在這篇文章中，我會詳細(xì)的講解，梯度下降算法所依賴的數(shù)學(xué)原理。

讓同學(xué)們切實理解梯度的數(shù)學(xué)概念，為理解梯度下降算法打下基礎(chǔ)。

考慮下面這個問題。設(shè)多元函數(shù)，f(x, y)=x^2+y^2。在多元函數(shù)上有一點P(x0, y0)，如果我們從這一點出發(fā)，沿著哪個方向運動，能使函數(shù)f(x, y)增大或減小的最快呢？

?先說結(jié)論，函數(shù)上的某一點，如果沿著函數(shù)梯度的方向運動，那么函數(shù)增加的最快，如果沿著函數(shù)梯度的反方向運動，函數(shù)減小的最快。接下來，我們就詳細(xì)的討論這個問題。

?梯度，英文是gradient，是微積分和向量分析中的重要概念，可以定義為一個多元函數(shù)全部偏導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的向量。我們使用倒三角符號▽，nabla，表示某個函數(shù)的梯度。

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例如，二元函數(shù)f(x, y)，它的梯度就是函數(shù)f，對x和y求偏導(dǎo)組成的二維向量。三元函數(shù)g(x, y, z)的梯度是，g對x，y，z求偏導(dǎo)組成的三維向量。 n元函數(shù)f(θ1，θ2，…，θn) 的梯度是，f分別對n個自變量求偏導(dǎo)構(gòu)成的n維向量。

二元函數(shù)與函數(shù)上某點的梯度

為了更加直觀的說明函數(shù)與梯度的關(guān)系，我們畫出，二元函數(shù)f(x, y) = x^2 + y^2，在點(1, 1)處的梯度向量。這里將函數(shù)上的一點P(1, 1, 2)，標(biāo)記為紅色。將該點向灰色的x-o-y平面投影，標(biāo)記為藍(lán)色。

從藍(lán)色點出發(fā)，畫出向量(2, 2)，使用黑色箭頭表示，它就是點(1, 1, 2)的梯度向量。對于輸入點(1, 1)，如果它沿著(2, 2)方向運動，函數(shù)會增加的最快。

這里要注意，因為梯度向量是在函數(shù)的輸入空間中定義的，對應(yīng)x-o-y平面，因此我們畫出了藍(lán)色的投影點，并從該點畫梯度向量。另外，我們可以將視角調(diào)整俯視，進(jìn)一步觀察黑色的梯度向量。

仍然使用這個例子，說明梯度的計算方法。計算函數(shù)f(x, y) = x^2 + y^2的梯度。

首先，需要分別求出f(x, y)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)。

然后將這兩個偏導(dǎo)數(shù)組合成一個梯度向量(2x, 2y)，它表示了f(x, y)在任意點(x, y)上的變化方向和速率。將坐標(biāo)(1, 1)帶入，計算點(1, 1)處的梯度，可以得到向量(2, 2)。

梯度的性質(zhì)

梯度的方向是函數(shù)值上升最快的方向。對于函數(shù)上的某個點，如果沿著梯度方向移動，那么函數(shù)值增加的最快。如果沿著梯度的反方向移動，函數(shù)值減小的最快。

例如，對于點(1, 1)，沿著方向(2, 2)運動，函數(shù)值會增加的最快。沿著負(fù)梯度方向(-2, -2)運動，函數(shù)值減小的最快。接下來，我們舉例說明這條性質(zhì)。

仍然討論點P(1, 1, 2)的運動。將函數(shù)圖像調(diào)整為俯視角度，可以觀察P點的自變量取值(1, 1)，與其可能得運動方向。調(diào)整為平視角度，可以觀察到函數(shù)值f(1, 1)=2。

接下來，我們會從點P出發(fā)，向不同的方向運動相同的長度，來說明沿著梯度方向運動，函數(shù)值會變化的最快。

為什么沿梯度方向運動，函數(shù)值變化的最快

基于俯視的角度觀察函數(shù)。

在xOy平面上，設(shè)置3個方向向量，(-1, 0)、(1, 0)和(2, 2)，代表接下來自變量x和y要變化的方向。分別是向左運動，向右運動和沿梯度方向運動。

接著我們要從P點沿著(-1, 0)、(1, 0)和(2, 2)這三個向量的方向，運動1個單位，到達(dá)A、B、C三個點。然后比較A、B、C這三個點的函數(shù)值，相比P點函數(shù)值的變化。

如果從點P(1, 1)，按照向量(-1, 0)的方向，移動1個單位，會到達(dá)A點。A點(0，1)處的函數(shù)值為f(x, y)=0^2+1^2=1。

我們會發(fā)現(xiàn)，f(0, 1)相比f(1, 1)減小了1。這里從側(cè)面，觀察圖像上點的運動，可以更容易看出函數(shù)值的變化。

如果從點P(1, 1)，按照向量(1, 0)的方向移動1個單位，會到達(dá)B點(2, 1)。該點的函數(shù)值是，f(x, y)=2^2+1^2=5，f(2, 1)比f(1, 1)增加了3。

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最后按照梯度方向(2, 2)移動1個單位，大約會到達(dá)C點。這里需要將梯度轉(zhuǎn)換為單位向量，也就是根號2分之1, 根號2分之1，進(jìn)行計算。

C點大概在(1.707，1.707)這個位置，這里的1.707是1+的近似值。此時函數(shù)值為1.707^2 + 1.707^2 = 5.828，比f(1, 1)增加了3.828，是增加的最多的。

從這個例子中可以看到，同樣是移動單位1的長度，如果函數(shù)上的某個點，沿著該點的梯度方向移動，函數(shù)增長的最為迅猛。相應(yīng)的，如果沿著梯度的反方向運動，函數(shù)的值減小的最快。

關(guān)于該性質(zhì)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，有興趣的同學(xué)，可以繼續(xù)深入學(xué)習(xí)"方向?qū)?shù)"和"梯度方向與方向?qū)?shù)的關(guān)系"的相關(guān)概念。

另外，在機器學(xué)習(xí)的訓(xùn)練算法中，我們總是需要找到目標(biāo)函數(shù)的最小值。因此從函數(shù)的某一個點出發(fā)，使該點沿著梯度的反方向運動，會使函數(shù)減小的最快。

基于這樣的運動方式，就可以更快的使函數(shù)收斂到最小，這也是梯度下降算法的理論基礎(chǔ)。

最后給大家留一個思考題：

既然梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，那么什么方向是函數(shù)變化最慢的方向呢？

那么到這里，為什么梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，這一主題就講完了。感謝大家的觀看，我們下節(jié)課再會。