每日一題2023.6.10

2023-06-10 21:47 作者:math-amateur 0人讀過 | 我要投稿

嗯，今天就分享一個(gè)很有意思的題目：

在單位正方形內(nèi)有一條不自交的折線，長(zhǎng)度不少于2t(t>=3)，證明：存在一條與正方形邊平行的直線，它與折線有不少于t+1個(gè)交點(diǎn)

證明：

首先我們注意到可將不少于2t改為恰好2t

我們?cè)O(shè)這條折線由n條線段構(gòu)成，記為 $l_%7B1%7D%2C%20l_%7B2%7D%2C...%2C%20l_%7Bn%7D%2C%20$

其中 $l_%7Bi%7D$ 的長(zhǎng)度記為 $d_%7Bi%7D%20$ ,并設(shè) $l_%7Bi%7D$ 到正方形兩邊投影長(zhǎng)分別為 $a_%7Bi%7D%20%2Cb_%7Bi%7D$ ,

那么我們有：

$2t%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enl_%7Bi%7D%20%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enb_%7Bi%7D$ ,

故 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D$ 與 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enb_%7Bi%7D$ 中有一個(gè)不小于t,不妨設(shè) $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%5Cgeq%20t$

采用反證法:

假設(shè)題目結(jié)論不成立，即不論怎樣與正方形邊平行的直線與折線至多只有t個(gè)交點(diǎn)

那么我們有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%5Cleq%20t$ ,結(jié)合 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%5Cgeq%20t$ 知? $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ena_%7Bi%7D%3Dt$

同理知? $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enb_%7Bi%7D%3Dt$ ,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)折線的線段均為平行于正方形邊的線段，且長(zhǎng)度為1

易知這與t>=3矛盾！

故結(jié)論成立，證畢！

標(biāo)簽：

每日一題2023.6.10的評(píng)論 (共條)