非常規(guī)PID

以頻率分析（也稱頻域分析）為特色的控制理論稱為經(jīng)典控制理論。經(jīng)典控制理論可以把系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析得天花亂墜，但有兩個(gè)前提：一、要已知被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，這在實(shí)際中不容易得到；二、被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型不會(huì)改變或漂移，這在實(shí)際中更難做到。對(duì)簡(jiǎn)單過(guò)程建立微分方程是可能的，但簡(jiǎn)單過(guò)程的控制不麻煩，經(jīng)驗(yàn)法參數(shù)整定就搞定了，不需要費(fèi)那個(gè)事，而真正需要理論計(jì)算幫忙的回路，建立模型太困難，或者模型本身的不確定性很高，使得理論分析失去意義。經(jīng)典控制理論在機(jī)械、航空、電機(jī)中還是有成功的應(yīng)用，畢竟從F=ma出發(fā)，可以建立“所有”的機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，鐵疙瘩的重量又不會(huì)莫名其妙地改變，主要環(huán)境參數(shù)都可以測(cè)量。但是經(jīng)典控制理論至少在化工控制中實(shí)用成功的例子實(shí)在是鳳毛麟角，給你一個(gè)50塊塔板的精餾塔，一個(gè)氣相進(jìn)料，一個(gè)液相進(jìn)料，塔頂、塔底出料加一個(gè)側(cè)線出料，塔頂風(fēng)冷冷凝器，塔底再沸器加一個(gè)中間再沸器，你就慢慢建模去吧，等九牛二虎把模型建立起來(lái)了，風(fēng)冷冷凝器受風(fēng)霜雨雪的影響，再沸器的高壓蒸汽的壓力受友鄰裝臵的影響，氣相進(jìn)料的溫度和飽和度受上游裝臵的影響而改變，液相進(jìn)料的混合組分受上游裝臵的影響而改變，但組分無(wú)法及時(shí)測(cè)量（在線氣相色譜分析結(jié)果要45分鐘才能出來(lái)），動(dòng)態(tài)特性全變了。?

老家伙歌德兩百年前就說(shuō)了，理論是灰色的，生命之樹(shù)常青。在實(shí)用中，PID有很多表兄弟，幫著大表哥一塊打天下。?

比例控制的特點(diǎn)是：偏差大，控制作用就大。但在實(shí)際中有時(shí)還嫌不夠，最好偏差大的時(shí)候，比例增益也大，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)大偏差的矯正作用，及早把系統(tǒng)拉回到設(shè)定值附近；偏差小的時(shí)候，當(dāng)然就不用那么急吼吼，慢慢來(lái)就行，所以增益小一點(diǎn)，加強(qiáng)穩(wěn)定性。這就是雙增益PID（也叫雙模式PID）的起源。想想也對(duì)，高射炮瞄準(zhǔn)敵機(jī)是一個(gè)控制問(wèn)題。如果炮管還指向離目標(biāo)很遠(yuǎn)的角度，那應(yīng)該先盡快地把炮管轉(zhuǎn)到目標(biāo)角度附近，動(dòng)作猛一點(diǎn)才好；但炮管指向已經(jīng)目標(biāo)很近了，就要慢慢地精細(xì)瞄準(zhǔn)。工業(yè)上也有很多類似的問(wèn)題。雙增益PID的一個(gè)特例是死區(qū)PID（PIDwithdeadband），小偏差時(shí)的增益為零，也就是說(shuō)，測(cè)量值和設(shè)定值相差不大的時(shí)候，就隨他去，不用控制。這在大型緩沖容器的液位控制里用得很多。本來(lái)緩沖容器就是緩沖流量變化的，液位到底控制在什么地方并不緊要，只要不是太高或太低就行。但是，從緩沖容器流向下游裝臵的流量要盡可能穩(wěn)定，否則下游裝臵會(huì)受到不必要的擾動(dòng)。死區(qū)PID對(duì)這樣的控制問(wèn)題是最合適的。但是天下沒(méi)有免費(fèi)的午餐。死區(qū)PID的前提是液位在一般情況下會(huì)“自動(dòng)”穩(wěn)定在死區(qū)內(nèi)，如果死區(qū)設(shè)臵不當(dāng)，或系統(tǒng)經(jīng)常受到大幅度的擾動(dòng)，死區(qū)內(nèi)的“無(wú)控”狀態(tài)會(huì)導(dǎo)致液位不受限制地向死區(qū)邊界“挺進(jìn)”，最后進(jìn)入“受控”區(qū)時(shí)，控制作用過(guò)火，液位向相反方向不受限制地“挺進(jìn)”，最后的結(jié)果是液位永遠(yuǎn)在死區(qū)的兩端振蕩，而永遠(yuǎn)不會(huì)穩(wěn)定下來(lái)，業(yè)內(nèi)叫hunting。雙增益PID也有同樣的問(wèn)題，只是比死區(qū)PID好一些，畢竟只有“強(qiáng)控制”和“弱控制”的差別，而沒(méi)有“無(wú)控區(qū)”。在實(shí)用中，雙增益的內(nèi)外增益差別小于2：1沒(méi)有多大意義，大于5：1就要注意上述的持續(xù)振蕩或hunting的問(wèn)題。?

雙增益或死區(qū)PID的問(wèn)題在于增益的變化是不連續(xù)的，控制作用在死區(qū)邊界上有一個(gè)突然的變化，容易誘發(fā)系統(tǒng)的不利響應(yīng)，平方誤差PID就沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題。誤差一經(jīng)平方，控制量對(duì)誤差的曲線就成了拋物線，同樣達(dá)到“小偏差小增益、大偏差大增益”的效果，還沒(méi)有突然的不連續(xù)的增益變化。但是誤差平方有兩個(gè)問(wèn)題：一是誤差接近于零的時(shí)候，增益也接近于零，回到上面死區(qū)PID的問(wèn)題；二是很難控制拋物線的具體形狀，或者說(shuō)，很難制定增益在什么地方拐彎。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，可以在誤差平方PID上加一個(gè)基本的線性PID，使零誤差時(shí)增益不為零；對(duì)于后一個(gè)問(wèn)題，就要用另外的模塊計(jì)算一個(gè)連續(xù)變化的增益了。具體細(xì)節(jié)比較瑣碎，將偏差送入一個(gè)分段線性化（也就是折線啦）的計(jì)算單元，然后將計(jì)算結(jié)果作為比例增益輸出到PID控制器，折線的水平段就對(duì)應(yīng)予不同的增益，而連接不同的水平段的斜線就對(duì)應(yīng)于增益的連續(xù)變化。通過(guò)設(shè)臵水平段和斜線段的折點(diǎn)，可以任意調(diào)整變?cè)鲆娴那€。要是“野心”大一點(diǎn)，再加幾個(gè)計(jì)算單元，可以做出不對(duì)稱的增益，也就是升溫時(shí)增益低一點(diǎn)，降溫時(shí)增益高一點(diǎn)，以處理加熱過(guò)程中常見(jiàn)的升溫快、降溫慢的問(wèn)題。?

雙增益或誤差平方都是在比例增益上作文章，同樣的勾當(dāng)也可以用在積分和微分上。更極端的一種PID規(guī)律叫積分分離PID，其思路是這樣的：比例控制的穩(wěn)定性好，響應(yīng)快，所以偏差大的時(shí)候，把PID中的積分關(guān)閉掉；偏差小的時(shí)候，精細(xì)調(diào)整、消除余差是主要問(wèn)題，所以減弱甚至關(guān)閉比例作用，而積分作用切入控制。概念是好的，但具體實(shí)施的時(shí)候，有很多無(wú)擾動(dòng)切換的問(wèn)題。?

這些變態(tài)的PID在理論上很難分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但在實(shí)用中解決了很多困難的問(wèn)題。大言不慚一句，這些PID本人在實(shí)際中都用過(guò)。

復(fù)雜結(jié)構(gòu)PID?

打仗時(shí)，如果敵人太頑固，要么換更大的炮，把敵人轟倒；要么采用更巧妙的戰(zhàn)術(shù)，把敵人暈倒?？刂埔彩且粯樱瑔位芈稰ID難以解決的問(wèn)題，常常可以通過(guò)更巧妙的回路結(jié)構(gòu)來(lái)解決。?

單一的PID回路當(dāng)然可以實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制，但要是主要擾動(dòng)在回路中，而且是明確的，加一個(gè)內(nèi)回路作幫手是一個(gè)很不錯(cuò)的主意。還記得洗熱水澡的例子嗎？要是熱水壓力不穩(wěn)定，老是要為這個(gè)而調(diào)整熱水龍頭，那很麻煩。要是有一個(gè)人專門(mén)負(fù)責(zé)根據(jù)熱水壓力調(diào)節(jié)熱水流量，把熱水流量穩(wěn)定下來(lái)，而且穩(wěn)定在標(biāo)定值，那洗澡的時(shí)候，水溫就容易控制多了，只要告訴那個(gè)人現(xiàn)在需要多少熱水流量，而不必?zé)┬臒崴畨毫?duì)熱水流量的影響。這個(gè)負(fù)責(zé)熱水流量的控制回路就是內(nèi)回路，也叫副回路，而洗澡的溫度就是外回路，也叫主回路，當(dāng)然是主回路指揮副回路，就像自動(dòng)化指揮機(jī)械化、學(xué)自控的人指揮學(xué)機(jī)電的人……打住打住……。這種主回路套副回路的結(jié)構(gòu)叫串級(jí)控制（cascadecontrol），曾經(jīng)是單回路PID后工業(yè)上第一種“先進(jìn)過(guò)程控制”，現(xiàn)在串級(jí)已經(jīng)用得很多了，也不再有人叫它“先進(jìn)過(guò)程控制”了。串級(jí)控制最主要的功用是抑制回路內(nèi)的擾動(dòng)，增強(qiáng)總體控制性能。不過(guò)串級(jí)也不能亂用。如果主回路和副回路的響應(yīng)速度差不多，或者主回路的相應(yīng)速度甚至慢于副回路（通過(guò)變態(tài)的調(diào)試是可以做到的），這樣的串級(jí)要出問(wèn)題。理論上可以用共振頻率什么的分析，但是不用費(fèi)那個(gè)事，用膝蓋想想就知道，一個(gè)急性子的頭兒把一個(gè)溫吞水的下屬指揮得團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，結(jié)果只能是大家都精疲力竭，事情還辦砸了。相反，一個(gè)鎮(zhèn)定自若的頭兒指揮一個(gè)手腳麻利的下屬，那事情肯定辦得好。?

如果主要擾動(dòng)在回路以外，但是可以預(yù)知，那就要用另一個(gè)辦法，就是前饋了。還是用洗熱水澡的例子。如果冷水管和同一個(gè)水房的抽水馬桶共用，你在洗澡，別人一抽水，那你就變煮熟的龍蝦了（本想說(shuō)猴子PP的，但是那個(gè)不雅，我們要五講四美不是？）。這個(gè)時(shí)候，要是那個(gè)人在抽水的同時(shí)告訴你一聲，你算好時(shí)間，算好量，猛減熱水，那溫度還是可以大體不變的。這就是所謂前饋控制（feedforwardcontrol）。前饋控制有兩個(gè)要緊的東西：一是定量的擾動(dòng)對(duì)被控變量的影響，也就是所謂前饋增益；二是擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)，別人抽水到洗澡龍頭的水溫變熱，這里面有一個(gè)過(guò)程，不是立時(shí)三刻的。如果可以精確知道這兩樣?xùn)|西，那前饋補(bǔ)償可以把可測(cè)擾動(dòng)完全補(bǔ)償?shù)?。但?shí)際上沒(méi)有精確知道的事情，要是指望前饋來(lái)完全補(bǔ)償，弄巧成拙是肯定的。所以前饋通常和反饋一起用，也就是在PID回路上再加一個(gè)前饋。一般也只用靜態(tài)前饋，也就是只補(bǔ)償擾動(dòng)對(duì)被控變量的靜態(tài)影響，而忽略擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)因素，主要是因?yàn)殪o態(tài)前饋已經(jīng)把前饋80%的好處發(fā)掘出來(lái)了。動(dòng)態(tài)前饋既復(fù)雜又不可靠，在PID回路里很少有人用。理論上的前饋都是在PID的控制作用上再加一個(gè)前饋?zhàn)饔?，?shí)際上也可以乘一個(gè)控制作用。乘法前饋的作用太猛，我從來(lái)沒(méi)有用過(guò)，一般都是用加法。在實(shí)施中，前饋是和擾動(dòng)的變化（也就是增量）成比例，所以擾動(dòng)變量不變了，前饋?zhàn)饔镁拖В駝t，整定前饋控制增益會(huì)對(duì)PID主回路造成擾動(dòng)。前饋增益可以根據(jù)粗略計(jì)算得到，比如說(shuō)，抽水的量會(huì)造成溫度下降多少、需要調(diào)整多少熱水流量才能維持溫度，這不難從熱量平衡算出來(lái)。不想費(fèi)這個(gè)事的話，也可以從歷史數(shù)據(jù)中推算。一般算出來(lái)一個(gè)前饋增益后，打上7折甚至5折再用，保險(xiǎn)一點(diǎn)，不要矯枉過(guò)正。?

前饋?zhàn)饔靡话闶怯米鬏o助控制作用的，但是在特殊情況下，前饋也可以作為“預(yù)加載”（pre-loading）作為基準(zhǔn)控制作用。比如說(shuō)，在一個(gè)高壓系統(tǒng)的啟動(dòng)過(guò)程中，壓力可以從靜止?fàn)顟B(tài)的常壓很快地升到很高的壓力。正常情況下，高壓系統(tǒng)不容許閥門(mén)大幅度運(yùn)動(dòng)，所以控制增益都比較低，但是這樣一來(lái)，啟動(dòng)升壓過(guò)程中，壓力控制的反應(yīng)就十分遲緩，容易造成壓力過(guò)高。這時(shí)用壓縮機(jī)的轉(zhuǎn)速或高壓進(jìn)料的流量作前饋，將壓力控制閥“預(yù)先”放到大概的位臵，然后再用反饋慢慢調(diào)節(jié)，就可以解決這個(gè)問(wèn)題。?

有時(shí)用單個(gè)閥門(mén)難以控制大范圍變化的流量，這是一個(gè)很實(shí)際的問(wèn)題。工業(yè)閥門(mén)一般turndown只有10：1，也就是說(shuō)，如果這個(gè)閥門(mén)的最大流量是100噸/小時(shí)的話，低于10噸/小時(shí)就難以控制了，當(dāng)然，高于90噸/小時(shí)也幾近失去控制。所以，要真的保證0-100的精確控制，需要將一個(gè)大閥和一個(gè)小閥并列，小閥負(fù)責(zé)小流量時(shí)的精確控制，大閥負(fù)責(zé)大流量時(shí)的精確控制，這就是所謂的分程控制（splitrangecontrol）。分程控制時(shí)，小閥首先打開(kāi)，超過(guò)小閥最大流量時(shí)，小閥就固定在全開(kāi)位臵，大閥開(kāi)始打開(kāi)，接過(guò)控制。這是開(kāi)-開(kāi)型分程控制。也有關(guān)-開(kāi)型分程控制，比如反應(yīng)器夾套溫度控制，隨溫度逐漸上升，冷卻水逐漸關(guān)閉，直到冷卻水全關(guān)，加熱蒸氣開(kāi)始打開(kāi)。分程控制當(dāng)然不一定只有兩截，三截甚至更多都是可以的，道理都一樣。分程控制的問(wèn)題在于不同閥門(mén)的交接點(diǎn)。閥門(mén)在特別小的開(kāi)度時(shí)，控制非常不靈敏，前面說(shuō)到的10：1也是這個(gè)道理。所以實(shí)用中，開(kāi)-開(kāi)型分程控制常常在交接點(diǎn)附近有一段重疊，也就是小閥快要全開(kāi)但還沒(méi)有全開(kāi)時(shí)，大閥已經(jīng)開(kāi)始動(dòng)作，這樣，到小閥全開(kāi)、不能再動(dòng)彈時(shí)，大閥已經(jīng)進(jìn)入有效控制范圍。關(guān)-開(kāi)型分程控制常常在交接點(diǎn)設(shè)臵一個(gè)死區(qū)，避免出現(xiàn)兩個(gè)閥都有一點(diǎn)點(diǎn)開(kāi)度的情況。分程控制的交接點(diǎn)的設(shè)臵有一點(diǎn)講究，應(yīng)該根據(jù)閥的大小。比如A閥比B閥大一倍，那分程點(diǎn)應(yīng)該設(shè)在1/3先開(kāi)B閥，而不是懶漢做法的1/2。?

很多過(guò)程參數(shù)都是可以測(cè)量的，但也有很多參數(shù)是沒(méi)法直接測(cè)量的，這時(shí)，如果能夠通過(guò)別的可以測(cè)量的過(guò)程參數(shù)來(lái)間接計(jì)算真正需要控制的參數(shù)，這就是所謂的推斷控制（inferentialcontrol）。比如精餾塔頂?shù)漠a(chǎn)品純度可以用氣相色譜（gaschromatograph，GC）來(lái)測(cè)量，但結(jié)果要等40分鐘才能出來(lái)，用來(lái)做實(shí)時(shí)控制，黃花菜都涼了。推斷控制是和“軟傳感器”（softsensor）的概念緊密相連的。對(duì)精餾塔塔頂純度這個(gè)例子來(lái)說(shuō)，可以用純度和塔頂溫度、壓力作一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用可以測(cè)量的溫度和壓力，間接計(jì)算出純度。在計(jì)算機(jī)控制普及的今天，這是很容易實(shí)現(xiàn)的，但是在很多地方，推斷控制仍然被看成很神秘的東西，悲哀。?

有的時(shí)候，對(duì)同一個(gè)變量有不止一個(gè)控制手段。比如說(shuō)，風(fēng)冷器有風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速可以調(diào)節(jié)，也有百葉窗的開(kāi)度可以調(diào)節(jié)。風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的效果快，控制精確；百葉窗開(kāi)度的效果猛，不容易掌握，但有利于節(jié)能。所以，可以用風(fēng)扇的快速響應(yīng)來(lái)控制溫度，但是用百葉窗開(kāi)度來(lái)通過(guò)溫度間接地緩慢地影響風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速，使風(fēng)扇轉(zhuǎn)速回到最經(jīng)濟(jì)的設(shè)定。當(dāng)然百葉窗開(kāi)度的控制回路必須要比風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的控制回路整定得慢得多，一般是緩慢的純積分控制，否則兩人要打架。由于這相當(dāng)于控制風(fēng)扇轉(zhuǎn)速的“閥位”，工業(yè)上稱其為閥位控制（valvepositioncontrol）。這個(gè)閥位控制也可以變一變，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速高于某一數(shù)值（比如80%的最大轉(zhuǎn)速）時(shí)，把百葉窗開(kāi)大一格，還是高就繼續(xù)開(kāi)大；風(fēng)扇轉(zhuǎn)速低于某一數(shù)值（比如低于20%最大轉(zhuǎn)速）時(shí)，把百葉窗關(guān)小一格。這實(shí)際上是一個(gè)單向的積分作用，不同的地方有兩點(diǎn)：?一、有兩個(gè)設(shè)定值，由風(fēng)扇轉(zhuǎn)速是高還是低而定?

二、積分作用只有在風(fēng)扇轉(zhuǎn)速在這兩個(gè)“極限”的外面起作用，在里面時(shí)，百葉窗的開(kāi)度不變?

這樣，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速不必回到一個(gè)特定值，而是可以在一個(gè)范圍內(nèi)浮動(dòng)。?

另外一個(gè)兩個(gè)控制器“競(jìng)爭(zhēng)”一個(gè)控制閥的情況是選擇性控制（overridecontrol或selectivecontrol）。舉個(gè)例子，鍋爐的溫度由燃料流量控制，溫度高了，燃料流量就減下來(lái)，但是燃料流量低到燃料管路壓力低于爐膛壓力，那要出現(xiàn)危險(xiǎn)的回火，所以，這時(shí)，燃料管路壓力就要接管控制，而犧牲爐膛溫度。換句話說(shuō)，正常時(shí)候，爐膛溫度控制起作用，燃料管路壓力低于一定數(shù)值時(shí)，燃料管路壓力控制器作用。在實(shí)施時(shí)，就是爐膛溫度控制器和燃料管路壓力控制器的輸出都接到一個(gè)高選器，然后高選器的輸出接到實(shí)際的燃料閥。這個(gè)概念很清楚，但是初次接觸選擇性控制的人，常常容易被高選還是低選搞糊涂，明明是壓力太低，怎么是高選呢？其實(shí)，只要記住高選還是低選是從閥門(mén)這一頭看的，和溫度、壓力的高度沒(méi)有關(guān)系，就不會(huì)搞暈了。如果“非?！弊兞砍^(guò)界限了，你要閥門(mén)打開(kāi)，那就是高選；你要閥門(mén)關(guān)閉，那就是低選。

現(xiàn)代控制理論?

PID從二、三十年代開(kāi)始在工業(yè)界廣泛應(yīng)用，戲法變了幾十年，也該換換花樣了。PID說(shuō)一千道一萬(wàn)，還是經(jīng)典控制理論的產(chǎn)物。50-60年代時(shí)，什么都要現(xiàn)代派，建筑從經(jīng)典的柱式、比例、細(xì)節(jié)的象征意義，變到“形式服從功能”的鋼架玻璃盒子；汽車從用機(jī)器牽引的馬車，變到流線型的鋼鐵的藝術(shù)；控制理論也要緊跟形勢(shì)，要現(xiàn)代化。這不，美國(guó)佬卡爾曼隆重推出……現(xiàn)代控制理論。?

都看過(guò)舞龍吧？一個(gè)張牙舞爪的龍頭氣咻咻地追逐著一個(gè)大繡球，龍身子扭來(lái)扭去，還時(shí)不時(shí)跳躍那么一兩下。中國(guó)春節(jié)沒(méi)有舞龍，就和洋人的圣誕節(jié)沒(méi)有圣誕老人一樣不可思議。想象一下，如果這是一條眼睛看不見(jiàn)的盲龍，只能通過(guò)一個(gè)人捏著龍尾巴在后面指揮，然后再通過(guò)龍身體里的人一個(gè)接一個(gè)地傳遞控制指令，最后使龍頭咬住繡球。這顯然是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，龍身越長(zhǎng)，人越多，動(dòng)態(tài)響應(yīng)越遲緩。如果只看龍頭的位臵，只操控龍尾巴，而忽略龍身子的動(dòng)態(tài)，那就是所謂的輸入-輸出系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論就是建立在輸入-輸出系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。對(duì)于很多常見(jiàn)的應(yīng)用，這就足夠了。?

但是卡爾曼不滿足于“足夠”。龍頭當(dāng)然要看住，龍尾巴當(dāng)然要捏住，但龍身體為什么就要忽略呢？要是能夠看住龍身體，甚至操縱龍身體，也就是說(shuō)，不光要控制龍尾巴，控制指令還要直接傳到龍身體里的那些人，那豈不更好？這就是狀態(tài)空間的概念：將一個(gè)系統(tǒng)分解為輸入、輸出和狀態(tài)。輸出本身也是一個(gè)狀態(tài)，或者是狀態(tài)的一個(gè)組合。在數(shù)學(xué)上，卡爾曼的狀態(tài)空間方法就是將一個(gè)高階微分方程分解成一個(gè)聯(lián)立的一階微分方程組，這樣可以使用很多線形代數(shù)的工具，在表述上也比較簡(jiǎn)潔、明了。

卡爾曼是一個(gè)數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家的想法就是和工程師不一樣。工程師腦子里轉(zhuǎn)的第一個(gè)念頭就是“我怎么控制這勞什子？增益多少？控制器結(jié)構(gòu)是什么樣的？”數(shù)學(xué)家想的卻是什么解的存在性、唯一性之類虛頭八腦的東西。不過(guò)呢，這么說(shuō)數(shù)學(xué)家也不公平。好多時(shí)候，工程師憑想象和“實(shí)干”，辛苦了半天，發(fā)現(xiàn)得出的結(jié)果完全不合情理，這時(shí)才想起那些“性”（不要想歪了啊，嘿嘿），原來(lái)那些存在性、唯一性什么的還是有用的。?

還是回過(guò)來(lái)看這條龍?，F(xiàn)在，龍頭、龍尾巴、龍身體都要看，不光要看，還要直接操控龍頭到龍尾的每一個(gè)人。但是，這龍不是想看就看得的，不是想舞就舞得的。說(shuō)到“看”，直接能夠測(cè)量/觀測(cè)的狀態(tài)在實(shí)際上是不多的，所謂看，實(shí)際上是估算。要是知道龍身體有多少節(jié)（就是有多少個(gè)人在下面撐著啦），龍身體的彈性/韌性有多少，那么捏住龍尾巴抖一抖，再看看龍頭在哪里，是可以估算出龍身體每一節(jié)的位臵的，這叫狀態(tài)觀測(cè)。那么，要是這龍中間有幾個(gè)童子開(kāi)小差，手不好好拉住，那再捏住龍尾巴亂抖也沒(méi)用，這時(shí)系統(tǒng)中的部分狀態(tài)就是不可觀測(cè)的。如果你一聲令下，部分童子充耳不聞，那這些狀態(tài)就是不可控制的?？柭鼜臄?shù)學(xué)上推導(dǎo)出不可控和不可觀的條件，在根本上解決了什么時(shí)候才不是瞎耽誤工夫的問(wèn)題。這是控制理論的一個(gè)重要里程碑。?

再來(lái)看這條龍。如果要看這條龍整齊不整齊，排成縱列的容易看清楚；如果要清點(diǎn)人數(shù)，看每一個(gè)人的動(dòng)作，排成橫列的容易看清楚。但是不管怎么排，這條龍還是這條龍，只是看的角度不同。那時(shí)候中國(guó)人的春節(jié)舞龍還沒(méi)有在美國(guó)的中國(guó)城里鬧騰起來(lái)，不知道卡爾曼有沒(méi)有看到過(guò)舞龍，反正他把數(shù)學(xué)上的線性變換和線性空間的理論搬到控制里面，從此，搞控制的人有了工具，一個(gè)系統(tǒng)橫著看不順眼的話，可以豎著看，興趣來(lái)了，還可以斜著看、倒著看、擰著看，因?yàn)椴还茉趺纯?，系統(tǒng)的本質(zhì)是一樣的。但是不同的角度有不同的用處，有的角度設(shè)計(jì)控制器容易一點(diǎn)，有的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性容易一點(diǎn)，諸如此類，在控制理論里就叫這個(gè)那個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)型”。這是控制理論的又一個(gè)里程碑。?

觀測(cè)狀態(tài)的目的最終還是控制。只用輸出的反饋叫輸出反饋，經(jīng)典控制理論里的反饋都可以歸到輸出反饋里，但是用狀態(tài)進(jìn)行反饋的就叫狀態(tài)反饋了。輸出反饋對(duì)常見(jiàn)系統(tǒng)已經(jīng)很有效了，但狀態(tài)反饋要猛得多。你想象，一個(gè)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都被牢牢地瞄住，所有狀態(tài)都乖乖地聽(tīng)從調(diào)遣，那是何等的威風(fēng)？臺(tái)商大奶們的最高境界呀。?

盡管學(xué)控制的人都要學(xué)現(xiàn)代控制理論，但大多數(shù)人記得卡爾曼還是因?yàn)槟莻€(gè)卡爾曼濾波器（KalmanFilter）。說(shuō)它是濾波器，其實(shí)是一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器（stateobserver），用來(lái)從輸入和輸出“重構(gòu)”系統(tǒng)的狀態(tài)。這重構(gòu)聽(tīng)著玄妙，其實(shí)不復(fù)雜。不是有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型嗎？只要模型精確，給它和真實(shí)系統(tǒng)一樣的輸入，它不就乖乖地把系統(tǒng)狀態(tài)給計(jì)算出來(lái)了嗎？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身決定，還有一個(gè)初始條件，要是初始條件不對(duì)，微分方程的解的形式是正確的，但是數(shù)值永遠(yuǎn)差一拍?？柭谙到y(tǒng)模型的微分方程后再加了一個(gè)尾巴，把實(shí)際系統(tǒng)輸出和模型計(jì)算的理論輸出相比較，再乘上一個(gè)比例因子，形成一個(gè)實(shí)際上的狀態(tài)反饋，把狀態(tài)重構(gòu)的偏差漸進(jìn)地消除，解決了初始條件和其他的系統(tǒng)誤差問(wèn)題?？柭鼮V波器最精妙之處，在于卡爾曼推導(dǎo)出一個(gè)系統(tǒng)的方法，可以考慮進(jìn)測(cè)量噪聲和系統(tǒng)本身的隨機(jī)噪聲，根據(jù)信噪比來(lái)決定上述比例因子的大小。這個(gè)構(gòu)型其實(shí)不是卡爾曼的獨(dú)創(chuàng)，隆伯格（Luenburg）也得出了類似的結(jié)構(gòu)，但是從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度出發(fā)，來(lái)決定比例因子。同樣的結(jié)構(gòu)大量用于各種“預(yù)測(cè)-校正”模型結(jié)構(gòu)，在工業(yè)上也得到很多應(yīng)用，比如聚合反應(yīng)器的分子重量分布可以用反應(yīng)器的溫度、進(jìn)料配比、催化劑等來(lái)間接計(jì)算，但不夠精確，也無(wú)法把林林總總的無(wú)法測(cè)量的干擾因素統(tǒng)統(tǒng)包括進(jìn)數(shù)學(xué)模型里，這時(shí)用實(shí)驗(yàn)室測(cè)定的真實(shí)值來(lái)定期校正，就可以結(jié)合數(shù)學(xué)模型及時(shí)地特點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)室結(jié)果精確的特點(diǎn)，滿足實(shí)時(shí)控制的要求，這或許可以算靜態(tài)的卡爾曼濾波器吧?？柭鼮V波器最早的應(yīng)用還是在雷達(dá)上。所謂邊掃描邊跟蹤，就是用卡爾曼濾波器估計(jì)敵機(jī)的位臵，再由雷達(dá)的間隙掃描結(jié)果來(lái)實(shí)際校正。實(shí)際應(yīng)用中還有一個(gè)典型的問(wèn)題：有時(shí)候，對(duì)同一個(gè)變量可以有好幾個(gè)測(cè)量值可用，比如有的比較直接但不精確，有的是間接的估算，有很大的滯后但精確度高，這時(shí)可以用卡爾曼濾波器把不同來(lái)源的數(shù)據(jù)按不同的信噪比加權(quán)“整合”起來(lái)，也算是民用版的“傳感器融合”（sensorfusion）吧。?

除了卡爾曼濾波器外，卡爾曼的理論在實(shí)際中用得不多，但是卡爾曼的理論在理論上建立了一個(gè)出色的框架，對(duì)理解和研究控制問(wèn)題有極大的作用。?

順便說(shuō)一句，卡爾曼的理論基本局限于線形系統(tǒng)，也就是說(shuō)，十塊大洋買一袋米，二十塊大洋就買兩袋米，都是成比例的。實(shí)際系統(tǒng)中有很多非線性的，兩千塊大洋還能買兩百袋米，但兩千萬(wàn)大洋就要看米倉(cāng)有沒(méi)有貨了，不是錢(qián)越多，買的米越多，有一個(gè)“飽和”的問(wèn)題。另一方面，要是米倉(cāng)有足夠的貨，兩千萬(wàn)大洋的集團(tuán)購(gòu)買力強(qiáng)，或許就可以買三百萬(wàn)袋米了。這些只是非線性的簡(jiǎn)單例子。所有偏離線性問(wèn)題的都是非線性，所以非線性的問(wèn)題研究起來(lái)要復(fù)雜得多。實(shí)際系統(tǒng)還有其他特性，有的是所謂時(shí)變系統(tǒng)，像宇宙火箭，其質(zhì)量隨時(shí)間和燃料的消耗而變，系統(tǒng)特性當(dāng)然也就變了。很多問(wèn)題都是多變量的，像汽車轉(zhuǎn)彎，不光方向盤(pán)是一個(gè)輸入，油門(mén)和剎車也是輸入變量。狀態(tài)空間的理論在數(shù)學(xué)表述上為線性、非線性、單變量、多變量、時(shí)變、時(shí)不變系統(tǒng)提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架，這是卡爾曼最大的貢獻(xiàn)。

最優(yōu)控制?

前面說(shuō)到，搞控制有三撥人：電工出身的，化工出身的，和應(yīng)用數(shù)學(xué)出身的。在卡爾曼之前，電工出身的占主導(dǎo)地位，數(shù)學(xué)家們好在象牙塔里打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，化工出身則還對(duì)控制理論懵里懵懂，還在“實(shí)干”呢?？柭螅淮笈鷶?shù)學(xué)出身的人，利用對(duì)數(shù)學(xué)工具的熟悉，轉(zhuǎn)攻控制理論。一時(shí)間，控制理論的數(shù)學(xué)化似乎成了“天下大勢(shì)，順我者昌，逆我者亡”了。在狀態(tài)空間的框架下，多變量沒(méi)有太多的問(wèn)題好研究，于是最優(yōu)化成為控制理論的新時(shí)尚。?

對(duì)于一根給定的曲線，求一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就是這個(gè)曲線的極點(diǎn)；在對(duì)這一極點(diǎn)求二階導(dǎo)數(shù)，大于零就是最小點(diǎn)，小于零就是最大點(diǎn)。這是牛頓老爺子就整明白的東東，現(xiàn)在高中或大一人人都學(xué)過(guò)的東西。但是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)微分方程，對(duì)微分方程求一階導(dǎo)數(shù)為零，就導(dǎo)致變分法和所謂歐拉方程。但這個(gè)東西用起來(lái)不方便。實(shí)際的最優(yōu)控制不大直接使用變分。?

俄羅斯是一個(gè)奇怪的地方。老毛子們要么蔫蔫的，要么瘋狂的。俄羅斯的悲劇電影看得你也郁悶得想去自殺。但是老毛子要是搭錯(cuò)筋整出一個(gè)喜劇呢？那你要么跟著瘋狂，要么被逼瘋狂。就是這么一個(gè)地方，除了無(wú)數(shù)托爾斯泰、柴可夫斯基、普希金、屠格涅夫等文藝巨璧外，俄羅斯也盛產(chǎn)數(shù)學(xué)家，其中兩個(gè)是龐特里亞京和學(xué)控制的人老惦記著的李亞普諾夫。?

龐特里亞京的極大值原理聽(tīng)起來(lái)嚇人，其實(shí)說(shuō)白了很簡(jiǎn)單?？匆?jiàn)那山嗎？山頂就是最高點(diǎn)（切，這還用說(shuō)？）；看見(jiàn)那山坡嗎？要是在山腰劃一道線，從山下往上爬，盡管山坡還在繼續(xù)往上延伸，但是到線為止，不得逾越，那山腰上那道三八線就是最高點(diǎn)（切，這還用說(shuō)？）。這就是龐特里亞京的極大值原理。當(dāng)然啦，龐特里亞京是用精巧、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的，要不然他在數(shù)學(xué)界里也別混了。不過(guò)呢，意思就是這么一個(gè)意思。?

龐特里亞京極大值原理的一個(gè)典型應(yīng)用就是所謂最速控制問(wèn)題，或者叫時(shí)間最優(yōu)控制（timeoptimalcontrol）問(wèn)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是給定最大馬力和最大剎車功率，問(wèn)題是怎么開(kāi)汽車能夠最快地從A點(diǎn)開(kāi)到B點(diǎn)（什么轉(zhuǎn)彎、上下坡、紅綠燈，這種瑣碎的事情也要拿來(lái)煩人？一點(diǎn)品味都沒(méi)有?。?。你可以用優(yōu)美但繁瑣的數(shù)學(xué)求證，或者用膝蓋想想：最快的方法，就是一上來(lái)就加足馬力，全速前進(jìn)；然后在不到終點(diǎn)的某一地點(diǎn)，全力剎車，使慢下來(lái)的汽車在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)正好停下來(lái)。這是最快的方法，不可能比這更快了。稍微發(fā)揮一點(diǎn)想象力，可以想象“梆”的一下，控制量的油門(mén)板一腳到底，再是“梆”的一下，剎車板一腳到底，控制任務(wù)就完成了。所以最速控制也叫“梆-梆”控制（bangbangcontrol）。?

最速控制在理論上是一個(gè)很有趣的問(wèn)題，解法也是簡(jiǎn)潔、優(yōu)美，但在實(shí)際中直接使用的例子實(shí)在是鳳毛麟角，一般都是開(kāi)始時(shí)用“梆-梆”，或者勻速上升到最大控制，以緩和控制的沖擊力；到終點(diǎn)附近時(shí)，改用PID作閉環(huán)微調(diào)，以克服“梆-梆”對(duì)系統(tǒng)模型誤差十分敏感的缺點(diǎn)。電梯控制就是這樣一個(gè)例子。從一樓到四樓，電動(dòng)機(jī)很快勻速上升到最高轉(zhuǎn)速，一過(guò)三樓，電動(dòng)機(jī)就下降到較低的轉(zhuǎn)速，然后根據(jù)電梯實(shí)際位臵和樓面之差，有控制地減速，直至停下來(lái)。要是控制參數(shù)調(diào)得好的話，一下子就穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)赝Ｏ聛?lái)；要是調(diào)的不夠好，會(huì)在停下來(lái)之前上下晃蕩幾下。?

最速控制問(wèn)題是較早的最優(yōu)控制問(wèn)題，它提供了一個(gè)很有趣的思路，但這顆樹(shù)上開(kāi)花結(jié)果不多。相比之下，最優(yōu)控制的另外一支枝繁葉茂，有生氣得多了。這一支就是線型二次型最優(yōu)控制（linearquadraticcontrol）。數(shù)學(xué)是有趣的，但數(shù)學(xué)也是盲目的。在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)化問(wèn)題就是一個(gè)在曲面上尋找凸點(diǎn)的問(wèn)題，只要你能把一個(gè)物理問(wèn)題表述成一個(gè)曲面，數(shù)學(xué)是不理會(huì)姓無(wú)姓資的。既然如此，控制偏差的平方在時(shí)間上的累積就是很自然的選擇，二次型就是平方在線性代數(shù)里的說(shuō)法。線型系統(tǒng)的偏差平方有很好的性質(zhì)，這山峰是一個(gè)饅頭山，沒(méi)有懸崖峭壁，沒(méi)有溝坎，容易爬；一山只有一峰，不用擔(dān)心找錯(cuò)地方。不過(guò)這山峰不能只包含控制偏差，還要包含控制量，原因有三個(gè)：?

1、如果不包括控制量，那最優(yōu)控制的解是沒(méi)有意義的，因?yàn)闊o(wú)窮大的控制量可以使累計(jì)平方偏差為最小，但無(wú)窮大的控制量是不現(xiàn)實(shí)的。?

2、控制量的大小通常和能量、物料的消耗連在一起，實(shí)際控制問(wèn)題一般是“在最小能量、物料消耗小達(dá)到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同時(shí)包含控制偏差和控制量是很自然的。?

3、系統(tǒng)模型總是有誤差的，誤差“總是”在高頻、大幅度控制作用下最突出，所以為了減低系統(tǒng)對(duì)模型誤差的敏感性，也有必要限制控制量的大小。?

所以線性二次型最優(yōu)控制的“目標(biāo)函數(shù)”（也就是定義山峰形狀的數(shù)學(xué)表述）是一個(gè)控制偏差和控制量各自平方的加權(quán)和的積分。積分當(dāng)然就是“在時(shí)間上的累積”了，加權(quán)和其實(shí)就是在控制偏差的平方項(xiàng)和控制量的平方相前分別乘以比例因子，然后再相加。兩個(gè)比例因子的相對(duì)大小決定了誰(shuí)更重要。運(yùn)用矩陣微分和線型代數(shù)工具，不難導(dǎo)出線性二次型控制律—一個(gè)基本的狀態(tài)反饋控制律！只是反饋增益矩陣是按最優(yōu)化的要求計(jì)算出來(lái)的。?

線型二次型最優(yōu)控制開(kāi)創(chuàng)了一整個(gè)新的控制領(lǐng)域，很快從狀態(tài)空間走出來(lái)，進(jìn)入其他領(lǐng)域，子孫繁衍，人丁興旺。這一支是當(dāng)今最優(yōu)控制在應(yīng)用中的主體。?

線性二次型控制具有各種各樣的優(yōu)點(diǎn)，但是，線性二次型沒(méi)有回答一個(gè)最基本的控制問(wèn)題：這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是不是穩(wěn)定。這里，我們的飽受牽記的李亞普諾夫同志出場(chǎng)了。李亞普諾夫也是一個(gè)腦子搭錯(cuò)筋的人，一百多年前，玩微分方程玩出了癮，整出兩個(gè)穩(wěn)定性（或者叫收斂性）的定理，前一個(gè)沒(méi)有什么太了不起的，把非線性系統(tǒng)線性化，就是把一根曲線用很多一小段、一小段的直線近似，然后按直線來(lái)分析。后一個(gè)就有點(diǎn)邪門(mén)了。老李琢磨出一個(gè)定理，說(shuō)是對(duì)于任意一個(gè)系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)自我耗散的能量函數(shù)（數(shù)學(xué)說(shuō)法是正定函數(shù)），也就是其數(shù)值永遠(yuǎn)為正，但隨時(shí)間漸進(jìn)地趨向零，或者說(shuō)這個(gè)能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)永遠(yuǎn)為負(fù)，那這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。據(jù)說(shuō)定理的證明是一個(gè)天才的杰作，我等凡人只有頻頻點(diǎn)頭的份。不過(guò)想想也對(duì)，系統(tǒng)的能量耗散沒(méi)了，系統(tǒng)不也就安分下來(lái)了嗎？當(dāng)然就穩(wěn)定嘍。?

李亞普諾夫比卡爾曼還要數(shù)學(xué)家，他的定理只給出“如果存在……就……”，怎么找這個(gè)自我耗散的能量函數(shù)他沒(méi)說(shuō)，這個(gè)函數(shù)一般是什么樣他也沒(méi)說(shuō)。這難不倒搞自動(dòng)控制的廣大革命群眾。不是要正定函數(shù)嗎？不是沒(méi)有限制什么形式的正定函數(shù)嗎？那就用控制偏差的平方吧。說(shuō)干就干，但是干著干著，好玩的事情出現(xiàn)了，對(duì)偏差平方（或二次型）的求導(dǎo)，導(dǎo)出了和線性二次型最優(yōu)控制推導(dǎo)過(guò)程中同樣出現(xiàn)的一個(gè)所謂黎卡蒂方程（Riccatiequation），感情這是殊途同歸呀。換句話說(shuō)，線性二次型控制總是穩(wěn)定的。這是線性二次型控制的一個(gè)重要貢獻(xiàn)：把最優(yōu)性和穩(wěn)定性連到一起。?

再扯一句李亞普諾夫，他的第二個(gè)定理非常威猛，但是有點(diǎn)像一個(gè)奇形怪狀的大錘，到現(xiàn)在人們還在找合適的釘子，好用這把大錘砸?guī)紫隆＞€性二次型控制是已知的僅有的幾個(gè)釘子之一，另一個(gè)是變結(jié)構(gòu)控制，也可以用李亞普諾夫方法，這是題外話了。

數(shù)字控制?

都說(shuō)瓦特的蒸汽機(jī)后，計(jì)算機(jī)是影響人類進(jìn)程最大的發(fā)明，計(jì)算機(jī)當(dāng)然也對(duì)自動(dòng)控制帶來(lái)深刻的影響。如前所述，控制理論基本上都是圍繞微分方程轉(zhuǎn)的，所以在“本質(zhì)”上是連續(xù)的。但是數(shù)字計(jì)算機(jī)是離散的，也就是說(shuō)，數(shù)字控制器的眼睛不是一直盯著被控對(duì)象看的，而是一眨一眨的。數(shù)字控制器的“手腳”也不是一刻不停地連續(xù)動(dòng)作的，而是一頓一頓的。這是數(shù)字計(jì)算機(jī)的天性使然。于是，傳統(tǒng)的控制理論全部“翻譯”到離散時(shí)間領(lǐng)域，微分方程變成了差分方程，所有方法、結(jié)論都有了連續(xù)、離散兩套，不盡相同，但是大同小異。?

要是數(shù)字控制就是簡(jiǎn)單的連續(xù)系統(tǒng)離散化，計(jì)算機(jī)控制也就沒(méi)有什么了不起。離散控制帶來(lái)了一些連續(xù)控制所不可能具備的新特點(diǎn)，這就是：差分方程用清晰界定的時(shí)刻之間的關(guān)系來(lái)描述動(dòng)態(tài)過(guò)程。回到洗熱水澡的例子，如果熱水龍頭不在跟前，而是在村外一里地的小鍋爐房里，你只能用電話遙控，那水溫或許可以表示為?

下一分鐘水溫=0.7*現(xiàn)在水溫+0.2*上一分鐘水溫+0.1*再上一分鐘水溫+0.4*（5分鐘前鍋爐房龍頭開(kāi)度-6分鐘前鍋爐房龍頭開(kāi)度）?

顯然，下一分鐘的水溫受現(xiàn)在水溫的影響比上一分鐘和再上一分鐘的水溫的影響要大，但鍋爐房龍頭開(kāi)度要是不變，現(xiàn)在、上一分鐘、再上一分鐘水溫都一樣的話，下一分鐘的水溫也應(yīng)該和現(xiàn)在的水溫一樣。為什么用5分鐘前鍋爐房的龍頭開(kāi)度呢？那是因?yàn)闊崴畯拇逋饬鞯较丛璺恳幸欢ǖ臅r(shí)間，這個(gè)時(shí)間就是滯后。要是把時(shí)間向前推，那現(xiàn)在的龍頭開(kāi)度就會(huì)影響5分鐘后的水溫。這說(shuō)明了離散模型的一個(gè)重要特質(zhì)：預(yù)估能力。所有預(yù)報(bào)模型都是建立在離散模型的這個(gè)預(yù)估能力上，不管是天氣預(yù)報(bào)，還是經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，還是自動(dòng)控制里對(duì)有滯后的過(guò)程的控制。?

數(shù)字控制的另一特質(zhì)是可以實(shí)施一些不可能在連續(xù)時(shí)間實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律。工業(yè)上常有控制量的變化需要和當(dāng)前的實(shí)際值有關(guān)的情況。比如對(duì)于不同的產(chǎn)品，反應(yīng)器的轉(zhuǎn)化率總是大體在88-92%之間，沒(méi)有太大的變化，但是催化劑可以在0.5到35ppm之間變化，采用常規(guī)的PID的話，增益就非常難設(shè)，對(duì)一個(gè)情況合適了，對(duì)另一個(gè)情況就不合適。所以催化劑需要按百分比變化率調(diào)整，而不是簡(jiǎn)單地按偏差比例調(diào)整。比如說(shuō)，轉(zhuǎn)化率偏離1%時(shí)，催化劑要是在0.5ppm，應(yīng)該調(diào)整0.05ppm；但是在15ppm的時(shí)候，就應(yīng)該是1.5ppm。這樣，控制律就可以表示為?

當(dāng)前的控制量=上一步的控制量*（設(shè)定值/當(dāng)前的測(cè)量值）?

也就是說(shuō)，在被控變量高于設(shè)定值10%的情況下，控制量也增加10%；測(cè)量值和設(shè)定值一樣時(shí)，控制量不再變化。實(shí)際使用時(shí)，誰(shuí)除以誰(shuí)要根據(jù)測(cè)量值上升你是要控制量上升還是下降來(lái)決定，控制律也要稍微修改一下，成為?

當(dāng)前的控制量=上一步的控制量*（當(dāng)前的測(cè)量值/設(shè)定值）^k?

k次方是用來(lái)調(diào)整控制律對(duì)“偏差”（這是已經(jīng)不是差值，而是比值了，嚴(yán)格地說(shuō)，應(yīng)該叫“偏比”？）的靈敏度，相當(dāng)于比例增益。這個(gè)控制律實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)數(shù)空間的純積分控制，要是有興趣，對(duì)很多常見(jiàn)的非線性過(guò)程有相當(dāng)不錯(cuò)的效果，實(shí)現(xiàn)也簡(jiǎn)單。然而，這是一個(gè)本質(zhì)離散的控制律，在連續(xù)時(shí)間里無(wú)法實(shí)現(xiàn)。?

離散控制可以“看一步、走一步”的特性，是連續(xù)控制很難模仿的，也是在實(shí)際中極其有用的。

辨識(shí)?

形形色色的控制理論再牛，沒(méi)有被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，照樣抓瞎。前面的洗澡水溫就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型是杜撰的，當(dāng)然可以很容易地給它所有模型參數(shù)。但在實(shí)際中，模型參數(shù)不會(huì)從天上掉下來(lái)。多少科學(xué)家畢生致力于建立某一特定的物理、生物、化學(xué)或別的學(xué)科的數(shù)學(xué)模型，基本機(jī)制已經(jīng)清楚的模型都不容易建立，更不用說(shuō)很多過(guò)程的基本機(jī)制或深層機(jī)制并不清楚。所以靠機(jī)理推導(dǎo)被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是可能的，但對(duì)日常的控制問(wèn)題來(lái)說(shuō)，并不實(shí)際。這就是控制理論的另一個(gè)分支—辨識(shí)—一顯身手的地方了。?

如果給定一個(gè)模型，也就是一個(gè)數(shù)學(xué)公式，給它一組輸入數(shù)據(jù)，模型就可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)。比如說(shuō)，給定模型y=2*x+1，再給出x=1，2，3，4，那y就等于3，5，7，9，就這么很簡(jiǎn)單。辨識(shí)的問(wèn)題反過(guò)來(lái)，先給定一個(gè)模型結(jié)構(gòu)，在這里就是y=a*x+b，已知輸入-輸出數(shù)據(jù)是x=1，2時(shí)y=3，5，要求計(jì)算出a和b。顯然，這是一個(gè)二元一次方程，誰(shuí)都會(huì)解。在實(shí)際中，輸入-輸出的觀察數(shù)據(jù)含有測(cè)量噪聲，這對(duì)參數(shù)估計(jì)的精度不利；但通常積累觀察的數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，不說(shuō)數(shù)學(xué)，感覺(jué)上這就應(yīng)該對(duì)克服測(cè)量噪聲有利，關(guān)鍵是怎么利用這“多余”的數(shù)據(jù)。一個(gè)辦法是把數(shù)據(jù)組兩兩配對(duì)，借眾多的二元一次方程，然后對(duì)解出來(lái)的a和b作平均。還有一個(gè)辦法就是有名的最小二乘法了，說(shuō)穿了，就是以a和b為最優(yōu)化的“控制量”，使模型輸出和實(shí)際觀測(cè)值之間的累積平方誤差為最小。?實(shí)際工業(yè)過(guò)程大多有多年的運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)，大量的數(shù)據(jù)不成問(wèn)題。對(duì)于大多數(shù)常見(jiàn)過(guò)程，模型的基本結(jié)構(gòu)和定性性質(zhì)也可以猜一個(gè)八九不離十，有了如此有力的數(shù)學(xué)“大錘”，那么應(yīng)該可以砸開(kāi)一切建模的硬核桃啦。且慢，世上沒(méi)有真正的“神奇子彈”，一個(gè)問(wèn)題解決了，另一個(gè)同等難度的問(wèn)題又會(huì)出現(xiàn)。對(duì)于辨識(shí)來(lái)說(shuō)，問(wèn)題有好幾個(gè)。?

第一個(gè)問(wèn)題是工業(yè)數(shù)據(jù)的閉環(huán)性。大多數(shù)重要參數(shù)都有閉環(huán)回路控制。如果沒(méi)有閉環(huán)回路控制，那要么就是過(guò)程特性實(shí)在太復(fù)雜，簡(jiǎn)單回路控制不了；要么就是這個(gè)參數(shù)其實(shí)不重要，飄移一點(diǎn)沒(méi)人在乎。然而，一旦閉環(huán)，系統(tǒng)地輸入和輸出就是相關(guān)的了。這一相關(guān)不要緊，輸入-輸出數(shù)據(jù)之間的因果性就全亂了：輸出通過(guò)被控過(guò)程本身和輸入相關(guān)（這是好的，辨識(shí)就是要測(cè)算出這個(gè)相關(guān)關(guān)系，輸出要是和輸入不相關(guān)，也沒(méi)有控制或辨識(shí)什么事了），輸入通過(guò)反饋和輸出相關(guān)；輸入-輸出成為一個(gè)閉合系統(tǒng)，你可以用任意多條定理或方法證明同樣的事：由于因果不分，閉環(huán)辨識(shí)是不可能的，除非另外加入“新鮮”的激勵(lì)，比如使勁變?cè)O(shè)定值，或者在閉環(huán)回路里額外施加獨(dú)立于輸入、輸出的激勵(lì)信號(hào)，比如“莫名其妙”地把閥門(mén)動(dòng)幾下。弄到最后，工業(yè)數(shù)據(jù)到底能用多少，就不是一個(gè)簡(jiǎn)單的回答。有的過(guò)程常年穩(wěn)定操作，像乙烯裝臵，只有小范圍的微調(diào)。這倒不是人家懶或者不求上進(jìn)，而是這些裝臵早已高度優(yōu)化，常年操作在極其接近極限的位臵，但原料和產(chǎn)品單一，所以工藝狀況不怎么大變。這種系統(tǒng)的閉環(huán)數(shù)據(jù)用起來(lái)很吃力，常常必須做一定的開(kāi)環(huán)試驗(yàn)。有的過(guò)程經(jīng)常在不同的狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換（transition），或者由于不同的原料，如“吃”得很雜的煉油廠，或者由于不同的產(chǎn)品，如聚乙烯裝臵，這實(shí)際上就是“使勁變?cè)O(shè)定值”，是新鮮的激勵(lì)。這種系統(tǒng)的閉環(huán)數(shù)據(jù)比較好用，但有別的問(wèn)題，下面要談到。

第二個(gè)問(wèn)題是動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)。動(dòng)態(tài)模型的作用有兩個(gè)：一是描述需要多少時(shí)間輸出才能達(dá)到某一數(shù)值；二是輸出最終能夠達(dá)到什么數(shù)值。用股票市場(chǎng)舉一個(gè)例子，你需要知道兩件事：一是這支股票最后會(huì)升到多少，二是需要多少時(shí)間才能升到那里，只知道其中一個(gè)對(duì)你并沒(méi)有太大的用處。當(dāng)然為了簡(jiǎn)化，這里假定這支股票一路飆升，不來(lái)忽升忽降（也就是非線性）或跌買漲賣（也就是閉環(huán)影響）的名堂。這就要求輸入-輸出數(shù)據(jù)必須包含充分的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)信息，過(guò)于偏頗其中一方面對(duì)另一方面會(huì)不利。所以，長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行的過(guò)程中可能包含足夠的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，但動(dòng)態(tài)不足；常年不怎么穩(wěn)定的過(guò)程可能包含足夠的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，但穩(wěn)態(tài)不足。用PID控制打比方，精確的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)有助于計(jì)算正確的比例控制增益，精確的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)有助于計(jì)算正確的積分和微分增益，顯然，把比例增益整對(duì)了更為重要。為了獲得精確的穩(wěn)態(tài)，在辨識(shí)中常常需要等過(guò)程開(kāi)環(huán)穩(wěn)定下來(lái)才進(jìn)行下一步，但是問(wèn)題是，實(shí)際過(guò)程有時(shí)時(shí)間常數(shù)很長(zhǎng)，幾個(gè)精餾塔一串聯(lián)，時(shí)間常數(shù)幾個(gè)小時(shí)是客氣的，一、兩天都是可能的。這樣一來(lái)，一個(gè)不太大的模型，十來(lái)個(gè)變量，開(kāi)環(huán)試驗(yàn)一做就是一、兩個(gè)星期或者更長(zhǎng)。要是一個(gè)裝臵能夠兩個(gè)星期開(kāi)環(huán)，那也不需要什么控制了。

第三個(gè)問(wèn)題是激勵(lì)的信噪比。都說(shuō)人類活動(dòng)是二氧化碳和溫室效應(yīng)的主要原因，但要是你去生一堆篝火，再去高空大氣層去測(cè)一測(cè)二氧化碳和溫室效應(yīng)，肯定什么也測(cè)不出來(lái)，本來(lái)多少，現(xiàn)在還是多少。為什么呢？不是因?yàn)檫@堆篝火沒(méi)有效果，而是環(huán)境中的自然的變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了篝火的作用，換句話說(shuō)，就是噪聲遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了信號(hào)。工業(yè)測(cè)試也是一樣，信號(hào)一定要有一定的強(qiáng)度，否則是白耽誤工夫。信號(hào)強(qiáng)度應(yīng)該使過(guò)程達(dá)到嚴(yán)重失穩(wěn)的邊緣，這樣才好獲得在大范圍內(nèi)都精確的模型，以便控制器不光在“風(fēng)平浪靜”的情況下可以正常工作，在“驚濤駭浪”的情況下也能使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。然而，工廠以生產(chǎn)為主，在一切都“斤斤計(jì)較”的今天，如此大范圍的測(cè)試所帶來(lái)的產(chǎn)品損失甚至對(duì)設(shè)備的可能的危害，都是工廠極不愿意見(jiàn)到的。理論家們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)偽隨機(jī)信號(hào)，用一連串寬窄不等的方波信號(hào)，作為激勵(lì)過(guò)程的輸入，在理論上可以使過(guò)程參數(shù)的平均值不致偏離設(shè)定值太多，但I(xiàn)SO9000不僅要求產(chǎn)品質(zhì)量的平均值要保證，產(chǎn)品質(zhì)量的一致性也要保證。再說(shuō)，偽隨機(jī)信號(hào)的脈寬不好確定，太窄了，穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)不夠；太寬了，和常規(guī)的階躍信號(hào)也沒(méi)有什么兩樣。所以偽隨機(jī)信號(hào)在實(shí)際上用得很少。

第四個(gè)問(wèn)題是輸入的相關(guān)性。實(shí)際工業(yè)過(guò)程到了要用辨識(shí)來(lái)確定模型的時(shí)候，都是單回路對(duì)付不了了，所以都是多變量過(guò)程。在理論上，多個(gè)輸入變量可以同時(shí)變化，只要輸入變量的變化是相互獨(dú)立的，數(shù)學(xué)上容許多個(gè)輸入變量同時(shí)變化，而辨識(shí)可以正確地辨別模型。然而，在使用實(shí)際過(guò)程的歷史數(shù)據(jù)時(shí)，常常遇到多個(gè)輸入變量并不相互獨(dú)立的問(wèn)題。比如說(shuō)，在制作巧克力的過(guò)程中，香草巧克力比較“苦”，或者說(shuō)不太甜，而牛奶巧克力比較甜。問(wèn)題是做牛奶巧克力時(shí)，不光加糖，還要加牛奶（廢話，不加牛奶那還是牛奶巧克力嗎？）由于兩者總是同時(shí)出現(xiàn)，從純數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，在甜度模型里，就難以辨別甜度是由于加糖的關(guān)系，還是由于加牛奶的關(guān)系。有的時(shí)候可以根據(jù)對(duì)具體過(guò)程的認(rèn)識(shí)，人工地限制辨識(shí)的過(guò)程，來(lái)消除這種影響，有的時(shí)候，就不太容易了，只好不用歷史數(shù)據(jù)，專門(mén)做試驗(yàn)，用各自獨(dú)立的輸入，便是模型。?

第五個(gè)問(wèn)題是模型結(jié)構(gòu)。模型結(jié)構(gòu)包括兩個(gè)方面，一是模型的階數(shù)，二是剔除在物理上不可能的模型。辨識(shí)的模型歸根結(jié)蒂還是差分方程，這就有一個(gè)如何預(yù)設(shè)階數(shù)的問(wèn)題。數(shù)學(xué)上有很多驗(yàn)前和驗(yàn)后的檢驗(yàn)方法，在工業(yè)上，人們偷一個(gè)懶，改用非參數(shù)模型，也就是用一條響應(yīng)曲線而不是一個(gè)方程來(lái)表述一個(gè)模型，這樣就可以繞過(guò)階數(shù)的問(wèn)題。但是剔出不現(xiàn)實(shí)的模型還是一個(gè)手工活，需要對(duì)每一個(gè)模型仔細(xì)研究，以確定模型所描述的動(dòng)態(tài)關(guān)系是否合理。數(shù)學(xué)方法還是不夠可靠。?

在搞模型的人中間，常常會(huì)聽(tīng)到黑箱、白箱和灰箱的說(shuō)法。黑箱模型就是不理會(huì)實(shí)際過(guò)程的物理、化學(xué)等性質(zhì)，純粹從數(shù)學(xué)出發(fā)，假設(shè)一個(gè)模型結(jié)構(gòu)，然后用種種數(shù)學(xué)方法找出一個(gè)最好的模型。白箱反其道而行之，從物理、化學(xué)等性質(zhì)出發(fā)，建立機(jī)理模型。黑箱模型的好處是“放之四海而皆準(zhǔn)”，不需要對(duì)具體過(guò)程有深入的了解。黑箱模型是一種削足適履的作法，但是如果履本身就做得比較好，具有相當(dāng)?shù)撵`活性和適應(yīng)性，就并不需要削太多的足。由于黑箱模型可以自由假設(shè)模型結(jié)構(gòu)，黑箱模型的處理和使用都比較方便。黑箱模型是經(jīng)驗(yàn)主義的，數(shù)據(jù)里沒(méi)有包含的情況，黑箱模型無(wú)法預(yù)測(cè)。白箱模型則是“量身度造”的，反映了過(guò)程的物理、化學(xué)等性質(zhì)，對(duì)實(shí)際過(guò)程的數(shù)據(jù)依賴較少，對(duì)數(shù)據(jù)中不包含的情況也能可靠地預(yù)測(cè)。但是白箱模型的結(jié)構(gòu)由具體問(wèn)題決定，得出的模型不一定容易使用。在實(shí)際中，人們經(jīng)常在假設(shè)一個(gè)模型結(jié)構(gòu)的時(shí)候考慮進(jìn)大大簡(jiǎn)化的過(guò)程機(jī)理，所以模型結(jié)構(gòu)不是憑空拍腦袋出來(lái)，而是粗略地抓住了過(guò)程的基本特質(zhì)，然后再用黑箱方法的“數(shù)據(jù)絞肉機(jī)”，將簡(jiǎn)化模型沒(méi)有能夠捕捉的細(xì)微末節(jié)一網(wǎng)打盡。這種模型結(jié)合了黑箱和白箱的特點(diǎn)，所以稱為灰箱。實(shí)際建模中，純粹黑箱或白箱的成功例子很少，灰箱的成功機(jī)會(huì)就要多得多。?

不管什么箱，最后還是有一個(gè)如何辨識(shí)實(shí)際過(guò)程的問(wèn)題。閉環(huán)辨識(shí)的好處不用多說(shuō)了，問(wèn)題是如何從閉環(huán)辨識(shí)中獲得有用的模型。工業(yè)上有一個(gè)辦法，沒(méi)有一個(gè)“官名”，但實(shí)際上是一個(gè)開(kāi)環(huán)-反饋過(guò)程。具體做法是這樣的：先用粗略的過(guò)程知識(shí)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的多變量控制器，其任務(wù)不是精確控制被控過(guò)程，而是將被控變量維持在極限之內(nèi)，一旦逼近或超過(guò)極限，就采取動(dòng)作將其“趕”回極限內(nèi)；但只要在極限內(nèi)，就按部就班地作階躍擾動(dòng)，測(cè)試過(guò)程特性。測(cè)試的結(jié)果用來(lái)改進(jìn)控制器的模型，然后再來(lái)一遍。幾遍（一般兩遍就夠了）之后，模型精度應(yīng)該很不錯(cuò)了。這個(gè)方法比較好地解決了辨識(shí)精度和過(guò)程穩(wěn)定性的要求。