這次聊一個(gè)數(shù)論里的著名猜想——“卡塔蘭猜想”（Catalan's Conjecture）。其實(shí)它已經(jīng)被證明了，它的名字現(xiàn)在應(yīng)該叫做“米哈伊列斯庫(kù)定理”才對(duì)。但無(wú)奈“卡塔蘭猜想”的名字太著名了，用了太久了，所以沒(méi)有人會(huì)用“米哈伊列斯庫(kù)定理”這個(gè)名字。就像人們只知道“費(fèi)馬大定理”，而不會(huì)叫它“懷爾斯定理”。

卡塔蘭猜想是比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的一個(gè)猜想：

方程：其中x, y, p, q都是正整數(shù)，p, q大于1，

只有這樣一組非平凡解。

這個(gè)猜想用一種直觀(guān)的描述就是：請(qǐng)你把自然數(shù)中冪次形式的數(shù)，也就是可以表示成$a^b$形式的數(shù)都列出來(lái)，其中a, b都是自然數(shù)，且指數(shù)b>1。那么自然數(shù)中符合這個(gè)條件的有：

1, 4, 8，9, 16, 25, 27, 32, 64......

現(xiàn)在問(wèn)所有這些數(shù)字中，有沒(méi)有連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)？以上已經(jīng)列出來(lái)一對(duì)：8和9是連續(xù)，但后面還有沒(méi)有這樣連續(xù)的兩個(gè)冪次數(shù)呢？卡塔蘭猜想就是說(shuō)：除了8和9這一對(duì)之外，再也沒(méi)有連續(xù)的都是冪次形式的自然數(shù)了。

這個(gè)命題的內(nèi)容簡(jiǎn)單到小學(xué)生都可以理解。但一般來(lái)說(shuō)，數(shù)論里這種小學(xué)生都可以理解的命題都是特別難的。

那來(lái)看一下這個(gè)問(wèn)題被解決的歷史過(guò)程吧。其實(shí)早在卡塔蘭提出這個(gè)猜想的500年前，法國(guó)中世紀(jì)的猶太哲學(xué)家，吉爾松尼德（Levi ben Gerson，1288 - 1344）就證明了卡塔蘭猜想的一個(gè)最簡(jiǎn)單的特例：兩個(gè)完全平方數(shù)和完全立方數(shù)之間，只有8和9是相差1的，再也沒(méi)有其他的了。

但是吉爾松尼德的證明當(dāng)時(shí)并不為人知，所以后來(lái)歐拉又證明了同樣的結(jié)論。歐拉的證明是比較復(fù)雜的，后來(lái)人們找到了相對(duì)簡(jiǎn)單的證明。我簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)這個(gè)證明的思路。

還是回到原來(lái)的不定方程，現(xiàn)在我們只考慮完全立方數(shù)和完全平方數(shù)之間的情況，那么方程就便成為：

其中最簡(jiǎn)單的情況是右邊等于1的情況，也就是：

這個(gè)方程，我們要證明它沒(méi)有正整數(shù)解。證明第一步，我們把它改寫(xiě)成：

然后我們要對(duì)右邊進(jìn)行因式分解。雖然右邊的，在中學(xué)數(shù)學(xué)課本里是無(wú)法因式分解的，但是如果你聽(tīng)過(guò)大老李的節(jié)目，知道有“高斯整數(shù)”這個(gè)東西，那么就可以分解為：

其實(shí)，這是最關(guān)鍵的一步！雖然我們是在通常的整數(shù)范圍內(nèi)提出的問(wèn)題，但是證明過(guò)程中，我們要跳入到“高斯整數(shù)”這個(gè)更大的“宇宙”中去。因?yàn)槲覀冎?，如果原方程有正整?shù)解，那么那些解也同樣滿(mǎn)足高斯整數(shù)條件下的命題。因?yàn)楦咚拐麛?shù)包含所有整數(shù)，所以我們把$y^2+1$分解成$(y+i)(y-i)$是沒(méi)有任何問(wèn)題。

一旦右邊進(jìn)行了因式分解，那么問(wèn)題就迎刃而解。你所需要分析的是$y+i$和$y-i$兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)最大公約數(shù)必須是2的因子，也就是它只可能是2或者1。

但另一方面，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=y%5E2%5Cequiv%200%20%5C%20%5Cmbox%7Bor%7D%5C%20%201%20(%5Cbmod%204)" alt="y%5E2%5Cequiv%200%20%5C%20%5Cmbox%7Bor%7D%5C%20%201%20(%5Cbmod%204)">，。

對(duì)任何偶數(shù)，其3次方必然整除4，所以$x$只能是奇數(shù)，則和的最大公約數(shù)只是1，也就是和互質(zhì)。

但要注意的是，在高斯整數(shù)中，“互質(zhì)”表示這兩個(gè)數(shù)的公因子為和，這四種情況之一。還要注意，以上分析中用到一個(gè)重要前提是：“高斯整數(shù)”具有“唯一因子分解定理”。如果沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，那么很多討論就進(jìn)行不下去的。

既然和互質(zhì)，意味著和本身必須是一個(gè)完全立方數(shù)，即:

其中a、b是整數(shù)，d是、之一。因?yàn)?d^3$總是高斯整數(shù)下的一個(gè)單位元(unit)，所以d基本可以忽略， 于是：

展開(kāi)后，比較等式左右兩邊的實(shí)部和虛部?？梢越獾梦ㄒ唤鈟=0（x=1），于是方程沒(méi)有正整數(shù)解。

對(duì)另一種情況：，需要證明它除了x=2和y=3以外，沒(méi)有其他正整數(shù)解。第一步還是如法炮制，因式分解：

這次同樣可以確定$y+1$和$y-1$的最大公因子不是2就是1。雖然到這里的步驟，是大家應(yīng)該很習(xí)慣的，但后面的討論過(guò)程其實(shí)要比之前的高斯整數(shù)下的分析麻煩些，用到的準(zhǔn)備知識(shí)會(huì)多一些，所以這里就不詳述了。

以上就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，對(duì)證明這個(gè)方程，僅有x=2和y=3基本過(guò)程。以上就是卡塔蘭猜想最簡(jiǎn)單的一個(gè)特例。

下一個(gè)突破是1850年，勒貝格證明了這個(gè)方程無(wú)整數(shù)解（要注意，他不是發(fā)明”勒貝格積分“的那個(gè)勒貝格，只是同一個(gè)姓）。勒貝格的證明第一步其實(shí)與之前還是一樣，把方程分解為：。

再下一個(gè)突破要經(jīng)過(guò)的時(shí)間就很長(zhǎng)了。過(guò)了111年，到1961年，中國(guó)數(shù)學(xué)家柯召(1910年4月12日～2002年11月8日)證明了，如果有解，那么x要大于，這樣一個(gè)非常大的數(shù)字。

再到1976年，美國(guó)的Joseph E.Z. Chein去掉了這個(gè)下界，最終證明了這個(gè)方程在q>3的時(shí)候無(wú)解。

但以上只是固定了一個(gè)冪次為完全平方數(shù)的情況，距離卡塔蘭猜想還有相當(dāng)大的距離。1999年, M. Mignotte 證明如果還有其他解，那么兩個(gè)指數(shù)都有上界：

但兩個(gè)指數(shù)還是太大，遠(yuǎn)超計(jì)算機(jī)可以枚舉的范圍。

終于到2002年，羅馬尼亞數(shù)學(xué)家普雷達(dá)·米哈伊列斯庫(kù)（Preda Mih?ilescu, 1955 - ）最終完成了卡塔蘭猜想的證明，從而解決了這個(gè)有150多年歷史的猜想。他的證明的核心技術(shù)是環(huán)理論的“零化子”（annihilator），當(dāng)然也是基于前人的成果。因?yàn)橹坝腥俗C明，如果卡塔蘭猜想還有其他解，那么兩個(gè)指數(shù)必須是某種特殊形式的質(zhì)數(shù)對(duì)（Double Wieferich Prime Pair）。米哈伊列斯庫(kù)證明，即使指數(shù)是這種形式的質(zhì)數(shù)對(duì)，也無(wú)解，所以完成了證明。

以上介紹了”卡坦蘭猜想“的歷史，我知道你很想看看它的擴(kuò)展。你能想到的第一個(gè)擴(kuò)展大概是，兩個(gè)冪次相差2的情況，之前列舉過(guò)程中我們就看到了一組解是25和27。那有沒(méi)有其他解？我是沒(méi)找到。

但一個(gè)直觀(guān)感覺(jué)是冪次數(shù)之間的距離總體上是逐漸增加的，所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)家猜想：，m是任何正整數(shù)，這個(gè)方程只有有限多的整數(shù)解。這是目前的一個(gè)猜想。而如果”ABC猜想“為真，這個(gè)猜想也為真。

卡塔蘭猜想的另一個(gè)更有意思的擴(kuò)展叫“費(fèi)馬--卡塔蘭猜想”。它有點(diǎn)像費(fèi)馬大定理和卡塔蘭猜想的結(jié)合體。費(fèi)馬大定理說(shuō)，指數(shù)大于等于3的情況下無(wú)解。那么允許指數(shù)不同的情況下，解的情況為何？或者說(shuō)，更一般的情況下，對(duì)方程：

非平凡正整數(shù)解的情況如何？

數(shù)學(xué)家注意到一個(gè)情況是，如果三個(gè)指數(shù)都比較小的情況下，解是很多的。比如三個(gè)指數(shù)都是2，那就是勾股定理嘛。而如果三個(gè)指數(shù)要求比較大，解就少很多。特別是，如果要求三個(gè)指數(shù)的倒數(shù)和小于1的話(huà)，解的情況非常有意思。

目前已知，在的情況下，對(duì)以上方程，現(xiàn)在找到以下10組解：

其中p>6；

那么費(fèi)馬——卡塔蘭猜想就是說(shuō)，除了以上10組解，這個(gè)方程沒(méi)有其他解。這是一個(gè)神奇的現(xiàn)象，對(duì)我來(lái)說(shuō)這10組解看上去都是些奇奇怪怪的數(shù)字。數(shù)學(xué)里這種出現(xiàn)若干特別數(shù)字特例的情況是非常少的。我不太清楚數(shù)學(xué)家如何找到這10組解的，反正對(duì)我來(lái)說(shuō)這10組解太有神秘感了。

而觀(guān)察上面的10組解的話(huà)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，任何一組解里都有一個(gè)指數(shù)為2的數(shù)，也就是會(huì)出現(xiàn)完全平方數(shù)。由此出現(xiàn)一個(gè)”Beal猜想“，稱(chēng)：

以上方程在指數(shù)都大于2的情況下，無(wú)（非平凡）解。

Beal是美國(guó)的銀行家，也是數(shù)學(xué)愛(ài)好者。他出資懸賞100萬(wàn)美元，證明這個(gè)猜想。當(dāng)然，這個(gè)猜想與費(fèi)馬——卡塔蘭猜想誰(shuí)更難，是見(jiàn)仁見(jiàn)智了。如果你要找反例的話(huà)，那么Beal猜想更難，因?yàn)樗蠓蠢械闹笖?shù)都大于2。如果是證明猜想為真的話(huà)，那么”Beal猜想“稍微簡(jiǎn)單點(diǎn)。因?yàn)槿绻辟M(fèi)馬——卡塔蘭猜想“為真，就蘊(yùn)含了Beal猜想為真，反之不然。

以上猜想還能擴(kuò)展到高斯整數(shù)范圍內(nèi)，還有一些神奇數(shù)字。比如，對(duì)原版”卡塔蘭猜想“，高斯整數(shù)中有一組解：

對(duì)，

”費(fèi)馬——卡坦蘭猜想“，高斯整數(shù)內(nèi)也有若干解，比如：

對(duì)，Beal猜想，高斯整數(shù)中找到一個(gè)反例：

當(dāng)然這些解怎么找，是不是全部解，這些問(wèn)題就太難了。

好了，今天關(guān)于卡塔蘭猜想的問(wèn)題就聊到這里，最大感想還是數(shù)論的深不可測(cè)。而高斯整數(shù)在這些問(wèn)題中非常有用，更加驗(yàn)證了“虛數(shù)不虛”。

參考鏈接：

https://mathworld.wolfram.com/Fermat-CatalanConjecture.html
https://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
https://www.mathpuzzle.com/Gaussians.html