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本文提供了一個在統(tǒng)計模型中使用馬可夫轉(zhuǎn)換模型模型的例子，來復(fù)現(xiàn)Kim和Nelson（1999）中提出的一些結(jié)果。它應(yīng)用了Hamilton（1989）的濾波器和Kim（1994）的平滑器

%matplotlib?inlineimport?numpy?as?npimport?pandas?as?pdimport?statsmodels.api?as?smfrom?pandas_datareader.data?import?DataReaderfrom?datetime?import?datetime ?DataReader(start=datetime(1947,?1,?1),?end=datetime(2013,?4,?1))

Hamilton (1989) 馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型（Markov -switching?model）

這是對Hamilton(1989)介紹馬可夫轉(zhuǎn)換模型（Markov -switching?model）的開創(chuàng)性論文的復(fù)現(xiàn)。該模型是一個4階的自回歸模型，其中過程的平均值在兩個區(qū)制之間切換?？梢赃@樣寫。

每個時期，區(qū)制都根據(jù)以下的轉(zhuǎn)移概率矩陣進行轉(zhuǎn)換。

其中 pij是從區(qū)制 i 轉(zhuǎn)移到區(qū)制 j 的概率。

該模型類別是時間序列部分中的MarkovAutoregression。為了創(chuàng)建這個模型，我們必須指定k_regimes=2的區(qū)制數(shù)量，以及order=4的自回歸階數(shù)。默認模型還包括轉(zhuǎn)換自回歸系數(shù)，所以在這里我們還需要指定switch_ar=False。

創(chuàng)建后，模型通過極大似然估計進行擬合。使用期望最大化（EM）算法的若干步驟找到好的起始參數(shù)，并應(yīng)用準牛頓（BFGS）算法來快速找到最大值。

[2]:#獲取數(shù)據(jù)hamilton=?pd.read('gndata').iloc[1:]#?繪制數(shù)據(jù)hamilton.plot()#?擬合模型Markovreg(hamilton)

summary()

我們繪制了經(jīng)過過濾和平滑處理的衰退概率。濾波指的是基于截至并包括時間tt（但不包括時間t+1,...,Tt+1,...,T）的數(shù)據(jù)對時間t的概率估計。平滑化是指使用樣本中的所有數(shù)據(jù)對時間t的概率進行估計。

fig,?axes?=?plt.subplots(2,?figsize=(7,7))ax?=?axes[0] ax.plot(margl_prob[0])ax?=?axes[1] ax.plot(smoomarginal_pro[0])

根據(jù)估計的轉(zhuǎn)移矩陣，我們可以計算出衰退與擴張的預(yù)期持續(xù)時間。

print(expected_du)

在這種情況下，預(yù)計經(jīng)濟衰退將持續(xù)約一年（4個季度），擴張約兩年半。

Kim, Nelson, and Startz (1998) 三狀態(tài)方差轉(zhuǎn)換模型。

這個模型展示了帶有區(qū)制異方差（方差轉(zhuǎn)換）和無平均效應(yīng)的估計。

模型是:

由于沒有自回歸成分，這個模型可以用MarkovRegression類來擬合。由于沒有平均效應(yīng)，我們指定趨勢='nc'。假設(shè)轉(zhuǎn)換方差有三個區(qū)制，所以我們指定k_regimes=3和switching_variance=True（默認情況下，方差被假定為在不同區(qū)制下是相同的）。

raw?=?pd.read_table(ew?,engine='python')#?繪制數(shù)據(jù)集plot(?figsize=(12,?3))

res_kns.summary()

下面我們繪制了處于每個區(qū)制中的概率；只有在少數(shù)時期，才有可能出現(xiàn)高_方差_區(qū)制。

fig,?axes?=?plt.subplots(3,?figsize=(10,7)) ax.plot(smoothed_proba[0]) ax.plot(smoothed_proba[2]) ax.plot(smoothed_proba[3])

Filardo (1994) 時變的轉(zhuǎn)移概率

這個模型展示了用時變的轉(zhuǎn)移概率進行估計。

在上述模型中，我們假設(shè)轉(zhuǎn)移概率在不同時期是不變的。在這里，我們允許概率隨著經(jīng)濟狀況的變化而變化。否則，該模型就是Hamilton（1989）的馬爾可夫自回歸。
每個時期，區(qū)制現(xiàn)在都根據(jù)以下的時變轉(zhuǎn)移概率矩陣進行轉(zhuǎn)移。

其中 pij,tipij,t 是在 t 期間從區(qū)制 i 轉(zhuǎn)移到區(qū)制 j 的概率，并定義為。

與其將轉(zhuǎn)移概率作為最大似然法的一部分進行估計，不如估計回歸系數(shù)βij。這些系數(shù)將轉(zhuǎn)移概率與預(yù)先確定的或外生的變量xt-1向量聯(lián)系起來。

[9]:#?用標準差進行標準化 data['p']['1960-01-01':].std()?/?data['dlip'][:'1959-12-01'].std() #?繪制數(shù)據(jù) data['dlip'].plot(?) ? data['dmdlleading'].plot(??figsize=(13,3));

時變的轉(zhuǎn)移概率是由exog_tvtp參數(shù)指定的。

這里我們展示了模型擬合的另一個特點--使用隨機搜索的MLE起始參數(shù)。因為馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型的特征往往是似然函數(shù)的許多局部最大值，執(zhí)行初始優(yōu)化步驟有助于找到最佳參數(shù)。

下面，我們規(guī)定對起始參數(shù)向量的20個隨機擾動進行檢查，并將最好的一個作為實際的起始參數(shù)。由于搜索的隨機性，我們事先設(shè)置了隨機數(shù)種子，以便結(jié)果復(fù)制。

markovreg(data,?k=2,?order=4)fit(search=20)summary()

下面我們繪制了經(jīng)濟運行在低生產(chǎn)狀態(tài)下的平滑概率，并再次將NBER的衰退情況納入其中進行比較。

ax.plot(smoo_marg_prob[0])

利用時間變化的轉(zhuǎn)移概率，我們可以看到低生產(chǎn)狀態(tài)的預(yù)期持續(xù)時間如何隨時間變化。

exp_dura[0].plot(?figsize=(12,3));

在經(jīng)濟衰退期間，低生產(chǎn)狀態(tài)的預(yù)期持續(xù)時間要比經(jīng)濟擴張時高得多。

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本文選自《PYTHON用時變馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)換（MARKOV REGIME SWITCHING）自回歸模型分析經(jīng)濟時間序列》。

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