數(shù)學經濟學領域的許多內容在本手冊的章節(jié)中都有介紹。的確，盡管“數(shù)理經濟學”領域可以像序言中那樣被定義為一個“包括數(shù)學概念和技術在經濟學，特別是經濟理論中的各種應用”的領域，但另一種定義該領域的方法是列舉它的所有部分。從實用主義的角度來看，我們在這個意義上對該領域的定義是由手冊的目錄提供的。然而，我們認識到這一定義并不真正完整;由于篇幅限制和優(yōu)先權的考慮，一些非?；钴S的數(shù)學經濟學領域被忽略了。歷史視角將為讀者提供一個更清晰的背景和各個章節(jié)之間的相互關系的感覺。最后，我們列出了自1961年以來數(shù)學經濟學的11項重要發(fā)展。本導論將數(shù)學經濟學的歷史分為三個廣泛且有些重疊的時期:基于微積分的邊緣主義時期(1838- 1947)，理論/線性模型時期(1948 -1960)，以及當前的整合時期(1961-至今)。這些日期只是提示性的?；谖⒎e分的邊際主義分析從未停止過;集論/線性模型分析始于1933年，至今仍有重要意義。 以微積分為基礎的邊際主義時期:1838-1947 在數(shù)學經濟學的早期階段，經濟學從自然科學和相關的數(shù)學中借鑒了方法，并在很大程度上以微積分為基礎發(fā)展了一種正式的理論。通過假設足夠平滑的函數(shù)(如效用函數(shù)和生產函數(shù))和最大化行為，形成了一個關于微觀經濟主體行為和一般均衡的相當完整的理論。基本的數(shù)學工具是微積分，特別是使用總導數(shù)和偏導數(shù)以及拉格朗日乘子來描述極大值。消費者、生產者、寡頭壟斷和一般均衡等現(xiàn)代理論的數(shù)學基礎都是在這一時期發(fā)展起來的。古諾(1838年)是一個開創(chuàng)性的著作，它可以被視為數(shù)學經濟學的起點。古諾的貢獻可以分為兩大類:企業(yè)理論和單一市場中企業(yè)與消費者的相互作用。至于企業(yè)理論，古諾的基本假設是企業(yè)選擇產出水平以實現(xiàn)利潤最大化。他研究并嚴格定義了完全競爭和壟斷兩種情況。關于單一市場中企業(yè)和消費者的相互作用，古諾提出了(單一)競爭市場中的供求相等問題和賣方競爭有限的寡頭壟斷問題。寡頭壟斷的“古諾解”仍然是一種標準方法，適當?shù)耐茝V在博弈論的發(fā)展中起著重要作用。在《手冊》中，F(xiàn)riedman在第11章闡述了寡頭壟斷理論，而Shubik在第7章討論了博弈論。企業(yè)理論:古諾的利潤最大化假設主要是通過19世紀最后25年生產函數(shù)概念的發(fā)展得到擴展，因此出現(xiàn)了一個完整的處理投入需求和產出供應的理論。許多作者都贊同這一發(fā)展，如瓦爾拉斯(1874)[但生產函數(shù)和邊際生產率理論直到第三版(1896)才出現(xiàn)]，威克斯德(1894)，威克塞爾(1893)和J. B.克拉克(1889)。霍特林(1932)給出了可能是第一個完全連貫的描述。在《手冊》中，Nadiri在第10章概述了企業(yè)理論。消費者理論:從預算約束下效用函數(shù)最大化的消費者需求理論的發(fā)展首先由Gossen (1854)， Jevons(1871)和Walras(1874)開始，并由Marshall(1890)詳細闡述。Slutsky(1915)對效用最大化需求函數(shù)的性質進行了完整的推導，并由Hicks和Allen(1934)、Hotelling(1935)、Georgescu-Roegen(1936)和Wold(1943- 44,1953)進行了進一步研究。效用的基礎在以下幾個方面得到了深化:用序數(shù)代替基數(shù)效用是由費雪(1892)和帕累托(1909)提出的;基本效用的公理化是由Frisch(1926、1932)和Alt(1936)提出的;揭示性偏好法由Samuelson(1938)提出，Houthakker(1950)和Uzawa(1960)進一步發(fā)展?！妒謨浴返牡诰耪?，由Barten和Bohm撰寫，調查了消費者需求理論。一般均衡:市場是相互關聯(lián)的，因此經濟均衡的特征是所有市場上的供應和需求同時相等，這是瓦爾拉斯(1874)提出的基本概念。這一概念由帕累托(1896,1909)進一步發(fā)展和闡述。通過證明方程的數(shù)量等于未知數(shù)的數(shù)量(另見Marshall(1890))，使均衡存在的情況變得合理。競爭均衡的最優(yōu)性由瓦爾拉斯和帕累托共同提出。均衡的穩(wěn)定性:在單一市場的均衡情況下，穩(wěn)定的條件已經被古諾(1838)和馬歇爾(1890)討論過。瓦爾拉斯(1874)對一般均衡的穩(wěn)定性問題進行了廣泛的討論，但不是很嚴格。第一次從嚴謹?shù)挠^點進行討論出現(xiàn)在?？怂?1939a)和薩繆爾森(1941)。后來關于穩(wěn)定性的重要論文包括阿羅和赫維奇(1958)、哈恩(1958)、(1962)、阿羅、布洛克和赫維奇(1959)、尤澤(1961、1962)、哈恩和根ishi(1962)，這些論文不僅以?？怂购退_繆爾森為基礎，還以莫薩克(1944)和梅茨勒(1945)為基礎。在手冊中，Hahn在第16章中談到了穩(wěn)定性。最優(yōu)資源配置:第一個系統(tǒng)地計算收益和成本，基本上使用了消費者和生產者剩余的現(xiàn)代概念，是由于杜普伊特(1844年)。帕累托(1909)對許多個體存在時的最優(yōu)性給出了明確的定義。最優(yōu)和次優(yōu)狀態(tài)的表征被稱為福利經濟學領域;霍特林(1938)、柏格森(1938)和?？怂?1939b, 1941)綜合了所有早期工作。隨著時間的推移，優(yōu)化的特定問題首先由Ramsey(1928)研究，并由Hotelling(1931)專門研究了可耗盡資源。拉姆齊(1927)首先研究了可能稅種范圍有限時的優(yōu)化問題。這些論文沒有一篇有很大的立竿見影的影響，但卻導致了戰(zhàn)后大量的研究。廣義討價還價:Edgeworth(1881)首先研究了一種經濟的結果，在這種經濟中，各種商品都可以討價還價，而不僅僅是價格體系中可能的討價還價。這組可能的結果被稱為契約曲線。這一概念的廣義版本，即核心，在一般的博弈論中得到了進一步發(fā)展，特別是在經濟系統(tǒng)中;參見本手冊第18章，作者Hildenbrand。以微積分為基礎的邊緣主義學派將許多先前的結果與最新的發(fā)展結合起來，其頂峰體現(xiàn)在兩本仍然具有高度影響力的經典著作中:?？怂?1946)和薩繆爾森(1947)。它們都總結了現(xiàn)有的理論，并提出了新的概念。?？怂?1946)的一個新概念是臨時平衡，后來得到了廣泛的發(fā)展;在手冊的第十九章，由格蘭蒙特的主題。薩繆爾森(Samuelson, 1947)結合了先前提到的關于顯性偏好和穩(wěn)定性的研究。集論/線性模型時期:1948-1960年 集合論/線性模型主要是第二次世界大戰(zhàn)后的現(xiàn)象，在這個時期，數(shù)學經濟學的早期微積分基礎被集合論基礎和線性模型所取代。使用集合論意味著更大的通用性，因為光滑函數(shù)的經典假設可以被更一般的函數(shù)所取代。使用線性模型也意味著處理不能用平滑函數(shù)表示的現(xiàn)象，例如多面體圖形的頂點。集合論方法的基本數(shù)學工具，包括數(shù)學分析、凸性和拓撲元素，在Green和Heller的手冊第1章中進行了總結。馮·諾依曼(von Neumann, 1937)的一篇重要論文已經在經濟增長的背景下提出了新的方法，其中方法比背景更重要。在發(fā)展集合論方法方面發(fā)揮重要作用的另一項工作是阿羅(195la)。這本書關注的是社會選擇理論的公理化，但在這樣做的過程中，它使用了集合論的技術，這為研究一般均衡理論的問題提供了一個框架。在《手冊》中，森在第22章闡述了社會選擇理論，而競爭均衡的數(shù)學方法則在第3部分第15-21章中討論。發(fā)展一般均衡理論的兩篇極具影響力的論文是Wald(1933-34)和Arrow and Debreu(1954)。瓦爾德(1933- 33,1936)以澤恩(1932)、奈瑟(1932)、馮·斯塔克爾伯格(1933)和施萊辛格(1933-34)的早期發(fā)展為基礎，首次對一般均衡進行了嚴格的分析。阿羅和德布魯(1954)和麥肯齊(1954)分別廣泛使用集合論方法來闡述競爭均衡的存在性問題，并在適當?shù)臈l件下證明存在性。McKenzie (1955, 1959, 196 1)， Gale (1955)， Nikaido (1956)， Debreu(1962)對存在問題進行了進一步的分析。這一分析的一個重要工具是Kakutani不動點定理，在Kakutani (1941) - Brouwer不動點定理的推廣。Arrow (195 1b)和Debreu (1951, 1954a)通過集論和凸集方法重新研究了競爭均衡(福利經濟學)的最優(yōu)性。福利經濟學的主題在手冊的第4部分，第22-26章中討論。在消費者理論中，效用函數(shù)的進一步公理發(fā)展，特別是與序數(shù)假設相關的發(fā)展，在德布魯(1954、1964)和拉德(1963)提出。這一主題被包括在Barten和Bohm的消費理論的發(fā)展在第9章。對于在不確定選項中進行選擇，效用理論也有公理化。拉姆塞(1926)的早期論文被忽視了，有影響力的貢獻者是馮·諾伊曼和摩根斯特恩(1947)，馬爾沙克(1950)，赫斯坦和米爾諾(1953)。拉姆齊(1926)也公理化了主觀概率的相關概念;隨后，薩維奇(1954)在費內蒂(1937)的早期工作的基礎上，在很大程度上獨立于拉姆齊的工作而發(fā)展了這一理論。在許多方面，這一時期集論概念在經濟均衡理論中的應用在德布魯(1959)中達到了頂峰，這是一本極具影響力的經典著作，相對于現(xiàn)代集論時期，它所起的作用堪比希克斯(1946)和薩繆爾森(1947)相對于經典的基于微積分的時期。與早期著作一樣，德布魯(1959)在阿羅(1953)的基礎上，既總結了理論的狀態(tài)，又進行了擴展，特別是對不確定性下均衡的擴展。Radner在《手冊》第20章中論述了不確定條件下的平衡問題。阿羅和哈恩(1971)一書總結了后來將集論和基于微積分的概念應用于經濟均衡理論的發(fā)展。從1948年到1960年的這段時期也是線性模型發(fā)展的一個時期，有許多應用領域和相關的發(fā)展。本質上，線性方程組和線性不等式系統(tǒng)取代了基于微積分的邊際主義時期的偏導數(shù)的使用。在此之前和期間，Leontief(1941年，1966年)提出了輸入輸出模型，這是一個行業(yè)間關系的線性模型。生產的相關活動分析模型是由Koopmans, ed. (195 1)， Morgenstern, ed. (1954)， Koopmans(1957)，以及在蘇聯(lián)由Kantorovich(1942, 1959)提出的。馮·諾依曼多部門增長模型(1937)是這一時期的關注對象，特別是Kemeny、Morgenstem和Thompson(1956)和Gale(1956)。該模型在一般均衡理論和增長理論中都發(fā)揮了重要作用。線性規(guī)劃是在這一時期發(fā)展起來的，源于Dantzig(1949, 1951, 1963)的工作，盡管在線性不等式系統(tǒng)上已經有了更早的結果。這種方法在多爾夫曼、薩繆爾森和索洛(1958)和蓋爾(1960)的著作中達到頂峰。這些書不僅討論了線性規(guī)劃，而且還討論了一般均衡的線性模型和線性增長模型。最重要的是這一時期Malinvaud(1953)的相關資本積累模型的發(fā)展。Dorfman、Samuelson和Solow(1958)提出了收費公路定理的初始公式，隨后Radner(1961)、Morishima(1961、1964)、McKenzie(1963)和Nikaido(1964)證明了該定理。在手冊中，線性規(guī)劃在第2章由Intriligator處理，增長理論和收費公路定理在第26章由McKenzie處理。博弈論也在這一時期的發(fā)展過程中，部分基于線性模型的分析。它的起源可以追溯到馮·諾依曼(1928)，但基本的發(fā)展出現(xiàn)在馮·諾依曼和摩根斯特恩(1947)和納什(1950)。博弈論在這一時期的發(fā)展總結在Luce和Raiffa(1957)中。博弈論是Shubik在手冊第7章中介紹的。 當前是一個整合時期，在這個時期，現(xiàn)代數(shù)學經濟學結合了微積分、集合論和線性模型的元素。這也是一個數(shù)學思想幾乎擴展到所有經濟學領域的時期。當前，數(shù)學經濟學有許多正在發(fā)展的課題，這是并將繼續(xù)是數(shù)學經濟學的一個極具成果的課題。本節(jié)介紹從1961年到70年代末這段時期正在發(fā)展的11個重要主題。(1)不確定性和信息:2包括Pratt(1964)和Arrow(1970)提出的風險規(guī)避理論;不確定性下的平衡，Diamond(1967)和Radner (1968);微觀經濟應用，在McCall (1971);保險，Borch (1968);搜索行為，在Rothschild(1974)和Lucas and Prescott (1974);市場信號，斯彭斯(1974)。在《手冊》中，第6章論述了不確定性經濟學，第23章論述了信息，第13章論述了不確定性投資的微觀經濟學理論，第20章論述了不確定性下的均衡。(2)全局分析:將微積分和拓撲學相結合的數(shù)學方法用于研究經濟均衡的性質及其隨基礎經濟變化的變化。Debreu(1970)率先研究了只有有限平衡集的條件。在《手冊》中，全球分析的數(shù)學是斯梅爾(Smale)在第8章的主題，而迪爾克(Dierker)在第17章調查了其在經濟學中的應用。 (3)對偶理論:這是一種結合了集論和微積分技術的經濟學理論的許多方面的方法。這一領域的重要著作包括Hotelling (1932, 1935)， Roy (1947)， McKenzie (1956-57)， Shephard (1953, 1970)， Samuelson (1953-54)， Uzawa (1964a)， Chipman (1966)， Diewert(1974)，以及Fuss和McFadden的編著。(1978)。在《手冊》第12章中，Diewert討論了微觀經濟理論的二元性方法。(4)總需求函數(shù):消費者理論表明，效用最大化個體的需求函數(shù)必須滿足某些限制條件。這些或類似的條件在多大程度上(如果有的話)必然適用于總需求函數(shù)?Sonnenschein(1973)首先給出的論點表明，聚合需求函數(shù)不受個體需求函數(shù)產生于效用最大化的條件的限制。隨后的重要論文是Mantel(1974)和Debreu(1974)的論文。Shafer和Sonnenschein在手冊第14章中討論了這個話題。(5)具有連續(xù)交易者的經濟和市場核心:“大量”交易者的直觀概念是完全競爭假設的基礎，在最近的工作中已經被形式化，要么是交易者數(shù)量趨于無窮的極限，要么是交易者的連續(xù)體。在大型經濟體中，正如Edgeworth(1881)已經指出的那樣，核心(或契約曲線)趨向于與競爭均衡集一致。該理論結合了博弈論、一般均衡理論和測量理論的要素。Shubik (1959)， Scarf (1962)， Debreu和Scarf (1962)， Aumann (1964, 1966)， Vind(1964, 1965)和Hildenbrand (1968, 1970a, 1970b)提出了這種分析。Hildenbrand在《手冊》第18章中論述了經濟的核心。測度理論是基爾曼第五章的主題。(6)臨時均衡:臨時均衡的概念由Hicks(1939)提出。在這種均衡交易中，每個主體都根據(jù)當前和過去的經濟狀況預測自己未來的稟賦。均衡可以包括所有價格的快速變動，足以出清所有市場，或者允許數(shù)量配給。這個問題在手冊第19章中由Grandmont論述。(7)均衡價格的計算:這是計算映射固定點的一種特殊情況，其中固定點被解釋為均衡價格向量，隱含的分配是一個可行的分配，可以出清所有市場。這方面的主要作品是《圍巾》(1967、1973)。這個主題在《手冊》第21章中由Scarf介紹。(8)社會選擇理論:社會選擇理論關注的是個體偏好在社會選擇中的聚合。關于這個主題的現(xiàn)代文獻主要來自阿羅(195la)，這本書發(fā)展了分析這個問題的框架，并介紹了可能性和不可能性定理。根據(jù)可能性定理，當社會只有兩種選擇時，多數(shù)原則滿足社會選擇的某些公理。根據(jù)不可能定理，如果社會存在三種或三種以上的選擇，那么包括多數(shù)決定原則在內的任何聚合系統(tǒng)都不能滿足社會選擇公理。直到20世紀60年代，關于這一主題的大部分文獻都在Sen(1970)中進行了處理。在手冊的第22章中，Sen.(9)討論了社會選擇:最優(yōu)稅收:這一領域的早期工作包括Ramsey(1927)和Hotelling(1938)，而最近重要的文章包括Boiteux (1956)， Mirrlees(1971)和Diamond and Mirrlees(1971)。莫里斯在《手冊》第24章中討論了這個主題，他將最優(yōu)稅收作為規(guī)范次優(yōu)理論的一個要素。Sheshinski的第25章討論了正次優(yōu)理論。(10)最優(yōu)增長理論:這一領域已在薩繆爾森和索洛(1956)、薩繆爾森(1965)、尤澤(1964b)、庫普曼斯(1965,1967)、卡斯(1965,1966)、馮·韋茲薩克(1965)、蓋爾(1967)、殼牌(1967)以及卡斯和殼牌(1967)等人的著作中得到發(fā)展。(1976)。事實上，在Ramsey(1928)的一篇超前幾十年的文章中，這個問題最初被表述為最優(yōu)儲蓄問題。然后，在20世紀60年代，使用更現(xiàn)代的分析工具，并將這一理論與多部門增長模型結合起來，解決了這個問題。增長理論和收費公路定理在手冊第26章由麥肯齊處理。最優(yōu)增長理論的數(shù)學基礎包括動力系統(tǒng)理論，由瓦里安在第三章中討論，以及控制理論，由肯德里克在第四章中討論。(11)組織理論:該領域包括團隊理論、分權、激勵問題和計劃。這一領域的重要早期作品包括Simon/ (1957)， Hurwicz (1960)， Marschak和Radner(1972)。這個主題在手冊的第27章由Marschak描述，第28章由Hurwicz描述，第29章由Heal描述。綜上所述，自1961年以來，數(shù)學經濟學中有11個重要課題:不確定性與信息(第6,13,20,23章)全球分析(第8,17章)對偶理論(1、2)總需求函數(shù)(第14章)5 .具有連續(xù)交易者的經濟和市場的核心(第5,7,18章)(第19章)均衡價格的計算(第21章)社會選擇理論(第22章)最優(yōu)稅收(第24、25章)最優(yōu)增長理論(第3、4、26章)組織理論(第27、28、29章)