? ? ? ? 18世紀(jì)，布豐提出以下問題：

? ? ? ? 設(shè)一塊含有平行且等距的木紋的地板，隨意拋一枚針，求針和木紋相交的概率。

? ? ? ??這就是著名的布豐投針試驗(yàn)。

? ? ? ? 我們將這個(gè)問題抽象為：

? ? ? ? 一組等距平行線上任意畫定長(zhǎng)線段，求該線段與平行線相交的概率。

? ? ? ? 為解題需要，我們需要設(shè)以下參數(shù)：?

? ? ? ? x：線段中心距離與之最近的直線的距離；

? ? ? ? θ：線段與平行線的夾角；

? ? ? ?? l：線段長(zhǎng)；

? ? ? ? d：平行線的間距。

? ? ? ? 這里，由于投針試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，顯然有：

，且 x 為線均勻分布

，且 θ 為角均勻分布

? ? ? ? 為方便起見，我們僅拿其中一根針來研究。

? ? ? ? 由圖可知，相交條件為：

? ? ? ? 根據(jù)一定的非線性規(guī)劃知識(shí)，這表示為下圖中ABE區(qū)域的面積，而樣本空間區(qū)域面積為下圖中ABCD的面積。

? ? ? ? 為了求解此題概率，我們引入幾何概型。

幾何概型：

? ? ? ? 若試驗(yàn)只可能出現(xiàn)無(wú)限多種基本事件，且各種基本事件發(fā)生概率僅與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積、體積）有關(guān)，則稱此概率模型為幾何概型。

? ? ? ? 舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，用蒙特卡羅方法估算 π 的值，python 程序?qū)崿F(xiàn)如下：

??? ? ? 程序運(yùn)行結(jié)果如下。

? ? ? ? 可以看到，在試驗(yàn)頻數(shù)增加的情況下，數(shù)值逐漸向 π 逼近。

? ? ? ? 蒙特卡羅方法求 π 的本質(zhì)即為幾何概型。

? ? ? ? 如圖，根據(jù)幾何概型概率的定義，有：

? ? ? ? 是不是很巧妙？

? ? ? ? 我們回到布豐投針試驗(yàn)。

? ? ? ? 由非線性規(guī)劃圖，我們無(wú)法比較與的大小關(guān)系，因此需要分類討論。

? ? ①

? ? ? ? 由圖可知，

注：

? ? ? ? 若取，即可得到：

? ? ? ? 令人震驚！一個(gè)看起來仿佛與 π 沒有什么關(guān)系的問題，最終結(jié)果出現(xiàn)了 π ！

? ? ②

? ? ? ? 由圖可知，直線與曲線有一交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，兩面積區(qū)域分別為區(qū)域ABCF與區(qū)域ABCD。

? ? ? ? 我們有：

? ? ? ? 注：，即線段非常長(zhǎng)時(shí)線段與平行線必然有交點(diǎn)。

? ? ? ? 以下是關(guān)于布豐投針試驗(yàn)的python程序模擬。

? ? ? ? 測(cè)試結(jié)果較好。

后記：

? ? ? ? 創(chuàng)作緣由就是數(shù)學(xué)高考紫五三下的拓展介紹。

? ? ? ? 初次嘗試，耗時(shí)較長(zhǎng)；有所紕漏，還請(qǐng)?jiān)彙?/p>