本文中我們證明如下結(jié)論：任意域上，嚴(yán)格上三角矩陣半群在同構(gòu)意義下是nxn矩陣半群的唯一極大冪零子半群。 定義：一個含吸收元0的半群G稱作冪零半群，當(dāng)且僅當(dāng)G的所有元素均為冪零元（即：對于任意的g屬于G，存在正整數(shù)n使得g^n=0）。 定理1:?任意域k上，嚴(yán)格上三角矩陣半群G是nxn矩陣半群R的一個極大冪零子半群。 證明：取任意不在G中的矩陣A=(aij)，記m=max{i-j: aij不等于0}，則m>=0。記n階若當(dāng)塊為J，則A·J^m為上三角矩陣且主對角線元素不全為零。特別的，A·J^m有一個非零特征值。若{A}與G的并集的生成子半群是冪零半群，則A·J^m冪零，矛盾。Q.E.D. 定理2:?任意域k上，nxn矩陣半群R的任意冪零子半群G中的所有元素可同時上三角化。 證明：半群代數(shù)k[G]到矩陣代數(shù)R=End(k^n)的k-子代數(shù)包含映射ρ是k^n上的忠實(shí)k-表示。因?yàn)镚冪零，k[G]中所有元素的跡均為零，我們得到ρ的特征標(biāo)與k[G]的平凡表示的特征標(biāo)正交。由矩陣代數(shù)的Burnside定理，ρ可約。對n做數(shù)學(xué)歸納法易得所需結(jié)論。Q.E.D. 定理3:?任意域k上，nxn矩陣半群R的極大冪零子半群（在相差一個GLn(k)共軛作用的意義下）唯一。 證明：令G為R的一個極大冪零子半群。由定理2，不失一般性我們假設(shè)G為上三角矩陣半群的一個子半群。因?yàn)镚中元素均為冪零矩陣，事實(shí)上G是嚴(yán)格上三角矩陣半群的子集。又由定理1和G的極大性，可知G就等于嚴(yán)格上三角矩陣半群。Q.E.D. 綜合定理1&3即得結(jié)論：任意域上，嚴(yán)格上三角矩陣半群在同構(gòu)意義下是nxn矩陣半群的唯一極大冪零子半群。