和通常人們想象的不一樣，數(shù)學(xué)里，我們并不總是通過已有的東西來定義新的東西。像是自然數(shù)，我們只描述它具有的性質(zhì)來定義這個東西。至于它究竟是什么，我們倒是不怎么關(guān)注。

嘛，不妨整個活。(笑)

皮亞諾公理(規(guī)定了自然數(shù)系是一條有頭 無尾 ?不繞回的獨鏈):

1.首先，存在一個“0”，或者說原點，那就將“紅白”作為“0”好了。

2.然后，自然數(shù)會增長，自然數(shù)n后面的n++也是自然數(shù)。這里對“++”(增長)沒有進(jìn)一步定義，我們就把它稱作“是……的朋友”好了，再把“是自然數(shù)”改一改，叫做“是彈幕強(qiáng)者”

總結(jié)一下:1.紅白是彈幕強(qiáng)者。2.彈幕強(qiáng)者的朋友也是彈幕強(qiáng)者。

我們把紅白的朋友稱作黑白，可以知道黑白也是彈幕強(qiáng)者，她的朋友也是彈幕強(qiáng)者，再把黑白的朋友叫作姆q，以此類推。(怎么類推啊鐵咩)

3.“0≠n++”是皮亞諾公理之三，說明沒有彈幕強(qiáng)者的朋友是紅白。

4.“n++=m++?n=m”:如果兩個彈幕強(qiáng)者的朋友是同一個，那這兩個彈幕強(qiáng)者其實是同一個人。(完全沒道理啊。。)

現(xiàn)在定義缺是芙蘭的朋友，芙蘭是中國的朋友，中國是pad的朋友，pad是阿夸的朋友，阿夸是姆q的朋友。(quin也事彈幕強(qiáng)者(確信))

命題1:證明缺≠阿夸

證明:反證，假設(shè)有缺=阿夸，那么缺是芙蘭的朋友，阿夸是姆q的朋友，由公理4，知芙蘭=姆q→中國=黑白→pad=紅白。已知pad是阿夸的朋友，因此阿夸的朋友=紅白，這與公理3矛盾。因此缺≠阿夸。

5.“若P(0)成立，且P(n)成立可推出P(n++)成立，則對于任意的自然數(shù)n，有P(n)成立”，比如現(xiàn)在我想證明所有彈幕強(qiáng)者都是美少女，我只用證明紅白是美少女，并且如果一個彈幕強(qiáng)者是美少女，那她的朋友也是美少女。這個邏輯沒問題吧。

完成了上面的定義之后，我們就得到一個很有意思的集合，可以起個名字比如D（彈幕強(qiáng)者的集合）。

D:={紅白，黑白，姆q，阿夸，pad，中國，芙蘭，小秦，……}

接下來的部分是遞歸定義，和上文關(guān)系不大，可跳過。

遞歸定義是一種保證了明確的同時很簡潔的定義模式，給個加法的例子:對于給定的一個自然數(shù)m，定義“n+m”為:

1.0+m:=m；

2.(n++)+m:=(n+m)++。

看著怪怪的，對吧，我們可以實際用用看。

例2:計算2+3

解:2:=1++，原式=(1++)+3，根據(jù)加法定義2:

原式=(1+3)++，同理:

原式=((0+3)++)++，再根據(jù)加法定義1:

原式=(3++)++=4++=5

這個過程看起來神必的很。我要說明的是，遞歸定義有一個模式，是說:如果你想定義一種新的運算，你可以這么做（目前先只看在自然數(shù)內(nèi)）:

首先，你得有:

1.一系列函數(shù)fn：N→N，這是一系列已知的運算，對于任何的自然數(shù)n都成立。就比如加法運算里出現(xiàn)的“++”

2.一個自然數(shù)c。

我們做的事就是:

1.我們將想定義的運算的結(jié)果用an表示。首先讓a0=c。

2.再規(guī)定an++=fn(an)

我們會發(fā)現(xiàn)一個事實，就是如果這樣定義的話，那么會得到對任意的n，都只有唯一的an與之對應(yīng)。并且an不會被重復(fù)定義。翻譯成人話就是能保證我們定義的東西就是沒啥毛病的。

接著，我把它用函數(shù)再重寫一遍，并且證明這是對的。（最好看一看）

上面的內(nèi)容可以寫成:唯一存在函數(shù)a:N→N，滿足a(0)=c，且對?n∈N，有a(n++)=f(n，a(n))。

在證明這個命題之前，我們先來確認(rèn)一件事：如果將約束條件作為a的定義，那a(n)是不會存在兩個不同的結(jié)果的。首先當(dāng)n=0時，a(0)=c，如果想要a(0)具有其它結(jié)果，只可能a(0)=f(0，a(n++))，滿足n++=0，與公理3相違背。歸納性地假設(shè)對于任意一個n，已經(jīng)證明該結(jié)論。我們來證明a(n++)只有一個結(jié)果：利用反證法，如果a(n++):=f(n，a(n))，想要通過m∈N，m≠n的其它值，以a(m++):=f(m，a(m))，覆寫a(n++)的定義，只有讓n++=m++，由公理4可知此時n=m，產(chǎn)生了矛盾。反證和歸納至此都結(jié)束了。可知這種定義下的a是可以存在的。

這里的函數(shù)f：N×N→N，沒具體說是啥，而且也不太好說。相當(dāng)于上面的fn，只是從一系列函數(shù)寫成了一個二元函數(shù)。

前置證明:對?N∈N（前一個N指的是元素，后一個是自然數(shù)集，在這里用黑體區(qū)別），?!函數(shù)aN：{n∈N：n≤N}→N，滿足aN(0)=c，且對自然數(shù)n<N，aN(n++)=f(n,a(n))恒成立。

用歸納法證明:若N=0，則函數(shù)a0：{0}→N，將其定義為a0(0):=c。容易證明這個函數(shù)存在，滿足后面的要求，并且唯一。

現(xiàn)在歸納性的假設(shè)對于任意一個N，已經(jīng)證明了上面的結(jié)論，那么對于函數(shù)aN++，我們可以定義當(dāng)自然數(shù)n≤N時，aN++(n):=aN；當(dāng)n=N++時，定義aN++(n)=f(n，a(n))。由開始的證明可知，此函數(shù)顯然存在。并且aN++(0)=aN(0)=c。n<N++等價于n≤N（略去證明），只用證n<N時成立第二個條件（由歸納性的假設(shè)），和n=N時成立第二個條件（由函數(shù)在N++時的定義）。故，此時aN++滿足所有要求。

假設(shè)存在函數(shù)b與aN++定義域值域都相同，而且滿足b(0)=c，且有b(n++)=f(n，a(n))，由函數(shù)定義不難證明b=aN++。因此函數(shù)aN++是唯一的。歸納結(jié)束。

很好，我們已經(jīng)證明了定義域有限情況下這種函數(shù)是成立的，那么該怎么保證有a：N→N這種定義域無限的情況也成立呢?

我們只需要把函數(shù)a:N→N，對任意N∈N定義為a(N):=aN(N)即可。

我們可以檢驗一下這個函數(shù):

1.a(0)=a0(0)=c

2.a(1)=a1(1)=a1(0++)=f(0，a(0))

3.a(n++)=an++(n++)=f(n，a(n))

確實是沒啥毛病的。

此時重寫加法定義:

任意假設(shè)一個自然數(shù)m，我們定義這樣的函數(shù)“+m”：N→N。（我們將自變量寫在函數(shù)左邊）

并且，我們規(guī)定函數(shù)f：N×N→N，滿足f(x，y)=y++

1.“+m”(0):=m，即 0+m:=m

2.“+m”(n++):=f(n，“+m”(n))，即(n++)+m:=“+m”(n)++=(n+m)++

那么，這時候可能會有friends要問了：這個f(n，a(n))中的n有什么用呢？

我的回答是：在一些要記錄狀態(tài)的運算里可以用到。

例3:階乘計算的定義:

假設(shè)函數(shù)f：N×N→N，滿足f(x，y)=y×(x++)。給定自然數(shù)1。規(guī)定“n！”為函數(shù)a：N→N，滿足:

1.a(0):=1，即0！=1

2.a(n++):=f(n，a(n))=a(n)×(n++)

例4:計算3！

解：與加法類似，3！=(2++)！=(2！)×3=1！×2×3=0！×1×2×3=6

大概就是這樣。(才不會告訴你我被這個勞什子f(n，a(n))折磨了一天一夜了呢。。)

好吧，現(xiàn)在讓我們回歸到這樣一個事實:自然數(shù)系實際上只有一個。以N和D舉例子:就是存在雙射函數(shù)f：N→D，滿足f(0)=紅白，且對于任何自然數(shù)n，f(n)=某強(qiáng)者?f(n++)=某強(qiáng)者的朋友。

定義函數(shù)為f(0):=紅白，f(n++):=f(n)的朋友

首先，它是一個函數(shù)，對于任意自然數(shù)n，當(dāng)n=0時，f(0)有明確定義；歸納性地假設(shè)在n時結(jié)論成立，那么f(n++)=f(n)的朋友，顯然也是有明確定義的。

再證明其滿足要求:假設(shè)存在某彈幕強(qiáng)者⑨，證明f(n)=⑨?f(n++)=⑨的朋友。

根據(jù)公理4和函數(shù)f定義這是顯然的。

最后證f為雙射:

1.首先它是單射。對于任意給定的m，假設(shè)f(n)=f(m)，證明n=m，用歸納法：1.n=0，則f(m)=紅白，若m≠0，存在b++=m，有f(b)的朋友=紅白，但沒有強(qiáng)者的朋友是紅白，故m=0=n。2.假設(shè)n結(jié)論成立證f(n++)=f(m++)能推出結(jié)論。由函數(shù)f定義得f(n)的朋友=f(m)的朋友，進(jìn)而根據(jù)公理4，知f(n)=f(m)，進(jìn)而由假設(shè)n=m，n++=m++，歸納結(jié)束。故得證f是單射。

2.接著證f是滿射。即證對任意的一個彈幕強(qiáng)者⑨，都有自然數(shù)n滿足⑨=f(n)。運用歸納法：當(dāng)⑨=紅白時，存在n=0，滿足等式；歸納⑨，證⑨友，已知⑨=f(n)，則由公理4，⑨友=f(n)

的朋友，由定義為f(n++)，故對于⑨友，有n++滿足等式。歸納結(jié)束。f是滿射。

概念補(bǔ)充:

1.函數(shù)f：X→Y，X稱為函數(shù)定義域，Y稱為函數(shù)值域。

2.函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)定義域值域都相等，且對于定義域里面的任意一個元素，它們分別對應(yīng)的對象也相等。

3.X×Y叫做X和Y的笛卡爾積。

4.如果一個關(guān)系，滿足定義域中的所有元素，都有值域中的元素對應(yīng)，那么就成立一個函數(shù)描述這個關(guān)系。

5.如果對于定義域中不同的元素，它們在值域中的對應(yīng)也不同，則這個函數(shù)是單射的?；蛘哒f一對一的。

6.如果值域里的所有元素都有對應(yīng)，則這個函數(shù)是滿射的。

7.如果函數(shù)既是單射，又是滿射，那它是雙射的，或者叫一一對應(yīng)的。