? 標(biāo)準(zhǔn)一元三次方程的形式為ax3+ bx2+ cx+d=0?（a,b,c, d∈R, a≠0），其解法有：1、意大利學(xué)者卡爾丹于1545年發(fā)表的卡爾丹公式法；2、中國學(xué)者范盛金于1989年發(fā)表的盛金公式法。兩種公式法都可以解標(biāo)準(zhǔn)型的一元三次方程。由于用卡爾丹公式解題存在復(fù)雜性，相比之下，盛金公式簡潔清晰，方便記憶，實(shí)際解題更為直觀，效率更高。注：有資料表示，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶至晚在1247年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一元三次方程的求根公式，歐洲人在400多年后才發(fā)現(xiàn)，但在中國的課本上這個公式仍是以那個歐洲人的名字來命名的。

? 卡爾丹解法:

? 對于ax3+ bx2+ cx+d=0 （a,b,c, d∈R, a≠0），兩邊同時除以a得:

? x3+ bx2/a+cx/a+d/a＝0

? 令x= y-k/3，b/a= k，c/a= m，d/a= n，則有:

? 原式?(y-k/3)3+k(y-k/3)2+m(y-k/3)+n=0

? ?? ? ? ?y3-ky2+k2/3-k3/27+ky2-2k2/3+k2/9+m(y-k/3)+n=0

? ? ? ?? ??y3+(m-k2/3)y+2k2/27-km/3+n=0

? 令p=m-k2/3，q=2k2/27-km/3+n，則有：

? 原式=y3+py+q=0

? 接下來對最為普通的一元三次方程進(jìn)行分析，從而得出一元三次方程的通式通法。

? 令ω=(-1+i√3)/2，若x3=A，則：

? 1.x=A∧1/3

? 2.x=ωA∧1/3

? 3.x=ω2A∧1/3

? 在這里我簡單解釋一下為什么是這三組解，總的來說，始滿足ω3=1，才可以讓原式成立。

? 設(shè)x=μ+υ，則有：

? 原式?(μ+υ)3+p(μ+υ)+q=0

? ? ? ? ? ?μ3+υ3+3μ2υ+3υ2μ+pμ+pυ+q=0

? ? ? ? ? ?μ3+υ3+(μ+υ)(3μυ+p)+q=0

? 對于μ3+υ3+(μ+υ)(3μυ+p)+q=0，可以解得：μ3+υ3=-q，μυ=-p/3

? 在這里對于該解做出驗(yàn)證：

??(μ+υ)3=μ3+υ3+3μυ(μ+υ)

? 將μ3+υ3=-q，μυ=-p/3帶入可得：

? (μ+υ)3+p(μ+υ)+q=0 故：所求解的答案正確

? 又因?yàn)棣?與υ3均為方程y2+py-(p/3)3=0的解

? 在這里利用韋達(dá)定理做出解釋：

? 因?yàn)棣?+υ3=-(p/3)3，μ3+υ3=-q，剛好滿足該方程韋達(dá)定理所求得的值，所以μ3與υ3是y2+py-(p/3)3=0點(diǎn)兩個根。

? ?對于方程y2+py-(p/3)3=0可由求根公式解得：

? ?y=-q/2±√[q2+4(p/3)3]/2=-q/2±√[(q/2)2+(p/3)3]

? ?為了方便表示，令A(yù)=-q/2+√[(q/2)2+(p/3)3]

B=-q/2-√[(q/2)2+(p/3)3]，則有：

? ?1.μ=A∧1/3，μ=ωA∧1/3，μ=ω2A∧1/3

? ?2.υ=B∧1/3，υ=ωB∧1/3，υ=ω2B∧1/3

? 但由于要滿足μυ=-p/3，所以只能有以下幾種組合：

?? 1.μ=A∧1/3，.υ=B∧1/3

? ?2.μ=ωA∧1/3，υ=ω2B∧1/3

? ?3.μ=ω2A∧1/3，υ=ωB∧1/3

? ?在這里解釋一下為什么是這3種組合，因?yàn)槲倚枰獫M足當(dāng)μ與υ相乘時，將ω消掉，又因?yàn)棣?=1，所以只有這3種組合。

?? 從而聯(lián)立x=μ+υ可得出一元三次方程的解：

? ?x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

? ? x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

? ?x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3).? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中w=(-1+i√3)/2。

? ? 最后再將p,q,m,n分別帶入就可以得出一元三次方程的通式通解：(由于式子過于冗雜，這里就放出其中的一個解)

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