學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（五十五）

2023-02-16 15:55 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

開始了！新的篇章！

我們前面將級數(shù)的內(nèi)容介紹完了，雖然最后給出的應(yīng)用部分略顯草率，但是因?yàn)楸旧硪膊⒎鞘种匾膬?nèi)容，因此一筆略過。從這一篇開始呢，我們就要進(jìn)入到與級數(shù)對應(yīng)的反常積分部分了。這一部分按照參考教材的順序來說，應(yīng)該是后接Fourier級數(shù)與分析的內(nèi)容。但是呢，由于最后還有一章比較重要的含參變量反常積分的部分，而這與我們這一章反常積分是相對應(yīng)的，不好割裂開來。所以我想了一下，打算把含參變量反常積分放在反常積分這一章后面，最后再來介紹Fourier分析。

前面我們在介紹一元函數(shù)定積分的時候有說到過，這一章我們會較為深入的介紹有關(guān)反常積分的各種知識，所以前面就沒有提及任何有關(guān)反常積分的內(nèi)容。那么現(xiàn)在，我們要先從基本概念入手，來逐漸地探討有關(guān)反常積分的各種內(nèi)容。

Chapter? Sixteen? 反常積分

16.0? 反常積分的概念與計算（預(yù)備節(jié)）

在正式介紹有關(guān)反常積分的內(nèi)容之前，我們還是首先要將反常積分的基本概念介紹清楚。

反常積分，顧名思義，就是與我們之前所定義的積分（Riemann積分）有一些出入的積分。從形式與性質(zhì)上，這一類積分未必符合Riemann積分的定義，因而稱之為“反?！狈e分。

我們之前所介紹的定積分，都是定義在有限閉區(qū)間上的。在此基礎(chǔ)之上，我們才能夠引入Riemann和的定義。但是，很多時候，我們研究某些問題的需要，迫使我們從定義上拓寬可以使得積分存在的區(qū)間。比如說，物理學(xué)中對于場的作用的研究，需要我們將積分定義在無窮區(qū)間上。對于正無窮區(qū)間而言，一般寫作：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

那么，傳統(tǒng)的Riemann和便不再容易被構(gòu)造出來了。（甚至是找不到一個合理的形式來作為Riemann和。）因此，用我們已有的定積分的知識便不能夠解決相關(guān)的問題。

為了解決這一定義上的問題，我們設(shè)想借助已有的常義定積分的Riemann和定義，合理推及以期望得到想要的結(jié)果：

設(shè)函數(shù) $f$ 定義在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上，且對于任意閉子區(qū)間：

$%5Ba%2CA%5D%5Csubset%20%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$

函數(shù)在這一區(qū)間上都可積，即：

$I(A)%3D%5Cint_a%5EA%20f(x)%5Ctext%20dx%20$

存在且有限。則很自然地，我們就可以想到，如果極限：

$%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20I(A)%3D%20%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5E%7BA%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

存在且有限，那么我們就可以讓極限值作為該類積分的值，并稱該積分收斂，或說這一積分廣義可積。也就是說：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%20$

由于這一積分定義在無窮區(qū)間上，因此至少有一個積分限是無窮大，故我們稱之為無窮限積分，簡稱為無窮積分。那么上述描述就可以表達(dá)為“無窮積分（廣義）收斂”；與之對應(yīng)，如果這一極限發(fā)散，就稱“這一無窮積分發(fā)散”。

類似地，我們也可以定義：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto-%E2%88%9E%7D%20%5Cint_A%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%20$

現(xiàn)在，還有最后一類無窮積分沒有定義：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

其實(shí)，這一積分也十分容易定義，畢竟我們已經(jīng)定義了積分上限為正無窮的無窮積分和積分下限為負(fù)無窮的無窮積分，只要二者相加即可。即：

存在一個實(shí)數(shù) $a$ ，積分：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%20$

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto-%E2%88%9E%7D%20%5Cint_A%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%20$

均收斂，則有：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5Eaf(x)%5Ctext%20dx$

對于這一定義，我們指出，對于 $a$ 的選取，盡管我們說的是存在一個實(shí)數(shù) $a$ ，但實(shí)際上 $a$ 應(yīng)該是任意選取的。一方面，如果積分的收斂性不應(yīng)該隨 $a$ 的選取有所差別；另一方面，積分收斂的數(shù)值也不應(yīng)該隨 $a$ 的選取有所差別。嚴(yán)格證明就留給大家。

另外，我們還提到一點(diǎn)，就是這一定義實(shí)際上可以寫作：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8CB%EF%BC%9C-%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint_B%5EA%20f(x)%5Ctext%20dx-I%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（命題1）

特別地，如果滿足積分這一等價定義，令：

$A%3D-B$

就有：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%7B-A%7D%5E%7BA%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

不過，一般而言，從右側(cè)的極限收斂是推不出左側(cè)的積分收斂的。而右側(cè)的極限在某些學(xué)科領(lǐng)域又有著一些重要的應(yīng)用。所以，我們重新給右側(cè)的特殊定義所定義出的概念給一個新的名字，稱為Cauchy主值，記作：

$P.V.%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%7B-A%7D%5E%7BA%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

另一類積分相較而言則要更為特殊一點(diǎn)。我們講過，如果函數(shù)可積，那么它必須有界。然而，很多時候，物理學(xué)中研究的場的問題當(dāng)中，又會出現(xiàn)在某一點(diǎn)附近的場發(fā)生奇變的情況，這種奇變多數(shù)會導(dǎo)致在這一點(diǎn)附近場的某些性質(zhì)陡增到無窮大；而實(shí)際問題當(dāng)中又需要對包含這一點(diǎn)在內(nèi)的場的分布總和做以描述，這需要利用積分來完成。因此，對于這種無界函數(shù)的積分，我們也需要給予研究。

我們先來考慮定義在區(qū)間 $%5Ba%2Cb)$ 上的無界函數(shù) $f$ 的這種廣義積分，其中函數(shù) $f$ 在 $x%3Db$ 附近無界。也是和無窮積分的定義類似，如果函數(shù) $f$ 在任意閉子區(qū)間：

$%5Ba%2Cc%5D%5Csubset%20%5Ba%2Cb)$

上可積，即函數(shù)：

$I(c)%3D%5Cint_a%5Ecf(x)%5Ctext%20dx$

都存在且有限，那么當(dāng)極限：

$%5Clim_%7Bc%5Cto%20b%7D%20I(c)%3D%5Clim_%7Bc%5Cto%20b%7D%20%5Cint_a%5Ec%20f(x)%5Ctext%20dx%20$

存在且有限時，稱該積分收斂，或稱其廣義可積，并以此極限值作為該反常積分的積分值；反之，如果該極限發(fā)散，則稱該積分發(fā)散。

由于該類積分涉及到無界函數(shù)的無窮大不連續(xù)點(diǎn)附近的性質(zhì)，因此稱該類積分為瑕積分，可以理解為在有瑕疵的點(diǎn)附近的積分。

一般來說，瑕積分的定義也可以寫作：

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cdelta%20%7Df(x)%5Ctext%20dx$

類似地，我們也可以定義：

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Ba%2B%5Cdelta%20%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

其中，函數(shù) $f$ 在 $(a%2Cb%5D$ 上有定義，在 $x%3Da$ 附近無界。

那么，現(xiàn)在我們就可以定義任意包含奇點(diǎn)的無界函數(shù)的積分了：

設(shè)函數(shù) $f$ 在區(qū)間 $%5Ba%2Cc)$ 上和 $(c%2Cb%5D$ 上有定義，且積分：

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bc-%5Cdelta%20%7Df(x)%5Ctext%20dx$

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Bc%2B%5Cdelta%20%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

都收斂，則稱瑕積分：

$%5Cint_a%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

收斂，且有：

$%5Cint_a%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7Bc%7Df(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_c%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

換句話說，也就是：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall0%EF%BC%9C%20%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%EF%BC%9C%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint_a%5E%7Bc-%5Cxi%20%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7Bc%2B%5Ceta%20%7D%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Ctext%20dx-I%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（命題2）

與無窮積分類似，瑕積分也有對應(yīng)的Cauchy主值：

$P.V.%5Cint_a%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7Bc-%5Cxi%20%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7Bc%2B%5Cxi%20%7D%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg)$

介紹過基本概念之后，我們就要來簡要介紹一下反常積分的基本計算方法了。

由于反常積分的概念是由常義積分推及得到的，因此我們對常義積分的計算方法只要經(jīng)過合理改進(jìn)也就可以用在反常積分上。

首先是Newton-Leibniz公式。注意到：

$%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%3DF(A)-F(a)$

其中， $f$ 連續(xù)， $F$ 為 $f$ 的一個原函數(shù)。則由反常積分的定義，就應(yīng)該有：

$%5Clim_%7BP(A)%7D%20%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%3D%20%5Clim_%7BP(A)%7D%20(F(A)-F(a))%3D%5Clim_%7BP(A)%7D%20F(A)-F(a)$

其中， $P(A)$ 表示一種極限過程。

類似地，對于反常積分而言，換元公式和分部積分公式也都成立，留給大家思考~

思考：

證明：對于上下限均為無窮大的無窮積分而言，參數(shù) $a$ 的選取是任意的；

（思路參考文內(nèi)說明）
證明無窮積分收斂的等價定義（命題1）；
證明瑕積分收斂的等價定義（命題2）；
敘述并證明反常積分的換元公式和分部積分公式；
計算下列反常積分：

（1）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%20%7D%20%5Ctext%20dx$

（2）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%5Ctext%20dx%20$

（3）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-ax%7D%5Csin%20bx%20%5Ctext%20dx$

（4）

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$

（5）

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$

（6）

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%5Cln%20x%5Ctext%20dx$