要形成自然數(shù)的概念。在這個(gè)過(guò)程中，難免有不適當(dāng)?shù)淖龇ǎ踔磷邚澛?、犯錯(cuò)誤，但如果最終形成了自然數(shù)的概念，在學(xué)習(xí)過(guò)程中有些缺點(diǎn)出些錯(cuò)誤都無(wú)可非議。就如孩子學(xué)走路，難免跌跌爬爬，磕磕碰碰，甚至受點(diǎn)傷，但只要最終學(xué)會(huì)走路就行。

然而近年來(lái)，有些自以為高明的教學(xué)法，從很小就教孩子學(xué)習(xí)記數(shù)和計(jì)算，不重視甚至忽略直觀。其結(jié)果可能使得孩子在速算比賽中獲獎(jiǎng)，但卻不能自覺(jué)地應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中的問(wèn)題，更沒(méi)有培養(yǎng)創(chuàng)新能力。其實(shí)只是一種虛榮而已。

到了中學(xué)數(shù)學(xué)教程中，上述三個(gè)方面逐漸分開(kāi)，教學(xué)法與小學(xué)有顯著的不同。

首先來(lái)看無(wú)理數(shù)的概念。在早年的大多數(shù)教科書(shū)以及當(dāng)今的一些教科書(shū)中基本上是這樣講的: 首先以例子說(shuō)明無(wú)理數(shù)存在，具體說(shuō)就是有的“數(shù)”不等于兩個(gè)整數(shù)的比，最常見(jiàn)的是邊長(zhǎng)為 1 的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度（有的教科書(shū)中給出其無(wú)理性的證明）。認(rèn)識(shí)到無(wú)理數(shù)的存在，就可以進(jìn)一步形成實(shí)數(shù)的概念，即有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的全體。至于無(wú)理數(shù)表達(dá)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，很多教科書(shū)是不講的，或者僅舉具體的例子讓學(xué)生體會(huì)。這樣的講法盡管沒(méi)有給出實(shí)數(shù)的定義，卻是適合大多數(shù)學(xué)生。實(shí)際上大多數(shù)人一輩子也沒(méi)見(jiàn)過(guò)實(shí)數(shù)的定義，但這并不妨礙他們?cè)诠ぷ髦惺褂脤?shí)數(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是由數(shù)學(xué)家保證的，一般人盡可以放心大膽地使用。

但是，如果有學(xué)生問(wèn)“什么是無(wú)理數(shù)”，準(zhǔn)確地說(shuō)就是不滿足于直觀，希望從根本上搞清楚實(shí)數(shù)的概念，教師應(yīng)該怎樣回答呢？這樣的學(xué)生是千里挑一，而能回答這樣問(wèn)題的中學(xué)教師也是千里挑一。問(wèn)題僅在于千里挑一的學(xué)生能否遇到千里挑一的老師。

有的老師會(huì)回答說(shuō)：“無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，在有些教科書(shū)或課外書(shū)中也看到這樣的“定義”。然而，“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”只是無(wú)理數(shù)的一種表達(dá)方式，而不能作為定義。從哲學(xué)上說(shuō)，任何一個(gè)定義必須是針對(duì)一個(gè)客觀存在的對(duì)象,否則就可能落入邏輯陷阱。（一個(gè)典型的例子就是“所有集合的集合”，若引入這個(gè)“定義”，整個(gè)數(shù)學(xué)體系就崩潰了。）首先需要明白實(shí)數(shù)是一種客觀存在，然后才能談它的表達(dá)。

有效的實(shí)數(shù)定義至少有兩個(gè)，一是用戴德金分割，一是用基本敘列。兩個(gè)定義是相互等價(jià)的，但風(fēng)格迥異，前者幾何味較濃，后者代數(shù)味較濃。（從數(shù)論的眼光看，實(shí)數(shù)是整數(shù)在“阿基米德位”的局部化。）要想理解實(shí)數(shù)的實(shí)質(zhì)，最好兩個(gè)定義都讀懂（若能從數(shù)論的角度理解當(dāng)然更好）。但這兩個(gè)定義都頗不簡(jiǎn)單，而且定義后還要建立各種運(yùn)算、大小關(guān)系、極限等。對(duì)于一般的中學(xué)生甚至大學(xué)生，難度都是相當(dāng)高的。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教程和大學(xué)高等數(shù)學(xué)教程中不引入實(shí)數(shù)的定義，是明智的。

但若在中學(xué)或大學(xué)數(shù)學(xué)教程中以“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”作為無(wú)理數(shù)的定義，則是非常不明智的，非但不能使學(xué)生明白，反而會(huì)使很多學(xué)生誤以為懂了。如 [4] 中所說(shuō):

“不怕不懂，就怕不懂還自以為懂。”

再來(lái)看平面幾何。在幾何教科書(shū)中有很多定義，但這些定義都不是“原始”的，原始的概念如點(diǎn)、直線、平面等都是只有直觀沒(méi)有定義的，但它們由公理體系界定。用現(xiàn)代的語(yǔ)言，幾何對(duì)象可以定義為滿足一些條件 (公理) 的若干集合所組成的體系。硬要定義直線、平面等是不會(huì)有好結(jié)果的，所幸還沒(méi)聽(tīng)說(shuō)有這樣的教科書(shū)。

不過(guò)在現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教科書(shū)中，很多幾何概念的定義有嚴(yán)重缺陷，例如把直觀當(dāng)作定義，或語(yǔ)義含混 (詳見(jiàn) [2])。

回過(guò)頭來(lái)再看實(shí)數(shù)的概念。非常值得一提的是數(shù)軸的直觀。將實(shí)數(shù)理解為數(shù)軸上的點(diǎn)，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生是理解實(shí)數(shù)（包括無(wú)理數(shù)）的一個(gè)有效途徑。有了無(wú)理數(shù)的例子，再有數(shù)軸的直觀，對(duì)于普通學(xué)生就可以有效地講授實(shí)數(shù)概念。換言之，幾何直觀是理解實(shí)數(shù)的一個(gè)有效途徑，對(duì)于中學(xué)生是不可或缺的。

對(duì)于多數(shù)學(xué)生有較高難度的定義還有一些，如概率。對(duì)于這類概念，只講直觀而不講定義，常常是明智的。但常常還需要給出表達(dá)方式，并進(jìn)一步給出“操作”（如計(jì)算）方法。這樣學(xué)生就能夠運(yùn)用這些概念，做出有創(chuàng)新性的工作，盡管可能最終也沒(méi)有完全搞懂某個(gè)概念。此外，通過(guò)應(yīng)用也有可能提升對(duì)于概念的理解。

簡(jiǎn)言之，如果學(xué)生能理解，直接講定義對(duì)于建立數(shù)學(xué)概念最有效；而若大多數(shù)學(xué)生不能理解，最起碼也不應(yīng)該講假的定義，或者忽悠學(xué)生。

在大學(xué)數(shù)學(xué)教程中也有定義方面的問(wèn)題。

先來(lái)看微積分教程。隨便找一本微積分（或數(shù)學(xué)分析）教科書(shū)，就會(huì)看到其中積分（黎曼積分）的定義頗不簡(jiǎn)單。在數(shù)學(xué)分析教程中，一元函數(shù)的積分定義為一個(gè)頗不平凡的極限，判別其存在性還要用到達(dá)布和等，相當(dāng)復(fù)雜而費(fèi)解。在非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教程中，這部分內(nèi)容只是簡(jiǎn)化了些（實(shí)際上是偷工減料），復(fù)雜度基本未變，所以未必比數(shù)學(xué)分析教科書(shū)容易懂；但另一方面，對(duì)這些內(nèi)容都不會(huì)布置作業(yè)，更不會(huì)考試（包括研究生入學(xué)考試），徒然浪費(fèi)時(shí)間且讓學(xué)生頭疼。

順便指出，各版本中學(xué)教科書(shū)中的積分概念也是這樣寫的，對(duì)于中學(xué)生當(dāng)然就更頭疼了，甚至很多中學(xué)教師也看不懂。

學(xué)過(guò)實(shí)變函數(shù)論就知道，一元函數(shù)黎曼可積等價(jià)于幾乎處處連續(xù)，直觀地說(shuō)，其實(shí)離連續(xù)函數(shù)沒(méi)多遠(yuǎn)。在黎曼積分的應(yīng)用中實(shí)際上主要是針對(duì)連續(xù)函數(shù)，至多是分段連續(xù)函數(shù)。對(duì)于一般的學(xué)生，由黎曼積分其實(shí)只是學(xué)到面積的一個(gè)定義，何況這還不是一般的定義，例如一條一般的約當(dāng)單閉曲線所圍成的區(qū)域的面積，就不能用黎曼積分來(lái)定義（在康妥的時(shí)代就知道，曲線可能有非零的面積）。所以，花了那么多的時(shí)間那么大的功夫?qū)W黎曼積分，只是學(xué)到一個(gè)特殊情形的面積定義而已。然而，一般人都有面積的直觀，并不需要面積的定義。（如果關(guān)心面積的定義，可以看勒貝格積分或更一般的定義，如動(dòng)力系統(tǒng)中對(duì)于維數(shù)和測(cè)度的定義。）因此，為了理解積分的概念，至少對(duì)大多數(shù)學(xué)生，不如局限于連續(xù)函數(shù)的積分。

如果將連續(xù)函數(shù)的積分定義為“有向面積”，就很容易理解且不需要花多少功夫。具體說(shuō)，對(duì)于閉區(qū)間 [a, b] 上的連續(xù)函數(shù) f(x)，由直線 x=a，x=b，y=0 和曲線 ?y=f(x) 圍成的圖形具有面積，將直線 y=0 上方的面積看作正的，下方的面積看作負(fù)的，這樣得到的總面積稱為有向面積。將 f(x) 在 [a, b] 上給出的有向面積稱為它的積分，記為

由此定義不難證明牛頓-萊布尼茲公式

而積分的一些其他基本性質(zhì)如

編輯切換為居中

?(r, s為實(shí)數(shù))，分部積分法、換元法以及一些初等函數(shù)的積分等，利用牛頓-萊布尼茲公式都很容易證明 (有些甚至可以作為習(xí)題)。利用張景中先生制作的輔助軟件，一堂課就足以講清楚積分的基本概念和牛頓-萊布尼茲公式，這已經(jīng)超過(guò)中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求了。至于黎曼積分的原始思想——分割成豎條作面積和再取極限，可以直觀地講一下，不講也可以，不需要花費(fèi)很多課時(shí)，其實(shí)只有少數(shù)學(xué)生會(huì)關(guān)注。

再來(lái)看線性代數(shù)教程?！跋蛄俊笔亲钪匾幕靖拍钪弧Ｔ谀壳八?jiàn)到的很多教科書(shū) (其中有些是早年的) 中，向量定義為有序數(shù)組。這樣的定義不僅費(fèi)解 (與解析幾何中的定義相距甚遠(yuǎn))，而且向量的運(yùn)算還要另外定義。一般說(shuō)來(lái)，要直到學(xué)了很多內(nèi)容后才明白向量是什么。

這樣的定義有明顯的缺陷，沒(méi)有揭露向量的本質(zhì)。詳言之，有序數(shù)組是向量在取定的坐標(biāo)系下的表達(dá)，是“how”層面的，而好的定義應(yīng)該是“what”層面的。

從“what”層面看，向量就是向量空間的元素，脫離向量空間來(lái)討論向量是沒(méi)有意義的。向量的運(yùn)算，都涉及多個(gè)向量以及它們之間的關(guān)系。所以，要明白什么是向量，歸根結(jié)底要明白向量空間。

然而，很多線性代數(shù)教科書(shū)中根本就沒(méi)有向量空間。即使有，很多教師也不講。常見(jiàn)的理由是，向量空間太“抽象”，學(xué)生難以理解。那么，基于向量空間的很多概念和定理，當(dāng)然就更不能講了。

其實(shí)向量空間的概念并不算很“抽象”，國(guó)外一些大學(xué)本科代數(shù)教科書(shū)是先講群論后講線性代數(shù)，顯然比我國(guó)的線性代數(shù)或高等代數(shù)教科書(shū)更“抽象”。另一方面，我國(guó)現(xiàn)在的中學(xué)生都要花很多工夫?qū)W集合，但從教科書(shū)上看不到有什么用（除了刷題）。若是對(duì)于向量空間概念的高明之處有所領(lǐng)悟，至少會(huì)覺(jué)得集合是有用的。所以，至少有一部分學(xué)生理解向量空間并無(wú)困難。而對(duì)于有困難的學(xué)生，需要教育者的耐心，例如可以采取如下的途徑講授。

注意學(xué)生在解析幾何中學(xué)過(guò)平面向量和空間向量，而且知道一些物理應(yīng)用。在初等的數(shù)學(xué)和物理教科書(shū)中一般會(huì)講向量的直觀，即“既有大小又有方向的量”，而且較好的教科書(shū)中還會(huì)指出，這只是一種直觀，并非既有大小又有方向就是向量 (例如電流)。學(xué)生通過(guò)物理意義可以對(duì)向量有正確的理解，盡管還沒(méi)有向量空間的概念。那么，從向量的這些直觀概念推進(jìn)到一般的向量空間，本質(zhì)上只是維數(shù)可以不受限制。因此，可以先復(fù)習(xí)解析幾何中的平面向量和空間向量，包括它們的直觀意義和物理應(yīng)用，然后系統(tǒng)地復(fù)習(xí)和整理向量的運(yùn)算，再?gòu)?fù)習(xí)和整理向量在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)。然后舉例說(shuō)明高維的向量也是有數(shù)學(xué)和物理意義的。由此引導(dǎo)到一般的向量空間，就不很“抽象”和難于理解了。當(dāng)然這需要多花費(fèi)一些時(shí)間，但對(duì)于后面的學(xué)習(xí)是有利的。

也許您會(huì)反駁說(shuō)：“把向量定義為有序數(shù)組，我沒(méi)覺(jué)得費(fèi)解呀，而且很容易很方便?！焙玫?，那我們接著往下看。您總不至于停留在向量水平吧，那么下面要理解張量。按照“有序數(shù)組”這個(gè)路子，很多教科書(shū)是這樣定義張量的: 一個(gè)n維r階張量由一組數(shù)

組成，其中每個(gè)腳標(biāo)取1至n的整數(shù)，所以共有nr個(gè)數(shù)；如果用一個(gè)n×n-矩陣 (aij) 改變坐標(biāo)系，則各

需要做一個(gè)以aij的函數(shù)為系數(shù)的坐標(biāo)變換 (具體的變換公式甚為復(fù)雜且與張量的共、反變性有關(guān)，此處從略)。您還覺(jué)得這樣的定義不難理解且方便嗎？

如果理解了向量空間，那么要理解張量只需要再往前走一步，例如將域K上的兩個(gè)向量空間V, W的張量積

定義為它們的對(duì)偶空間

上的所有 K-雙線性函數(shù)組成的空間，它同構(gòu)于

，也同構(gòu)于

。有了張量積就很容易定義張量了 (參看 [3])。這樣直接從“what”層面理解，顯然容易得多也簡(jiǎn)單得多。

還值得指出，一般不能說(shuō)定義的對(duì)錯(cuò)（Yuri Zarhin 曾無(wú)奈地說(shuō): “Well，every definition is correct”），只能說(shuō)定義的優(yōu)劣。一個(gè)好的定義能夠揭示客觀存在或自然規(guī)律，啟迪思維，引導(dǎo)有意義的研究方向。在極端的情形，甚至一個(gè)好的定義就解決了問(wèn)題。遺憾的是很多定義有缺陷。有的教科書(shū)將直觀當(dāng)作定義，毫無(wú)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性可言，有些還頗為費(fèi)解，或語(yǔ)義含混，或幾乎是同義反復(fù)（參看 [2]），這些都是誤人子弟。有些定義雖然嚴(yán)謹(jǐn)，但沒(méi)有背景，不自然（有人為設(shè)置的條件），在極端的情形甚至所定義的東西根本不存在。盡管由這樣的定義可以推導(dǎo)出一些定理，可以寫論文發(fā)表，但對(duì)科學(xué)并無(wú)貢獻(xiàn)，也不會(huì)有應(yīng)用，只是邏輯游戲而已。還有一類情形，雖然所定義的對(duì)象是客觀存在且值得研究的，但定義的條件復(fù)雜或費(fèi)解（如上面所說(shuō)的將表達(dá)作為定義），尤其不利于初學(xué)者。其中有些還可能導(dǎo)致偏見(jiàn)或心理障礙。

由上所述可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教程中如何給出定義，經(jīng)常是值得研究的。這是張景中先生所說(shuō)的“教育數(shù)學(xué)” (參看 [6]) 的一個(gè)課題。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜樹(shù)生: 談數(shù)學(xué)教育的特殊性——兼談如何處理數(shù)學(xué)與教育學(xué)的關(guān)系. 數(shù)學(xué)通報(bào) 2008 年第 4 期

[2] 姜樹(shù)生: 現(xiàn)行統(tǒng)編中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)有多爛 (2016)

[3] 李克正: 《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》，研究生數(shù)學(xué)叢書(shū) 6. 清華/Springer 出版社 (2007)

[4] 李克正: 現(xiàn)代社會(huì)對(duì)于勞動(dòng)者的數(shù)學(xué)素質(zhì)的需求 (2019)

[5] 其故: 得數(shù)學(xué)者得天下. 返樸網(wǎng) (2019)

[6] 張景中: 談?wù)劷逃龜?shù)學(xué) (2021)