同學(xué)們好啊，

大家還記得我們在序言說的嗎，

我們會把聲音分為噪音和樂音。

理想的樂音就是振動中位移是時間的周期函數(shù)，

因此會有固定的頻率（即固定的音高）。

對于兩個周期函數(shù)，

如果他們的頻率比是有理數(shù)（整數(shù)比）的話。

那他們的和也是周期函數(shù)。

并且這個整數(shù)比越簡單，

對應(yīng)的最小正周期就越小，

聽上去就更像樂音。

想象一個周期無窮大的函數(shù)，

看上去完全就是非周期的噪音。

對于音樂而言，

如果兩個音的頻率比是簡單的整數(shù)比，

和在一起就會是周期信號。

比例越簡單，

兩個音就越融合

對于音程而言也就越協(xié)和。

下面我們用簡單的正弦（余弦）函數(shù)當(dāng)作我們的樂音

（實際的樂音在任何一個區(qū)間內(nèi)都可積，并且沒有間斷點，

所以可以看成正弦函數(shù)們的和）

這樣我們就可以使用李薩如圖形直觀的表示音程的協(xié)和程度。

李薩如圖形是這樣一類參數(shù)方程：

在這里，我們只需要考慮頻率比n。

整數(shù)比越簡單，李薩如的圖形也會越簡單。

對于無理數(shù)比值的兩個信號，

是沒有閉合的李薩如圖形的，

曲線會在矩形[-a,a]×[-b,b]稠密。

因此在十二平均律中，

除了純八度，

其他的音程都不是嚴(yán)格的樂音，

這就是十二平均律的缺點。

但是，這些比值可以近似的等于某些簡單整數(shù)比。

在很短的時間間隔里看，

這些音程可以看作樂音。

文案?面團橘子

排版?梅子青酒