在并未實地接觸微積分的廣大人群中，認為利用微積分計算函數(shù)曲線下的圖像面積是一種數(shù)學上的極微近似的人不占少數(shù)。然而在學了極限后的人群中，這樣的思想可能會轉變?yōu)椋豪梦⒎e分計算函數(shù)曲線下的圖像面積并非近似，而是利用了極限的思想。

兩者有異曲同工之妙，近似和極限似乎是一對近義詞，但近似相對于極限來說顯得大一些。在極限下，取極值就是取定這個數(shù)終不能到達的數(shù)但永遠趨近的數(shù)，近似則是粗略的對一個數(shù)進行復雜程度的減小，簡單來說，后者對數(shù)的值的改變遠遠大于前者對數(shù)的值的改變。

但是，如此確定地認為微積分對面積的計算真的只是極限思維，我覺得，還不至于。對于微積分對面積的計算，我覺得是做的最好的，甚至可以說，在數(shù)學史上，這無疑是一個最為精妙的工具。

前言說了這么多，該拿出點實話了。

我們得先了解一下函數(shù)“曲線”的本質，說到底，每條函數(shù)“曲線”都是無數(shù)個滿足函數(shù)解析式的值在函數(shù)圖上的連線，也就是無數(shù)條無限短的線段的組成，在宏觀上看是曲線，在微觀上看卻是無數(shù)條線段。這里面存在的端點，顯然，在不計觸碰原點（這里考慮函數(shù)曲線上存在有0的值）的情況下，仍然有無數(shù)個。

定積分的本質是什么？將一個要求的圖像進行無窮分，每次分割出一個矩形，它們的底顯然都相等，唯一不等的是高（這里我們考慮只有一條曲線，在后來我們會發(fā)現(xiàn)多條曲線仍然可以通過原有的算法進行加減計算）。我們知道，每個矩形對應的高的值取決于它所在的x值進行函數(shù)解析式的運算后的y值，而這個y值，實際上就是函數(shù)曲線的無數(shù)條線段組成的其中一個端點。實際上，我們不妨認為，將底無窮等分，高就有無窮多份，隨著底越來越小，對應的高在函數(shù)曲線上的點就越來越密集，則就是曲線中的無數(shù)個端點。

這個時候，我們回過頭來，用圖像來表示，把曲線下的圖形分成無窮多份矩形，似乎每次都會多出來一塊于曲線外，看著似乎極不規(guī)則，但實際上，如果份數(shù)越來越少，我們就根據(jù)上一段可以得出，在宏觀上觀察，似乎的確不規(guī)則，但在微觀上看，實際上就是一群小三角形。

約去這些小三角形，得到的其實就是面積了，而這具體的，僅僅只需要用一個最為簡單的例子來說明——f（x）=x，即y=x，這個時候，我們取過原點的那條函數(shù)定義的直線上取一點，并過此點作一直線垂直于x軸，此時得到一個直角三角形，假設底為a，進行n等分，經(jīng)過定積分計算（我們這里由于討論主題不討論經(jīng)典的幾何算法即底乘高乘1/2了），不難得出，多出來的這群小三角形的面積為a2/n，這個值隨著n的趨向無窮大而趨向無窮小即趨向0。此時無窮小似乎在極限看來可以約去，實則不然，其實是“減去”而不是“約去”。當然，無論如何，即使你就主體為那群多出來的小三角形求面積，仍然得a2/n，你若不信，倒可試試。

那么，實際上，我們的結論就出來了。每一條函數(shù)曲線其實就是上段直角三角形斜邊的復雜變形，進行定積分運算，多出來的那部分必定是規(guī)則的小三角形，而不是不規(guī)則的圖形——正如我在5、6、7段中所陳述的。

由此可見，定積分真可謂是一個精妙的計算工具。數(shù)學家們拿著它過關斬將，每個人能夠學到它，那就是這個人至高無上的榮幸啊。