【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)33】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線(xiàn)性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
混合積：向量a與b的外積，再與向量c作內(nèi)積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，稱(chēng)為三向量依順序a，b，c的混合積，記為（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合積性質(zhì)：
a.當(dāng)a，b，c組成右手系時(shí)，（a，b，c）>0；
b.當(dāng)a，b，c組成左手系時(shí)，（a，b，c）<0；
幾何意義：（a，b，c）是以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積；
性質(zhì)：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是實(shí)數(shù)）。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿(mǎn)足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱(chēng)B為A的逆方陣，而稱(chēng)A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿(mǎn)足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿(mǎn)足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣，若A'=-A，則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱(chēng)A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試求下述數(shù)列{an}的斂散性：an+1=a1（1-an-bn）+an，bn+1=b1（1-an-bn）+bn（0<a1，b1<1）.
解：記cn=an+bn，an+1=a1（1-an-bn）+an=a1（1-cn）+an=a1-a1cn+an，bn+1=b1-b1cn+bn——
cn+1
=an+1+bn+1
=[a1（1-an-bn）+an]+[b1（1-an-bn）+bn]
=（a1+b1）（1-an-bn）+（an+bn）
=c1（1-cn）+cn
=（1-c1）cn+c1；
cn+1-1
=（1-c1）cn-1+c1；
=（cn-1）（1-c1）
=（c1-1）（1-c1）^n
=-（1-c1）^（n+1）
cn=1-（1-c1）^n；
an+1=a1-a1cn+an，
an+1-an=a1-a1cn=a1-a1[1-（1-c1）^n]=a1（1-c1）^n；
an-an-1=a1（1-c1）^（n-1）；
an
=an-1+a1（1-c1）^（n-1）
=an-2+a1（1-c1）^（n-2）+a1（1-c1）^（n-1）
=a1+……+a1（1-c1）^（n-2）+a1（1-c1）^（n-1）
=a1[1-（1-c1）^n]/[1-（1-c1）]
=a1[1-（1-c1）^n]/c1；
bn
=cn-an
=[1-（1-c1）^n]-a1[1-（1-c1）^n]/c1
=b1[1-（1-c1）^n]/c1；
0<a1，b1<1，則0<a1+b1<2，-1<1-c1<1；
lim an=lim a1[1-（1-c1）^n]/c1=a1/c1=a1/（a1+b1），
同理，lim bn=b1/（a1+b1）。
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
三向量a，b，c共面的充要條件是（a，b，c）=0.
證：
必要性——
設(shè)a，b，c共面，當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為零或有兩個(gè)共線(xiàn)時(shí)，顯然有（a，b，c）=0；
當(dāng)a，b，c非零且無(wú)兩向量共線(xiàn)時(shí)，由a，b，c共面得：a=λb+μc，于是——
（a，b，c）=（λb+μc，b，c）=λ（b，b，c）+μ（c，b，c）=0。
充分性——
設(shè)（a，b，c）=（axb）c=0；
情形一：axb=0，得到a=0，或b=0，或a//b，則a，b，c共面；
情形二：c=0，則a，b，c共面；
情形三：（axb）⊥c，由外積定義（axb）⊥a，（axb）⊥b，則a，b，c共面.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：如果矩陣A可逆，那么A*也可逆；并且求（A*）^（-1）.
證：
A的伴隨矩陣A*滿(mǎn)足：A*=|A|A^（-1），則AA*=A|A|A^（-1）=|A|E；
[（1/|A|）A]A*=E，從而A*可逆，（A*）^（-1）=（1/|A|）A.
到這里！
